安徽省六安市六安二中、霍邱一中、金寨一中2018_2019学年高二数学下学期期末联考试题文(含解析)

安徽省六安市六安二中、霍邱一中、金寨一中2018-2019学年高二数
学下学期期末联考试题 文（含解析）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知扇形的圆心角为150︒，弧长为()5rad π，则扇形的半径为（ ） A. 7 B. 6
C. 5
D. 4
【答案】B 【解析】 【
分析】
求得圆心角的弧度数，用l
r α
=
求得扇形半径.
【详解】依题意150o 为5π
6
，所以5656
l
r π
πα===．故选B. 【点睛】本小题主要考查角度制和弧度制转化，考查扇形的弧长公式的运用，属于基础题.
2.已知角α的终边经过点()2,1P -，则sin cos sin cos αα
αα
-=+（ ）
A. 4-
B. 3-
C.
12
D.
34
【答案】B 【解析】 【分析】 根据角的终边上一点的坐标，求得tan α的值，对所求表达式分子分母同时除以cos α，转化为只含tan α的形式，由此求得表达式的值.
【详解】依题意可知1tan 2α=-，
11
sin cos tan 1
231sin sin tan 1
12
αααααα----===-++-+．故选B. 【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查齐次方程的计算，属于基础题.
3.在曲线2
y x =的图象上取一点()1,1及附近一点()1,1x y +∆+∆，则
y
x
∆∆为（ ）
A. 1
2x x
∆+
+∆ B. 1
2x x
∆-
-∆ C. 2x ∆+ D. 1
2x x
+∆-∆
【答案】C 【解析】 【分析】
求得y ∆的值，再除以x ∆，由此求得表达式的值.
【详解】因为2
y x =，所以()2
112x y x x x
+∆-∆=
=∆+∆∆．故选C.
【点睛】本小题主要考查导数的
定义，考查平均变化率的计算，属于基础题.
4.如图所示正方形ABCD ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，则向正方形内随机掷一点P ，该点落在阴影部分内的概率为（ ）
A.
1
8
B.
16
C.
15
D.
14
【答案】D 【解析】 【分析】
根据正方形的对称性求得阴影部分面积占总面积的比例，由此求得所求概率.
【详解】根据正方形的对称性可知，阴影部分面积占总面积的四分之一，根据几何概型概率计算公式可知点落在阴影部分内的概率为
1
4
，故选D. 【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，属于基础题.
5.函数2
1()3ln 42
f x x x x =-+的递增区间为（ ） A. (0,1)，(3,)+∞
B. (1,3)
C. (,1)-∞，(3,)+∞
D. (3,)+∞
【答案】A 【解析】
分析：直接对函数求导，令导函数大于0，即可求得增区间. 详解：()()()133
40x x f x x x x
--=
-+=>'，013x x ⇒<或，∴ 增区间()()013+∞，，，.
故答案为：A.
点睛：本题考查了导数在研究函数的单调性中的应用，需要注意的是函数的单调区间一定是函数的定义域的子集，因此求函数的单调区间一般下，先求定义域；或者直接求导，在定义域内求单调区间.
6.要得到函数22cos sin y x x =-的图象，只需将函数cos 24y x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象（ ） A. 向左平移
8π
个单位 B. 向右平移
8π
个单位 C. 向左平移4
π
个单位 D. 向右平移
4
π
个单位 【答案】B 【解析】
【详解】22
cos sin y x x =-=cos2x,
cos 24y x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
=cos 28x π⎡⎤
⎛⎫+
⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
,所以只需将函数cos 24y x π=+⎛
⎫ ⎪
⎝
⎭图象向右平移
8
π个单位可得到22
cos sin 2,y x x cos x =-= 故选B
7.某产品的销售收入1y （万元）关于产量x （千台）的函数为)10y x =>；生产成
本2y （万元）关于产量x （千台）的函数为)22
03
y x =>，为使利润最大，应生产产品( )
A. 9千台
B. 8千台
C. 7千台
D. 6千台
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意得到利润关于产量的函数式，再由导数求得使利润最大时的产量，即可求解出答案。

【详解】设利润为y 万元，则()122
1603
y y y x x x x =-=->，y x
'=
， 令0y '>，得08x <<，令0y '<，得8x >，
∴当8x =时，y 取最大值，故为使利润最大，应生产8千台．选B.
【点睛】本题主要考查了利用导数的性质求函数的最值来解决实际问题。

8.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ=+>>≤
⎛⎫
⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，则函数()y f x =的表达式是（ ）
A. ()2sin 12f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
B. ()2sin 23f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭ C. ()22sin 23
f x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭
D. ()2sin 23f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
【答案】D 【解析】 【分析】
根据函数的最值求得A ，根据函数的周期求得ω，根据函数图像上一点的坐标求得ϕ，由此求得函数的解析式.
【详解】由题图可知2A =，且
11522122T πππ
=-=即T π=，所以222T ππωπ
===， 将点5,212π⎛⎫
⎪⎝⎭
的坐标代入函数()()2sin 2x x f ϕ=+， 得
()5262k k ππϕπ+=+∈Z ，即()23
k k π
ϕπ=-∈Z ， 因为2
π
ϕ≤
，所以3
π
ϕ=-
，
所以函数()f x 的表达式为()2sin 23f x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
．故选D. 【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求三角函数的解析式，属于基础题.
9.已知()()21cos f x x x =+-，则不等式()ln 11f x -<的解集为（ ） A. ()0,e B. ()1,+∞
C.
()e,+∞
D.
()1,e
【答案】A 【解析】 【分析】
利用导数判断出()f x 在R 上递增，而()01f =，由此将不等式()ln 11f x -<转化为
()()ln 10f x f -<，然后利用单调性列不等式，解不等式求得x 的取值范围.
【详解】由()2sin 0f x x '=+>，故函数()f x 在R 上单调递增， 又由()02cos01f =-=，
故不等式()ln 11f x -<可化为，()()ln 10f x f -<，得ln 10x -<， 解得0e x <<．故选A.
【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查对数不等式的解法，属于基础题.
10.若函数()2
ln f x ax x x =+-存在增区间，则实数a 的取值范围为（ ）
A. 1,4⎛⎫-∞-
⎪⎝⎭
B. 1,4⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
C. 1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
D. 1,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
先假设函数()f x 不存在增区间，则()f x 单调递减，利用()f x 的导数恒小于零列不等式，将不等式分离常数后，利用配方法求得常数a 的取值范围，再取这个取值范围的补集，求得题目所求实数a 的取值范围.
【详解】若函数()f x 不存在增区间，则函数()f x 单调递减， 此时()1
210f x ax x
'=+-
≤在区间()0,∞+恒成立， 可得2112a x x ≤-，则2
2111111
244
x x x ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭，可得18a ≤-，
故函数存在增区间时实数a 的取值范围为1
,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
．故选C.
【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.
11.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，骰子朝上的面的点数分别为x ，y ，则满足
()
()22lg 2lg 3lg x y x y +=+的概率为（ ）
A.
18
B.
14
C.
13
D.
12
【答案】B 【解析】 【分析】 先化简(
)()22
lg 2lg 3lg x y
x y +=+，得到x y =或2x y =.利用列举法和古典概型概率计
算公式可计算出所求的概率.
【详解】由22
320x xy y -+=，有()()20x y x y --=，得x y =或2x y =，
则满足条件的(),x y 为()1,1，()2,2，()3,3，()4,4，()5,5，()6,6，()2,1，()4,2，()6,3，所求概率为91
364
p =
= ．故选B. 【点睛】本小题主要考查对数运算，考查列举法求得古典概型概率有关问题，属于基础题.
12.若函数()()2
e x
f x a x
a =-∈R 有三个零点，则实数a 的取值范围为（ ）
A. 2
40,
e ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
B. 2
10,
e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C. ()0,e
D. ()0,2e
【答案】A 【解析】 【分析】
令()0f x =分离常数2
e
x x a =，构造函数()2e x x g x =，利用导数研究()g x 的单调性和极值，
结合y a =与()g x 有三个交点，求得a 的取值范围.
【详解】方程()0f x =可化为2
e
x x a =，令()2e x x g x =，有()()2e x x x g x -'=，
令()0g x '>可知函数()g x 的增区间为()0,2，减区间为(),0-∞、()2,+∞， 则()()00f x f ==极小值，()()2
42e f x f ==
大值极， 当0x >时，()0g x >，则若函数()f x 有3个零点，实数a 的取值范围为2
40,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
．故选A.
【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
二、填空题．
13.某地区共有4所普通高中，这4所普通高中参加2018年高考的考生人数如下表所示：
现用分层抽样的方法在这4所普通高中抽取144人，则应在D 高中中抽取的学生人数为_______． 【答案】24 【解析】 【分析】
计算出D 高中人数占总人数的比例，乘以144得到在D 高中抽取的学生人数. 【详解】应在D 高中抽取的学生人数为600
1442480012001000600
⨯
=+++．
【点睛】本小题主要考查分层抽样，考查频率的计算，属于基础题.
14.已知函数2
()'(1)2x f x f e ex x =+-，则'(1)f =__________．
【答案】-2 【解析】
分析：对函数求导，将x=1代入导函数即可求得结果. 详解：函数()()2
'12x
f x f e ex x =+-，
()'f x =()'122,x f e ex +-()()'1='122f f e e ⋅+-
解得()'1f =-2. 故答案为：-2.
点睛:这个题目考查了导数的几何意义，导数几何意义指的是在曲线上任意一点处的切线的斜率.
15.f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)，在区间0,3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，则ω＝________.
【答案】
34
【解析】
【详解】函数f (x )的周期T ＝
2π
ω
，
因此f (x )＝2sin ωx 在0,
πω⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是增函数，
∵0<ω<1，∴0,
3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦是0,πω⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的子集， ∴f (x )在0,
3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是增函数，
∴3f π⎛⎫
⎪⎝⎭，即2sin 3πω⎛⎫ ⎪⎝⎭
， ∴
3π
ω＝4
π， ∴ω＝34，故答案为3
4
.
16.设()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足()()0f x xf x '+>，则不等式
()
x f
>解集为_______．
【答案】()1,+∞ 【解析】 【分析】
构造函数()()g x xf x =，结合题意求得()'
0g x >，由此判断出()g x 在R 上递增，由此求
解出不等式的解集.
【详解】令()()g x xf x =，()()()0g x f x xf x ''=+>，
故函数()g x 在R 上单调递增，不等式可化为()xf x >，
则x >
1x >．
【点睛】本小题主要考查构造函数法解不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17.已知θ是第三象限角，且()3
cos 25
πθ-=-． （1）求sin2θ，cos2θ的
值；
（2）求sin3θ的值． 【答案】（1）24sin 225θ=，7cos 225θ=-；（2）44125
- 【解析】 【分析】
（1）利用诱导公式化简已知条件求得cos θ的值，进而求得sin θ的值，再根据二倍角公式求得sin 2,cos 2θθ的值.（2）利用()sin3sin 2θθθ=+结合两角和的正弦公式，以及（1）的结果，求得sin3θ的值.
【详解】解：（1）由()3
cos 25πθ-=-，有3cos 5
θ=-， 又由θ是第三象限角，有4sin 5
θ==-，
则3424
sin 22sin cos 25525
θθθ⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-
=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2
247cos 212sin 12525θθ⎛⎫
=-=-⨯-=- ⎪⎝⎭
，
（2）由()sin3sin 2sin cos2cos sin 2θθθθθθθ=+=+，
47324
44525525
125⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-+-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．
【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式和两角和的正弦公式，属于中档题.
18.已知函数()3
f x x x =-．
（1）求曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程； （2）求过点()1,0且与曲线()y f x =相切的直线方程． 【答案】(1) 22y x =-； (2) 22y x =-或1144
y x =-+． 【解析】
【分析】
（１） 根据题意，先对函数()f x 进行求导，再求函数在点()1,0处的导数即切线斜率，代入点斜式方程，再化为一般式方程即可。

（２） 设切点坐标为()
3
000,x x x -，将0x 代入()f x '得出()0f x '，利用点斜式表达出
直线方程，再将点()1,0代入直线方程，即可求解出0x ，从而推得直线方程的解析式。

【详解】解：（1）由()2
31f x x '=-，()12f '=，
则曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程为22y x =-． （2）设切点的坐标为(
)
3
000,x x x -，
则所求切线方程为()()
()3
2
000031y x x x x x --=--
代入点()1,0的坐标得(
)
()3
2
0000311x x x x -+=--，
解得01x =或01
2
x =- 当012
x =-
时，所求直线方程为1144y x =-+
由（1）知过点()1,0且与曲线()y f x =相切的直线方程为22y x =-或11
44
y x =-+． 故答案为22y x =-或11
44
y x =-
+。

【点睛】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程。

若已知曲线过点00(,)P x y ，求曲线过点P 的切线方程，则需分点00(,)P x y 是切点和不是切点两种情况求解。

19.某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各随机抽取了100件产品作为样本来检测一项质量指标值，若产品的该项质量指标值落在[)100,120内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲套设备的样本的频数分布表，图是乙套设备的样本的频率分布直方图．
表甲套设备的样本的频数分布表 质量指标值 [)95,100 [)100,105 [)105,110 [)110,115 [)115,120 []120,125
频数 2
10
36
38
12
2
（1）将频率视为概率．若乙套设备生产了10000件产品，则其中的合格品约有多少件？ （2）填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关． 甲套设备 乙套设备 合计 合格品 不合格品 合计
附表及公式：()()()()()2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++2
，其中n a b c d =+++；
20K k ≥
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
0k
2.706
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）8600件；（2）列联表见解析，不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下可以认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关．
【解析】 【分析】
（1）计算出不合格品率，和不合格品件数，由此求得合格品件数.（2）根据题目所给表格和图像数据，填写好22⨯联表，计算出2K 的值，由此判断出“不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下可以认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关．”
【详解】解：（1）由题图1知，乙套设备生产的不合格品的概率约为7
50
， ∴乙套设备生产的10000件产品中不合格品约为7
10000140050
⨯=（件）， 故合格品的件数为1000014008600-=（件）． （2）由题中的表1和图1得到2×2列联表如下：
将2×2列联表中的数据代入公式计算得2K 的观测值
()2
2009614486 6.10510010018218
k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，
因为6.105<6.635，
所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下可以认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关．
【点睛】本小题主要考查用频率估计总体，考查22⨯联表独立性检验，考查运算求解能力，属于中档题.
20.某酱油厂对新品种酱油进行了定价，在各超市得到售价与销售量的数据如下表：
（1）求售价与销售量的回归直线方程；（2222225 5.2 5.4 5.6 5.86182.2+++++= ，
59.0 5.28.4 5.48.3 5.68.0 5.87.56 6.8262.6⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=）
（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/瓶，为使工厂获得最大利润（利润=销售收入-成本），该产品的单价应定为多少元？
相关公式：()()(
)
1
1
2
2
21
1
n n
i
i
i i
i i n
n
i i i i x x y y x y nx y
b
x x
x nx
====---==
--∑∑∑∑$，a y bx =-$$．
【答案】（1）$219y x =-+．（2）6.75元 【解析】 【分析】
（1）根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.（2）求得利润的表达式，利用二次函数的性质，求得为使工厂获得最大利润（利润=销售收入-成本），该产品的单价. 【详解】解：（1）因为
()1
5 5.2 5.4 5.
6 5.86 5.56
x =
+++++=，()1
98.48.387.5 6.886
y =
+++++=， 所以()
6
1
6
2
21
262.6644 1.4
ˆ2182.2630.250.7
i i
i i
i x y nx y
b
x
n x
==--⨯==
=-=--⨯-∑∑，
$()82 5.519a
y bx =-=--⨯=$， 从而回归直线方程为$219y x =-+． （2）设工厂获得的利润为L 元，
依题意得()()2
219422776L x x x x =-+-=-+-
当 6.75x =时，L 取得最大值
故当单价定为6.75元时，工厂可获得最大利润．
【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查实际应用问题，考查运算求解能力，属于中档题.
21.函数()3
2
2
2312f x x ax a x a =+-+
（1）若函数()f x 在[]2,2x ∈-内有两个极值点，求实数a 的取值范围； （2）若不等式()2f x ≤在[]0,1x ∈上恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）10a -≤< 或01a <≤．（2）(]1
,0,23⎡⎤-∞⋃⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
（1）先对函数()f x 求导、然后因式分解，根据函数在()f x 在[]2,2x ∈-内有两个极值点列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.（2）先对函数()f x 求导并因式分解.对a 分成0,0,0a a a =><三种情况，利用()f x 的单调性，结合不等式()2f x ≤在[]0,1x ∈上恒成立列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.
【详解】解：（1）由题意知，()()()2
2
661262f x x ax a x a x a '=+-=-+．
有022222a a a ≠⎧⎪
-≤≤⎨⎪-≤-≤⎩
得：10a -≤< 或01a <≤． （2）()()()2
2
661262f x x ax a x a x a '=+-=-+．
①当0a =时，()3
202[]f x x =∈，
，符合题意． ②当0a >时，令()0f x '>，得x a >或2x a <-，
此时函数()f x 的增区间为(),2-∞-a (),a +∞，减区间为()2,a a -．
此时只需：()()2
02
112422f a f a a ⎧=≤⎪⎨=-++≤⎪⎩
解得：
123a ≤≤或0a ≤，故1
23
a ≤≤． ③当0a <时，令()0f x '>，得2x a >-或x a <，
此时函数()f x 的增区间为(),a -∞，()2,-+∞a ，减区间为(),2a a -，
此时只需：()()
2
02112422f a f a a ⎧=≤⎪
⎨
=-++≤⎪⎩解得：0a ≤，故0a <， 由上知实数a 的取值范围为(]1
,0,23
⎡⎤-∞⋃⎢⎥⎣
⎦
．
【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间、极值，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，综合性很强，属于难题.
22.已知函数()()()2
122
e x
f x x ax ax a =--
+∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）当2x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）(
2
,e ⎤-∞⎦
【解析】 【分析】
（1）对()f x 求导并因式分解，对a 分成0,0,,a a e a e a e ≥<<=>四种情况，讨论函数
的单调性.（2）先将函数解析式转化为()()12e 2x f x x ax ⎛⎫
⎪⎝
--⎭=，当2x =时，()20f =，
符合题意.当2x >时，由1e 02x
ax -≥分离常数a 得到2e
x
a x
≤，构造函数
()()2e 2x
g x x x
=>，利用导数求得()g x 的值域，由此求得a 的取值范围.
【详解】解：（1）()()()()
1e 1e x
x
f x x ax a x a '=--+=--，
①当0a ≤时，e 0x a ->，令()0f x '>得1x >， 可得函数()f x 的增区间为()1,+∞，减区间为(),1-∞．
②当e a =时，由()()()
1e e x
f x x '=--，当1x >时，()0f x '>；
当1x <时，()0f x '>，故()0f x '≥，
此时函数()f x 在R 上单调递增，增区间为(),-∞+∞，没有减区间． ③当e a >时，令()0f x '>得ln x a >或1x <，
此时函数()f x 的增区间为()ln ,a +∞，(),1-∞，减区间为()1,ln a ． ④当0e a <<时，令()0f x '>得：1x >或ln x a <，
此时函数()f x 的增区间为(),ln a -∞，()1,+∞，减区间为()ln ,1a ． （2）由()()()()11222e 2e 2x
x f x x ax x x ax =--
-=--⎛
⎫ ⎪⎝
⎭ ①当2x =时，()20f =，符合题意；
②当2x >时，若()0f x ≥，有1e 02x
ax -≥，得2e
x
a x
≤
令()()2e 2x
g x x x =>，有()()2
21e 0x x
x g x -'=>， 故函数()g x 为增函数，()2
22e 2
e g x =>，故2e a ≤，
由上知实数a 的取值范围为(
2
,e ⎤-∞⎦．
【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，综合性很强，属于难题.。