《离散数学》同步练习答案

华南理工大学网络教育学院
《离散数学》练习题参考答案
第一章命题逻辑
一填空题
（1）设：p：派小王去开会。

q：派小李去开会。

则命题：
“派小王或小李中的一人去开会”可符号化
为：(p∨⌝q) ∧ (⌝p∨q) 。

（2）设A，B都是命题公式，A⇒B，则A→B的真值是T。

（3）设：p：刘平聪明。

q：刘平用功。

在命题逻辑中，命题：
“刘平不但不聪明，而且不用功”可符号化为：p∧q。

（4）设A , B 代表任意的命题公式，则蕴涵等值式为
A → B⇔⌝A∨B。

（5）设，p：径一事；q：长一智。

在命题逻辑中，命题：
“不径一事，不长一智。

”可符号化为：⌝ p→⌝q 。

（6）设A , B 代表任意的命题公式，则德∙摩根律为
⌝（A ∧ B）⇔⌝A ∨⌝B）。

（7）设，p：选小王当班长；q：选小李当班长。

则命题：“选小王或小李中的一人当班长。

”可符号化为：(p∨⌝q) ∧ (⌝p∨q) 。

（8）设，P：他聪明；Q：他用功。

在命题逻辑中，命题：
“他既聪明又用功。

”可符号化为：P∧Q 。

（9）对于命题公式A，B，当且仅当 A → B 是重言式时，称“A蕴含B”，并记为A⇒B。

（10）设：P：我们划船。

Q：我们跑步。

在命题逻辑中，命题：“我们不能既划船又跑步。

”可符号化为：⌝ (P∧Q) 。

（11）设P , Q是命题公式，德·摩根律为：
⌝（P∨Q）⇔⌝P∧⌝Q）。

（12）设P：你努力。

Q：你失败。

在命题逻辑中，命题：“除非你努力，否则你将失败。

”可符号化为：⌝P→Q。

（13）设p：小王是100米赛跑冠军。

q：小王是400米赛跑冠军。

在命题逻辑中，命题：“小王是100米或400米赛跑冠军。

”可符号化为：
p∨q。

（14）设A，C为两个命题公式，当且仅当A→C为一重言式时，称C可由A逻辑地推出。

二．判断题
1.设A，B是命题公式，则蕴涵等值式为A→B⇔⌝A∧B。

（⨯）
2.命题公式⌝p∧q∧⌝r是析取范式。

（√）
3.陈述句“x + y > 5”是命题。

（⨯）
4.110 (p=1,q=1, r=0)是命题公式((⌝(p∧q))→r)∨q 的成真赋值。

（√）
5.命题公式p→(⌝p∧q) 是重言式。

（⨯）
6.设A，B都是合式公式，则A∧B→⌝B也是合式公式。

（√）
7.A∨(B∧C)⇔( A∨B)∨(A∨C)。

（⨯）
8.陈述句“我学英语，或者我学法语”是命题。

（√）
9.命题“如果雪是黑的，那么太阳从西方出”是假命题。

（⨯）
10.“请不要随地吐痰！”是命题。

（⨯）
11.P →Q ⇔⌝P∧Q 。

（⨯）
12.陈述句“如果天下雨，那么我在家看电视”是命题。

（√）
13.命题公式（P∧Q）∨（⌝R→T）是析取范式。

（⨯）
14.命题公式(P∧⌝Q)∨R∨ (⌝P∧Q) 是析取范式。

（√）
三、选择题：在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的内。

1．设：P：天下雪。

Q：他走路上班。

则命题“只有天下雪，他才走路上班。

”
可符号化为（2）。

（1）P→Q
（2）Q → P
（3）⌝ Q →⌝ P
（4）Q ∨⌝P
2．(1 ) 明年国庆节是晴天。

(2 ) 在实数范围内，x+y〈3。

(3 ) 请回答这个问题！
(4 ) 明天下午有课吗？
在上面句子中，是命题的只有(1 ) 。

3．命题公式A与B是等值的，是指(4 ) 。

（1）A与B有相同的命题变元
（2）A↔B是可满足式
（3）A→B为重言式
（4）A↔B为重言式
4．(1 ) 雪是黑色的。

(2 ) 这朵花多好看呀！。

(3 ) 请回答这个问题！
(4 ) 明天下午有会吗？
在上面句子中，是命题的是(1 ) 。

5．设：P：天下大雨。

Q：他乘公共汽车上班。

则命题“只要天下大雨，他就乘公共汽车上班。

”
可符号化为（2）。

（1）Q→P
（2）P → Q
（3）⌝ Q →⌝ P
（4）Q ∨⌝P
6．设：P：你努力；Q：你失败。

则命题“除非你努力，否则你将失败。

”
在命题逻辑中可符号化为（3）。

（1）Q→P（2）P→Q
（3）⌝P→Q（4）Q∨⌝P
7．(1 ) 现在开会吗？
(2 ) 在实数范围内，x+y >5。

(3 ) 这朵花多好看呀！
(4 )离散数学是计算机科学专业的一门必修课。

在上面语句中，是命题的只有(4 ) 。

8．设：P：天气好。

Q：他去郊游。

则命题“如果天气好，他就去郊游。

”
可符号化为（1）
（1）P→Q （2）Q → P
（3）⌝ Q →⌝ P （4）Q ∨⌝P
9．下列式子是合式公式的是（2）。

（1）（P∨→Q）（2）⌝（P→（Q∨R））
（3）（P ⌝Q）（4）∧Q→R
10．（1）1＋101＝110 （2）中国人民是伟大的。

（3）全体起立！（4）计算机机房有空位吗？
在上面句子中，是命题的是（2）。

11．设：P：他聪明；Q：他用功。

则命题“他虽聪明但不用功。

”
在命题逻辑中可符号化为（3）。

（1）P ∧Q（2）P→Q
（3）P∨⌝Q（4）P∧⌝Q
12．(1 ) 如果天气好，那么我去散步。

(2 ) 天气多好呀！
(3 ) x=3。

(4 ) 明天下午有会吗？
在上面句子中(1 ) 是命题。

13．设：P：王强身体很好；Q：王强成绩很好。

命题“王强身体很好，成绩也很好。

”在命题逻辑中可符号化为（4）。

（1）P ∨Q（2）P→Q
（3）P∧⌝Q（4）P∧Q
四、解答题
1．设命题公式为（⌝p→q）→（q→⌝p）。

（1）求此命题公式的真值表；
（2）给出它的析取范式；
（1）
p q ﹁p ﹁p→q q→﹁p （⌝p→q）→（q→⌝p）T T F T F F
T F F T T T
F T T T T T
F F T F T T
（2）（⌝p→q）→（q→⌝p）
⇔﹁（⌝p→q）∨（q→⌝p）
⇔﹁（p∨q）∨（⌝q∨⌝p）
⇔（﹁p∧﹁q）∨⌝q∨⌝p
2．设命题公式为（p → q）∧（p ∨ r）。

（1）求此命题公式的真值表；
（2）给出它的析取范式；
（1）
p q r p→q p∨r （p → q）∧（p ∨ r）
T T T T T T
T T F T T T
T F T F T F
T F F F T F
F T T T T T
F T F T F F
F F T T T T
F F F T F F
（2）（p → q）∧（p ∨ r）
⇔（⌝p∨q）∧（p ∨ r）
⇔((⌝p∨q)∧p )∨((⌝p∨q)∧r)
⇔((⌝p∧p ) ∨(q∧p))∨((⌝p∧r) ∨(q∧r))
⇔ (q∧p)∨(⌝p∧r) ∨(q∧r)
3．设命题公式为(⌝Q∧（P→Q）)→⌝P。

（1）求此命题公式的真值表；
（2）求此命题公式的析取范式；
(1)
P Q ﹁Q P→Q ﹁P ﹁Q ∧（P→Q）(﹁Q∧（P→Q）)→﹁P T T F T F F T T F T F F F T F T F T T F T F F T T T T T
(2)
解：(⌝Q∧（P→Q）)→⌝P
⇔(⌝Q∧（﹁P∨Q））→⌝P
⇔﹁(⌝Q∧（﹁P∨Q））∨⌝P
⇔（﹁⌝Q∨﹁（﹁P∨Q））∨⌝P
⇔Q∨（P∧﹁Q）∨⌝P
4．完成下列问题
求命题公式（P∧（Q→R））→S的析取范式。

解：（P∧（Q→R））→S
⇔（P∧（﹁Q∨R））→S
⇔﹁（P∧（﹁Q∨R））∨S
⇔（﹁P∨﹁（﹁Q∨R））∨S
⇔﹁P∨（﹁﹁Q∧﹁R）∨S
⇔﹁P∨（Q∧﹁R）∨S
5．设命题公式为（P ∧（P→Q））→Q。

（1）求此命题公式的真值表；
（2）求此命题公式的析取范式；
（1）
P Q P→Q P ∧（P→Q）（P ∧（P→Q））→Q
T T T T T
T F F F T
F T T F T
F F T F T （2）
解：（P∧（P→Q））→Q
⇔（P∧（﹁P∨Q））→Q
⇔﹁（P∧（﹁P∨Q））∨Q
⇔（﹁P∨﹁（﹁P∨Q））∨Q
⇔﹁P∨（﹁﹁P∧﹁Q）∨Q
⇔﹁P∨（P∧﹁Q）∨Q
6．设命题公式为（（P ∨ Q）∧⌝P）→Q。

（1）求此命题公式的真值表；
（2）给出它的析取范式；
（1）
P Q P∨Q﹁P（P∨Q）∧﹁P（（P∨Q）∧﹁P）→Q
T T T F F T T F T F F T F F F T F T F T T T T T
（2）
解：（（P ∨ Q）∧⌝P）→Q
⇔﹁（（P ∨ Q）∧⌝P）∨Q
⇔（﹁（P ∨ Q）∨（﹁﹁P））∨Q
⇔﹁P∨﹁Q）∨P∨Q
⇔T
7．用直接证法证明
前提：P∨Q，P→R，Q→S
结论：S∨R
证明：1）P∨Q P
2）﹁P→Q T 1）E
3）Q→S P
4）﹁P→S T 2）3）I
5）﹁S→P T 4）E
6）P→R P
7）﹁S→R T 5）6）I
8）S∨R T 7）E
8．用直接证法证明
前提：P→ (Q∨R)，S→⌝Q，P，S。

结论：R
证明：1）P→ (Q∨R) P
2）P P
3）(Q∨R) T 2）3）I
4）S→⌝Q P
5）S P
6）⌝Q T 4）5）I
7）R T 3）6）E
第二章谓词逻辑
一填空题
（1）若个体域是含三个元素的有限域{a，b，c}，则
∃xA(x)⇔A(a) ∨ A(b) ∨ A(c)
（2）取全总个体域，令F(x)：x为人,G(x)：x爱看电影。

则命题“没有不爱看电影的人。

”可符号化为___⌝(∃x(F(x) ∧ G(x)))____。

（3）若个体域是含三个元素的有限域{a，b，c}，则
∀xA(x)⇔A(a) ∧ A(b) ∧ A(c) 。

（4）取全总个体域，令M(x)：x是人,G(y)：y是花, H(x,y)：x喜欢y。

则命题“有些人喜欢所有的花。

”可符号化为∃x(M(x)∧(∀y(G(y)→H(x,y))))。

（5）取个体域为全体人的集合。

令F(x)：x在广州工作,G(x)：x是广州人。

在一阶逻辑中，命题“在广州工作的人未必都是广州人。

”可符号化为_______﹁∀x(F(x)→ G(x))_____。

（6）P(x)：x是学生，Q(x)：x要参加考试。

在谓词逻辑中，命题：
“每个学生都要参加考试”可符号化为：∀x(P(x) →Q(x))。

（7）M(x)：x是人，B(x)：x勇敢。

则命题“有人勇敢，但不是所有的人都勇敢”谓词符号化为 ____∃x(M(x)∧ B(x)) ∧﹁∀x(M(x) →B(x))_______。

（8）P(x)：x是人，M(x)：x聪明。

则命题“尽管有人聪明，但不是一切人都聪明”谓词符号化为 ______∃x(P(x)∧ M(x)) ∧﹁∀x(P(x) →M(x))___。

（9）I(x)：x是实数，R(x)：x是正数，N(x)：x是负数。

在谓词逻辑中，命题：“任何实数或是正的或是负的”可符号化为：∀x(I(x) →(R(x) ∨ N(x))。

（10）P(x)：x是学生，Q(x)：x要参加考试。

在谓词逻辑中，命题：“每个学生都要参加考试”可符号化为：∀x(P(x) →Q(x))。

（11）令M(x)：x是大学生,P(y)：y是运动员, H(x, y)：x钦佩y。

则命题“有些大学生不钦佩所有运动员。

”可符号化为____∃x(M(x)∧(∀y(P(y)→H(x,y)))___。

二．判断题
1.设A，B都是谓词公式，则∀x A↔⌝B也是谓词公式。

（√）
2.设c是个体域中某个元素，A是谓词公式，则A(c)⇒∀xA(x)。

（⨯）
3.∀x∀yA(x,y)⇔∀y∀xA(x,y) 。

（√）
4.∀x∃yA(x,y)⇔∃y∀xA(x,y) 。

（⨯）
5.取个体域为整数集，则谓词公式∀x∀y(x ⨯ y = y ) 是假命题。

（√）
6.(∀x)（P(x)→Q(x)）⇔ (∀x)（⌝P(x) ∨Q(x)）。

（√）
7.命题公式(P∧⌝Q∨ R) ∨ (⌝P∧Q) 是析取范式。

（⨯）
8.谓词公式(∀x)(A (x) → B(x, y)) ∧R(x) 的自由变元为x, y。

（√）
9.（（∀x）A（x）→B）⇔（∃x）（A（x）→B）。

（⨯）
10.R(x)：“x是大学生。

”是命题。

（⨯）
三、选择题：在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入
下列叙述中的内。

1．设F（x）：x是火车，G（x）：x是汽车，H（x，y）：x比y快。

命题“某些汽车比所有火车慢”的符号化公式是(2) 。

（1）∃y（G（y）→∀x（F（x）∧H（x，y）））
（2）∃y（G（y）∧∀x（F（x）→H（x，y）））
（3）∀x ∃y（G（y）→（F（x）∧H（x，y）））
（4）∃y（G（y）→∀x（F（x）→H（x，y）））
2．设个体域为整数集，下列真值为真的公式是（3）。

（1）∃y∀x (x – y =2)
（2）∀x∀y(x – y =2)
（3）∀x∃y(x – y =2)
（4）∃x∀y(x – y =2)
3．设F（x）：x是人，G（x）：x早晨吃面包。

命题“有些人早晨吃面包”在谓词逻辑中的符号化公式是（4）。

（1）（∀x）（F（x）→G（x））
（2）（∀x）（F（x）∧G（x））
（3）（∃x）（F（x）→G（x））
（4）（∃x）（F（x）∧G（x））
5．下列式子中正确的是（1）。

（1）⌝（∀x）P（x）⇔（∃x）P（x）
（2）⌝（∀x）P（x）⇔（∀x）⌝P（x）
（3）⌝（∃x）P（x）⇔（∃x）⌝P（x）
（4）⌝（∃x）P（x）⇔（∀x）⌝P（x）
6．下面谓词公式是永真式的是b)。

a)P（x）→Q（x）
b)（∀x）P（x）→（∃x）P（x）
c)P（a）→（∀x）P（x）
d)⌝P（a）→（∃x）P（x）
5．设S（x）：x是运动员，J（y）：y是教练员，L（x，y）：x钦佩y。

命题“所有运动员都钦佩一些教练员”的符号化公式是c) 。

a)∀x（S（x）∧∀y（J（y）∧L（x，y）））
b)∀x∃y（S（x）→（J（y）→L（x，y）））
c)∀x（S（x）→∃y（J（y）∧L（x，y）））
d)∃y∀x（S（x）→（J（y）∧L（x，y）））
6．下列式子是合式公式的是（2）。

（1）（P∨→Q）（2）⌝（P∧（Q∨R））
（3）（P ⌝Q）（4）∧Q→∧R
7．下列式子中正确的是（1）。

（1）⌝（∀x）P（x）⇔（∃x）P（x）
（2）⌝（∀x）P（x）⇔（∀x）⌝P（x）
（3）⌝（∃x）P（x）⇔（∃x）⌝P（x）
（4）⌝（∃x）P（x）⇔（∀x）⌝P（x）
四、解答题
1．构造下面推理的证明：
前提：∃ x F（x）→∀y（（F（y）∨ G（y））→ R（y）），
∃ x F（x）。

结论：∃ x R（x）。

证明：
（1）∃ x F（x）→∀y（（F（y）∨ G（y））→ R（y））前提引入
（2）∃ x F（x）前提引入
（3）∀y（（F（y）∨ G（y））→ R（y））（1）（2）假言推理
（4）F（c）（2）EI
（5）F（c）∨ G（c）（4）附加
（6）（F（c）∨ G（c））→ R（c）（3）UI
（7）R（c）（5）（6）假言推理
（8）∃ x R（x）（7）EG
2．在一阶逻辑中构造下面推理的证明
每个喜欢步行的人都不喜欢坐汽车。

每个人或者喜欢坐汽车或者喜欢骑自行车。

有的人不喜欢骑自行车。

因而有的人不喜欢步行。

令F(x)：x喜欢步行，G(x)：x喜欢坐汽车，H(x)：x喜欢骑自行车。

前提：∀x（F（x）→⌝G（x））, ∀x（G（x）∨H（x））,
∃x (⌝H（x）)
结论：∃x (⌝F（x）)
证明
（1）∃x (⌝H（x）) 前提引入
（2）⌝H（c）（1）EI
（3）∀x（G（x）∨H（x））前提引入
（4）G（c）∨H（c）（3）UI
（5）G（c）
（6）∀x（F（x）→⌝G（x））前提引入
（7）F（c）→⌝G（c）（6）UI
（8）⌝F（c）
（9）∃x (⌝F（x）) （8）EG
3．在命题逻辑中构造下面推理的证明：
如果他是理科学生，他必须学好数学。

如果他不是文科学生，他必是理科学生。

他没学好数学，所以他是文科学生。

令F(x)：x是理科学生，G(x)：x学好数学，H(x)：x是文科学生。

前提：∀x（F（x）→G（x））, ∀x（⌝H(x)→F（x））,
∃x (⌝G（x）)
结论：∃x (H(x))
证明
（1）∀x（F（x）→G（x））前提引入
（2）∃x (⌝G（x）) 前提引入
（3）∃x (⌝F（x）) T（1）（2）I
（4）∀x（⌝H(x)→F（x））前提引入
（5）∃x (H(x)) T（3）（4）I
4．用直接证法证明：
前提：（∀x）（C（x）→W（x）∧R（x）），（∃x）（C（x）∧Q（x））
结论：（∃x）（Q（x）∧R（x））。

推理：1) (∀x)(C(x) →W(x) ∧R(x)) P
2) (∃x)(C(x) ∧Q(x)) p
3) C(a) ∧Q(a) ES2)
4) C(a) →W(a) ∧R(a) US1)
5) C(a) T3)I
6) W(a) ∧R(a) T4)5)I
7) Q(a) T3)I
8) R(a) T6)I
9) Q(a) ∧R(a) T7)8)I
10) (∃x)(Q(x) ∧R(x)) EG9)
第三章集合与关系
一填空题
（1）如果|A|＝n，那么|A×A|＝n2。

A上的二元关系有____22n_____个。

（2）集合A上关系R的自反闭包r（R）=_______R⋃I____________。

（3）设集合A上的关系R和S，R={（1，2），（1，3），（3，2）}，S={（1, 3），（2，1），（3，2）}，则S◦R={(1,2), (2,2), (2,3)} 。

（4）如果|A|＝n，那么|P(A)|＝2n。

（5）设集合A上的关系R和S，R={<1，2>，<2，1>，<3，4>，<4，3>}，S={<1，3>，<3，1>，<2，4>，<4，2>}，则R◦S= {<1,4>, <2,3>, <3,2>, <4,1>} 。

（6）设集合E={a, b, c}，E的幂集P(E)＝___________________________。

（7）设R是定义在集合X上的二元关系，如果对于每个x, y∈X，______ ____ ____________ ，则称集合X上的关系R是对称的。

（8）设关系R和S为，R={<1，2>，<3，4>，<2，2>}，S={<4，2>，<2，5>，<3，1>，<1，3>}，则R◦S =______ ___ __ _______________。

（9）设R是定义在集合X上的二元关系，如果对于每个x, y∈X，______ ____ ____________ ，则称集合X上的关系R是自反的。

二．判断题
1．设A、B、C为任意的三个集合，则A×(B×C)=A×(B×C)。

（×）2．设S，T是任意集合，如果S -T = ∅，则S = T。

（×）3．集合A={1,2,3,4}上的关系{<1,2>,<2,3>,<2,4>,<3,4>}是一个函数。

（×）4．集合A={1，2，3，4}上的整除关系是等价关系。

（×）5．集合A 的幂集P(A)上的包含关系是偏序关系。

（√）6．设A={a, b, c}, R∈ A×A且R={< a, b>,< a, c>}, 则R是传递的。

（√）6．设A，B是任意集合，如果B ≠∅，则A – B ≠ A。

（×）7．集合A={1,2,3}上的关系{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}是传递的。

（√）8．集合A={1，2，3，4}上的小于关系是等价关系。

（×）9．关系{<x1, x2>∣x1, x2∈N, x1+x2<6}能构成一个函数。

（×）10．集合A 上的恒等关系是偏序关系。

（√）
11．集合A={1,2,3}上的关系S={<1,1>,<1,2>,<3,2>,<3,3>}是自反的。

（×）12．设X={1, 2, 3}, Y={a, b, c}。

函数F={<1, a>,<2, c>,<3, b>}是双射。

（√）13．集合A上的关系R的自反闭包r(R)=R∪I A。

（√）14．集合A上的偏序关系R是自反的、对称的、传递的。

（×）15.设A，B是任意集合，则A ⊕ B ＝(A-B) ∪(B-A)。

（√）
三、选择题：在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入
下列叙述中的内。

1．设A={a，b，c}，B={a，b}，则下列命题不正确的是a) 。

a)A－B={a，b}
b)A∩B={ a，b }
c)A⊕B={c}
d)B⊆A
2．设A = {a, b, c, d}, A 上的关系R = {<a, b>, <b, a>, <b, c>, <c, d>}，则它的对称闭包为c)。

a)R = {<a, a>, <a, b>, <b, b>, <b, a>, <b, c>, <c, c>, <c, d>}，
b)R = {<a, b>, <b, a>, <b, c>, <c, b>, <c, d>}，
c)R = {<a, b>, <b, a>, <b, c>, <c, d>, <c, b>, <d, c>}，
d)R = {<a, a>, <a, b>, <b, a>, <b, c>, <c, d>, <d, c>}，
3．对于集合{1, 2, 3, 4}上的关系是偏序关系的是a) 。

a)R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,2>, <2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>}
b)R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,2>, <2,1>,<2,4>,<3,1>,<3,4>,<4,4>}
c)R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,2>, <2,1>,<3,1>,<3,3>,<4,1>,<4,4>}
d)R={<2,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,2>, <4,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>} 4．设A={1，2，3，4，5}，B={6，7，8，9，10}，以下哪个关系是从A到B 的单射函数b) 。

a) f ={<1，7>，<2，6>，<3，5>，<1，9>，<5，10>}
b) f ={<1，8>，<2，6>，<3，7>，<4，9>，<5，10>}
c) f ={<1，7>，<2，6>，<3，5>，<4，6>}
d) f ={<1，10>，<2，6>，<3，7>，<4，8>，<5，10>}
5．设 A = {a, b, c}，要使关系{<a, b>, <b, c>, <c, a>, <b, a>}∪R具有对称性，则d) 。

a)R = {<c, a>, <a, c>}
b)R = {<c, b>, <b, a>}
c)R = {<c, a>, <b, a>}
d)R = {<c, b>, <a, c>}
6．设S={Φ，{1}，{1，2}}，则S的幂集P（S）有(4) 个元素（1）3 （2）6 （3）7 （4）8
7．设R为定义在集合A上的一个关系，若R是（2），则R为等价关系。

（1）反自反的，对称的和传递的（2）自反的，对称的和传递的
（3）自反的，反对称的和传递的（4）对称的，反对称的和传递的8．设S，T，M为任意集合，下列命题正确的是c) 。

a)如果S∪T = S∪M，则T = M
b)如果S-T = Φ，则S = T
c)S-T⊆S
d)S⊕S = S
9．设A = {a, b, c}，要使关系{<a, b>, <b, c>, <c, a>, <b, a>}∪R具有对性，则（4）。

（1）R = {<c, a>, <a, c>} （2）R = {<c, b>, <b, a>}
（3）R = {<c, a>, <b, a>} （4）R = {<c, b>, <a, c>}
10．设A={1，2，3，4，5}，B={a，b，c，d，e}，以下哪个函数是从A到B 的入射函数b) 。

a)F ={<1，b>，<2，a>，<3，c>，<1，d>，<5，e>}
b)F={<1，c>，<2，a>，<3，b>，<4，e>，<5，d>}
c)F ={<1，b>，<2，a>，<3，d>，<4，a>}
d)F={<1，e>，<2，a>，<3，b>，<4，c>，<5，e>}
四、解答题
1．已知偏序集（A ，≦），其中A={a ，b ，c ，d ，e}，“≦”为{（a ，b ），
（a ，c ），（a ，d ），（c ，e ），（b ，e ），（d ，e ），（a ，e ）}∪I A 。

（1）画出偏序集（A ，≦）的哈斯图。

（2）求集合A 的极大元，极小元，最大元，最小元。

(1)
（2）集合A 的极大元是e ，极小元a ，最大元e ，最小元a 。

2．设R 是集合A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}上的整除关系。

（1） 给出关系R ；（2）画出关系R 的哈斯图；
（3）指出关系R 的最大、最小元，极大、极小元。

（1）R={<1,1>,<1,2> , <1,3>, <1,4>, <1,5>, <1,6>, <1,7>, <1,8>, <1,9>, <2,2>, <2,4>, <2,6>, <2,8>, <3,3>, <3,6>, <3,9>, <4,4>, <4,8>, <5,5>, <6,6>, <7,7>, <8,8>, <9,9>}
(2)
e d a b c 4 5 1
2 3 7 6 8
9
（3）关系R 的无最大，最小元是1，极大元是8和9，极小元是1。

3．设R 是集合A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}上的整除关系。

（2） 给出关系R ；
（2） 给出COV A
（3） 画出关系R 的哈斯图；
（4） 给出关系R 的极大、极小元、最大、最小元。

（1）R={<1,1>,<1,2> , <1,3>, <1,4>, <1,6>, <1,12>, <2,2>, <2,4>, <2,6>, <2,12>, <3,3>, <3,6>, <3,12>, <4,4>, <4,12>, <6,6>, <6,12>, <12,12>}
(2) COV A ={<1,2> , <1,3>,<2,4>, <2,6> <3,6> <4,12>, <6,6>, <12,12>}
(3)
（4）关系R 的极大、最大元是12，极小元、最小元是1。

4 3 1
2 6
12
第五章代数结构
一填空题
（1）集合S的幂集P(S)关于集合的并运算“∪”的零元为____S___。

（2）集合S的幂集P(S)关于集合的并运算“∩”的零元为____φ____。

（3）集合S的幂集P(S)关于集合的并运算“∪”的么元为____φ______。

（4）一个代数系统＜S, * ＞，其中S是非空集合。

*是S上的一个二元运算，如果*在S上是封闭的，则称代数系统＜S, * ＞为广群。

二．判断题
1．含有零元的半群称为独异点。

（⨯）2．运算“＋”是整数集I上的普通加法，则群<I, ＋>的么元是1。

（⨯）三、填空题：在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入
下列叙述中的内。

1．下列群一定为循环群的是e)。

e)<I，＋> （运算“＋”是整数集I上的普通加法）
f)<R－{0}，×> （R是实数集，“×”是普通乘法）
g)<Q，＋> （运算“＋”是有理数集Q上的普通加法）
h)<P（S），⊕ > （P（S）是集合S的幂集，“⊕”为对称差）
2．运算“－”是整数集I上的普通减法，则代数系统<I, －> 满足下列性质（3）。

（1）结合律（2）交换律（3）有零元（4）封闭性
3．设I是整数集，N是自然数集，P（S）是S的幂集，“×，＋，∩”是普通的乘法，加法和集合的交运算。

下面代数系统中（2）是群。

（1）<I，×> （2）<I，＋> （3）<P(S)，∩> （4）<N，+> 4．下列代数系统不是群的是（2）。

（1）<I，＋> （运算“＋”是整数集I上的普通加法）
（2）<P（S），∩> （P（S）是集合S的幂集，“∩”为交运算）
（3）<Q，＋> （运算“＋”是有理数集Q上的普通加法）
（4）<P（S），⊕ > （P（S）是集合S的幂集，“⊕”为对称差）
第七章图论
一填空题
（1）一个无向图G=（V，E）是二部图当且仅当G中无奇数长度的回路。

（2）任何图(无向的或有向的)中，度为奇数的顶点个数为偶数。

（3）设D是一个有向图，若D中任意一对顶点都是相互可达的，则称D是________双向连通的_______。

（4）既不含平行边，也不含环的图称为简单图。

（5）经过图中每条边一次且仅一次并的回路，称为欧拉回路。

（6）一棵有n个顶点的树含有_______n－1________边。

（7）设G =（V，E），G' =（V'，E'）是两个图，若V′= V且E′⊆E，称G'是G的生成子图。

（8）经过图中每个结点一次且仅一次的回路，称为哈密尔顿回路。

二．判断题
1．5个顶点的有向完全图有20条边。

（√）2．连通无向图的欧拉回路经过图中的每个顶点一次且仅一次。

（⨯）3．图中的初级通路都是简单通路。

（√）4．已知n (n≥2)阶无向简单图G有n – 1条边，则G一定为树。

（⨯）5．n阶无向完全图K n的每个顶点的度都是n。

（⨯）6．一个无向图是二部图当且仅当它没有奇数度的顶点。

（⨯）7．任何图都有一棵生成树。

（⨯）8．连通无向图的哈密尔顿回路经过图中的每条边一次且仅一次。

（⨯）9．图中的初级回路都是简单回路。

（√）10．任一图G=（V，E）的顶点的最大度数必小于G的顶点数。

（⨯）11．欧拉图一定是汉密尔顿图。

（⨯）12．无向连通图G的任意两结点之间都存在一条路。

（√）
13．根树中除一个结点外，其余结点的入度为1。

（√）
三、选择题：在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的内。

1．下列为欧拉图的是(4) 。

2．下列各图为简单图的是(3)。

3．设无向图G有12条边，已知G中3度顶点有6个，其余顶点的度数都小于3，则该图至少有（3）个顶点。

（1）6 （2）8 （3）9 （4）12
4．下列四个有6个结点的图(3)是连通图。

5．称图G′=<V′，E′>为图G = <V，E>的生成子图是指____（3）____.
（1）V′⊆V （2）V′⊆V且E′⊆ E
（3）V′= V且E′⊆E （4）V′⊂ V且E′⊂ E
6．有向图中结点之间的可达关系是______（2）________。

（1）自反的，对称的（2）自反的，传递的
(1) (2) (3) (4)
(1) (2) (3) (4)
（3）自反的，反对称的（4）反自反的，对称的
7．在下列关于图论的命题中，为真的命题是d) 。

a)完全二部图Kn, m (n ≥1, m ≥1)是欧拉图
b)欧拉图一定是哈密尔顿图
c)无向完全图Kn（n≥3）都是欧拉图
d)无向完全图Kn（n≥3）都是哈密尔顿图
8．下列各图为平面图的是(3)。

9．设G为任意的连通的平面图，且G有n个顶点，m条边，r个面，则平面图的欧拉公式为（1）。

（1）n – m + r = 2（2）m – n + r = 2（3）n + m – r =2（4）r + n + m = 2 10．下列四个图中与其余三个图不同构的图是（3）。

（1）（2）（3）（4）(1) (2) (3) (4)
四、解答题
1．给定边集：{（1，2），（1，3），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），
（3，5），（4，5）}，
(1) 画出相应的无向图G （设G 无孤立点）； (2) 画出顶点子集V 1 = { 2, 3, 4, 5}导出的导出子图； (3) 画出图G 的一棵生成树。

(1) (2)
2．如图所示带权图，用避圈法(Kruskal 算法)求一棵最小生成树并计算它的权
值。

1
3
4
2
5
3 4
2
5
1
3 4 2 5
(3)
它的权值为：1+2+4+4=11
3．如图所示带权图，用避圈法(Kruskal 算法)求一棵最小生成树，并计算它的
权值。

它的权值为：1+2+3+5+7=18
4．求带权图G 的最小生成树，并计算它的权值。

1
3 5
2 7
1 4
2
4
它的权值为：1+1+2+3=7
5．给定权为2，6，3，9，4；构造一颗最优二叉树，并求此最优二叉树的权。

最优二叉树的权:2×3+3×3+4×2+6×2+9×2=53
6．给定权为1，9，4，7，3；构造一颗最优二叉树，并求此最优二叉树的权。

1 3
1
2
2 3 4 6 9
5
9 15
27
最优二叉树的权:1×4+3×4+4×3+7×2+9×1=51
7．给定权为2，6，5，9，4，1；构造一颗最优二叉树，并求此最优二叉树的权。

最优二叉树的权:1×4+2×4+4×3+5×2+6×2+9×2=64
1 3 4 4
8 9
15
7
27
1 2 4 5 6
3
7 11
16
9 27。