三维线性代数公式

1.向量 1.1 零向量 : v(0,0,0) 1.2 负向量 : -v; 1.3 向量的模 : ||v|| = sqrt(x*x+y*y+z*z); 1.4 向量乘标量 : scalar * vector = (vector.x*scalar,vector.y*scalar,vector.z*scalar); 1.5 向量加法 : v1 + v2 : 得到从v1起点指向v2终点的向量,算法:各分量相加. 1.6 向量减法 : v1 - v2 : 得到从v2指向v1的向量.算法:各分量相减. 1.7 2点的距离公式 : 2点相减得到向量的模. 1.8 点乘 : v1.v2 = ||v1|| * ||v2|| *cos(a) > 0 : v1,v2大约同方向. = 0 : v1,v2垂直. < 0 : v1,v2大约反方向. 结果表示2向量的相似度.n.l(法线.光线)常用作光强系数. 算法: v1.v2 = v1.x*v
2.x+v1.y*v2.y+v1.z*v2.z; 1.9 叉乘 : axb = ||a|| * ||b|| * sin(t). 结果得到与v1,v2彼此垂直的向量.用于求表面的法线. *不满足交换律和结合率. ||axb||:是以ab 为2边的并行四边形的面积. 判断叉乘向量的方向: 左手坐标系,axb: 让a 的终点连b 的起点,左手4手指与ab 方向一致,大拇指则是叉乘向量的方向. 右手坐标系用右手. 1.10 向量标准化 : v norm = v / ||v||; 1.11 计算v 在n 上的投影:
1
2
n
n v n
v ⋅=n 乘v 点乘n 除n 模方.
2 ⊥+=v v v ||: v = v 平行 + v 垂直.
1.12公式,abc 为向量,stk 为标量.
a b b a +=+ ()b a b a -+=-
()()c b a c b a ++=++
()()a a st t s =
()b a b a k k k +=+
a
a k k =
0≥a
2
22b
a b a +=+
b
a b a +≥+
a b b a ⋅=⋅ a a a ⋅=
())()(b a b a b a k k k ⋅=⋅=⋅ ()c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅ 0a a =⨯
)()(b a b a -⨯-=⨯ )(a b b a ⨯-=⨯
)()()(b a b a b a k k k ⨯=⨯=⨯ c a b a c b a ⨯+⨯=+⨯)( 0b a a =⨯⋅)(
2. 矩阵
2.1方阵 :
行列数相同的矩阵.
2.2对角矩阵 :
对角线元素不为0,别的元素都是0.
2.3单位矩阵
:I 3 ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡100010001 2.4转置矩阵: ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡i h g f e d c b a 的转置 = ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡i f
c
h e b g d
a
2.5 标量乘矩阵 :
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3332
31
2322
21
131211
3332
31
2322
21
131211
M km km km km km km km km km m m m m m m m m m k k 2.6矩阵乘矩阵
A x
B = AB,规则c
r c n n r ⨯=⨯*⨯
若A 的列数不同于B 的行数,则矩阵无法相乘.
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4544
43
42
41
35343332312524232221
1514131211
2524
2322
2115141121142413231222112113c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c b b b b b b b b b b a a a a a a a a 2422142124b a b a c += : A 第2行与B 第4列的点乘.
AB =
⎥⎦⎤⎢⎣⎡2221
1211a a a a ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡22211211b b b b = ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡++++22221221212211212212121121121111b a b a b
a b a b a b a b a b a
性质:
1任意矩阵M 乘以方阵S,不管从哪边乘都将得到与原矩阵相同的矩阵. 2 矩阵乘法不满足交换律,即BA AB ≠ 3 矩阵乘法满足结合率,即:()()BC A C AB = 4 矩阵标量乘满足结合率,即
())()(B A AB B A k k k ==
5 矩阵积的转置等于先转置再相反顺序乘:
()T T T A B AB =
2.7 矩阵用途,可以描述线性变换.
1 2d 旋转
⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=θθ
θθ
θcos sin sin cos '')R(q p
2 3d 旋转 2.1绕x 轴
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=θθ
θθθcos sin -0sin cos 0001
''')(R x r q p
2.2绕y 轴旋转
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=θθ
θθ
θcos 0sin 010sin -0cos ''')(R r q p y
2.3绕z 轴旋转
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10
0cos sin -0sin cos ''')(R θθθθ
θr q p z 2.4绕任意轴旋转
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---+-+-+-----+-+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=θθθθθθθθθθθθθθθθθθcos )cos 1(sin )cos 1(sin )cos 1(sin )cos 1(cos )cos 1(sin )cos 1(sin )cos 1(sin )cos 1(cos )cos 1('''),R(22
2x z z z y y z x x x y y x y x y y x x y x θn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n r q p n
3 缩放:
3.1 沿x,y 轴的2d 缩放矩阵.
⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y x
y x k k k k 0
0''),(q p S
3.2 沿x,y,z 轴的3d 缩放矩阵.
()⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=z y
x
z y x k k k k k k 0
00
00,,S 3.3 沿任意轴的2d 缩放
()⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡-+---+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22
)1(1)1()1()1(1'',y y x y x x k k k k k n n n n n n q p n S
3.4 沿任意轴的3d 缩放
()⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-+----+----+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22
2
)1(1)1()1()1()1(1)1()1()1()1(1''',z y z z x z y y y x z x y x x k k k k k k k k k k n n n n n n n n n n n n n n n r q p n S 4 正交(平行)投影
2d 投影
4.1 向x 轴投影的2d 矩阵
[]⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡==0001)0,10(S P x
4.2 向y 轴投影的2d 矩阵
[]⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡==1000)0,01(S P y
4.3 向任意直线投影的2d 矩阵
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎣⎡---+==22
11)0,()(y y
x y x x
n n n n n n n S n P
3d 投影
4.4 向xy 平面投影的3d 矩阵
[]⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡==000010001)0,100(S P xy
4.5 向xz 平面投影的3d 矩阵
[]⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡==100000001)0,010(S P xz
4.6 向yz 平面投影的3d 矩阵
[]⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡==100010000)0,001(S P yz
4.7 向任意平面投影的3d 矩阵
()()⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡---------==222
1110,z y
z z x z y y y
x z x y x x
n n n n n n n n n n n n n n n n S n P 5 镜像
缩放因子为-1的缩放矩阵可以方便的实现镜像. 5.1 沿任意轴镜像的2d 矩阵
()⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎣⎡----=-=22
212221)1,(y y
x y x x
n n n n n n n S n P
5.2 沿任意轴镜像的3d 矩阵
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡---------=-=222
212222122221)1,()(z y
z z x z y y y
x z x y x x
n n n n n n n n n n n n n n n n S n P
6 切变(扭曲)矩阵
1 2d 切变
6.1 x 坐标根据坐标y 被切变,参数s 控制着切变的方向和量.
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=101)(s s x H
6.2 y 坐标根据x 坐标被切变.
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=101)(s s y H
2 3d 切变
6.3 xy 面,根据z 被切变
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=1010001),(t s t s xy H
6.4 xz 面,根据y 被切变
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=1001001),(t s t s xz H
6.5 yz 面根据x 被切变
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=1000101),(t s t s yz H
线性变换
如果函数F 保持基本运算:加法和数量乘,就可以称该函数是线性的. 满足下式:
)
()()()()(a F a F b F a F b a F k k =+=+
仿射变换是线性变换接着平移.
7 方阵M 的行列式.
记作M 或det M.
7.1 2x2矩阵的行列式
1221221122
2112
11m m m m m m m m -==
M
7.2 3x3矩阵的行列式
)
()()(31223232133321312312322333221133211232231131221332211331231233221133
32
31
23222113
1211m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m -+-+-=
---++=
行列式等于以基向量为2边的并行四边形有符号的面积.。