江苏省南京市玄武区2019年中考二模数学试卷(含答案)

南京市玄武区2019年中考二模数学试卷
注意事项：
1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，
答在本试卷上无效．
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰 有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1．计算(－xy 2)3的结果是 A ．－x 3y 6 B ．x 3y 6
C ．－x 3y 5
D ．x 3y 5
2．29的算术平方根介于
A ．6与7之间
B ．5与6之间
C ．4与5之间
D ．3与4之间
3．对于实数a ，b ，若b ＜a ＜0，则下列四个数中，一定是负数的是
A ．a －b
B ．ab
C ．a
b D ．a ＋b
4．下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是 A ．2，3，4
B ．2，3，5
C ．3，4，4
D ．3，4，5
5．如图，已知BC 是圆柱底面的直径，AB 是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点A 、C 嵌有 一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿AB 剪开，所得的圆柱侧面展开图是
A ．
B ．
C ．
D ．
6．二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 若y 1＋y 2＝2，则下列关于函数y 2A B
C
A' B'
A
B C
A'
B'
A
B C A'
B' A C A'
B' C A
B
C
（第5题）
A ．函数y 2的图像开口向上
B ．函数y 2的图像与x 轴没有公共点
C ．当x ＞2时，y 2随x 的增大而减小
D ．当x ＝1时，函数y 2的值小于0
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接 填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 7．南京属于北亚热带湿润气候，年平均降水量约为1100毫米，将数据1100用科学记数法 表示为 ▲ ．
8．若代数式1＋1x －1在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围为 ▲ ．
9．分解因式(a －b )(a －9b )＋4ab 的结果是 ▲ ． 10．计算
43
－1
3
的结果是 ▲ ． 11．已知一元二次方程x 2＋mx －3＝0的一个根为1，则m ＝ ▲ ．
12．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，CE 是△ABC 的中线，连接 DE ，若AB ＝6，则DE ＝ ▲ ．
13．在平面直角坐标系中有一点A ，作点A 关于y 轴的对称点A ′，再将点A ′向下平移4个单位，得到点A ′′(1，1)，则点A 的坐标是（ ▲ ， ▲ ）.
14. 如图，点A 在反比例函数y 1＝1x （x ＞0）的图像上，点B 在反比例函数y 2＝k
x （x ＜0）的
图像上，AB ⊥y 轴，若△AOB 的面积为2，则k
15. 如图，五边形ABCDE 内接于⊙O ，BC ＝CD ＝DE ， 若∠B ＝98°，∠E ＝116°，则∠A ＝ ▲ °．
16．如图，正方形ABCD 与正方形CEFG ，E 是AD 若AB ＝2，则点B 与点F 之间的距离为 ▲ ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
A
B
C
D E
（第12题）
（第14题）
（第15题）
（第16题） G
17.（7分）计算(x ＋1x ＋2)÷(x －1
x )．
18.（7分）如图，在数轴上点A 、B 、C 分别表示－1、－2x ＋3、x ＋1，且点A 在点B 的左侧，点C 在点B 的右侧. （1）求x 的取值范围；
（2）当AB ＝2BC 时，x 的值为 ▲ .
19.（7分）某校1200名学生发起向贫困山区学生捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机抽取了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②．
请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量为 ▲ ；
（2）图①中“20元”对应扇形的圆心角的度数为 ▲ °；
（3）估计该校本次活动捐款金额为15元以上（含15元）的学生人数．
－1
(第18题)
人数//元
②
部分学生捐款金额扇形统计图
① 5元
8%
10元
15元 24%
20元 25元 16%
20.（8分）如图，O 是菱形ABCD 对角线BD 上的一点，且OC ＝OD ，连接OA ． （1）求证：∠AOC ＝2∠ABC ； （2）求证：CD 2
＝OD ·BD ．
21.（8分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转.如果这三种可能性
大小相同，现有两辆汽车经过这个十字路口． （1）求两辆车全部继续直行的概率． （2）下列事件中，概率最大的是（ ▲ ） A ．一辆车向左转，一辆车向右转 B ．两辆车都向左转 C ．两辆车行驶方向相同
D ．两辆车行驶方向不同
22.（9分）如图是某景区每日利润y 1（元）与当天游客人数x （人）的函数图像．为了吸引游客，该景区决定改革，改革后每张票价减少20元，运营成本减少800元．设改革后该景区每日利润为y 2（元）．（注：每日利润＝票价收入－运营成本） （1）解释点A 的实际意义： ▲ ； （2）分别求出y 1、y 2关于x 的函数表达式； （3）当游客人数为多少人时，改革前的日 利润与改革后的日利润相等？
A B
C
D
O
（第20题）
23.（8分）如图，港口B位于港口A的南偏西45°方向，灯塔C恰好在AB的中点处．一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的南偏东45°方向的D处，它沿正北方向航行18.5 km到达E处，此时测得灯塔C在E的南偏西70°方向上，求E处距离港口A有多远？（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
24.（9分）如图，在□ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，∠AEF的角平分线交AB 于点M，∠EFC的角平分线交CD于点N，连接MF、NE．
（1）求证：四边形EMFN是平行四边形．
（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，他猜想：当AB＝AD时，四边形EMFN 是矩形．请在下列框图中补全他的证明思路．
A
B C
D
E
N
M
F
（第24题）
北
东（第23题）
A
C
D
E
45°
70°
45°
B
25.（8分）已知二次函数y ＝x 2－2(m ＋1)x ＋2m ＋1（m 为常数），函数图像的顶点为C ． （1）若该函数的图像恰好经过坐标原点，求点C 的坐标；
（2）该函数的图像与x 轴分别交于点A 、B ，若以A 、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形，求m 的值．
26．（8分）在□ABCD 中，经过A 、B 、C 三点的⊙O 与AD 相切于点A ，经过点C 的切线与AD 的延长线相交于点P ，连接AC ． （1）求证：AB ＝AC ；
（2）若AB ＝4，⊙O 的半径为5，求PD 的长．
27．（9分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，D 为AB 边上的动点，过点D 作DE ⊥AB 交边AC 于点E ，过点E 作EF ⊥DE 交BC 于点F ，连接DF ． （1）当AD ＝4时，求EF 的长度； （2）求△DEF 的面积的最大值；
（3）设O 为DF 的中点，随着点D 的运动，则点O 的运动路径的长度为 ▲ ．
A
P
（第26题）
（第27题）
F
E
D
C
B
A
参考答案
说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．1.1×103 8．x ≠1 9．(a －3b )2 10． 3 11．2 12．3 13．（－1，5） 14．－3 15．102 16．3 2 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17．（本题7分）
解：原式＝x 2＋1＋2x x ·x
(x ＋1)(x －1)
3分
＝(x ＋1)2x ·x
(x ＋1)(x －1)
4分 ＝x ＋1
x －1
．
7分
18．（本题7分）
解：（1）由题意得：⎩⎨⎧－2x ＋3＞－1 ①
x ＋1＞－2x ＋3 ②
2分 解不等式①得：x ＜2； 3分 解不等式②得：x ＞2
3．
4分 ∴不等式组的解集为：2
3
＜x ＜2．
5分 （2）1． 7分 19．（本题7分）
（1）50； 2分 （2）72°；
4分 （3）解：50－4－16－12－8＝10， 12＋10＋8
50×1200＝720．
6分
答：估计该校本次活动捐款金额为15元以上（含15元） 的学生人数为720人．7分 20．（本题8分）
证明：连接AC ．
∵四边形ABCD 是菱形，
∴BD 垂直平分AC ，∠ADC ＝∠ABC ．
A
B
C
D
O
（第20题）
∵O 是BD 上一点，∴OA ＝OC ． 2分
∵OC ＝OD ，∴AO ＝OD ，∠ODC ＝∠OCD ．
∴∠BOC ＝∠ODC ＋∠OCD ＝2∠ODC ． 3分
同理：∠AOB ＝2∠ADO ，∴∠AOC ＝2(∠ADO ＋∠ODC )＝2∠ADC ． 又∵∠ADC ＝∠ABC ，
∴∠AOC ＝2∠ABC ．
4分
（提示：还可以构造圆来证明：以点O 为圆心OD 为半径作⊙O ，易证点A 、C 、D 在⊙O 上，
∴∠AOC ＝2∠ADC 又∵∠ADC ＝∠ABC ∴∠AOC ＝2∠ABC ．） （2）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴BC ＝CD ． ∴∠BDC ＝∠CBD ．
由（1）得∠ODC ＝∠OCD ，
∴∠OCD ＝∠DBC ． 6分
在△CDO 和△BDC 中
∵∠ODC ＝∠CDB ，∠OCD ＝∠CBD
∴△CDO ∽△BDC ． 7分 ∴ CD BD ＝OD CD
，
即CD 2＝OD ·BD ． 8分 21．（本题8分） 解：（1）所有可能出现的结果有：（直行，直行），（直行，左转），（直行，右转），（左转，直行），（左转，左转），（左转，右转），（右转，直行），（右转，左转），（右转，右转），共有9种，它们出现的可能性相同，所有的结果中，满足“两辆车全部继续直行”（记为事件
A ）的结果有1种，所以P (A )＝1
9
． 6
分
（2）D 8分 22．（本题9分） 解：（1）改革前某景区每日运营成本为2800元； 2分 （2）设y 1与x 之间的函数表达式为y 1＝kx ＋b （k 、b 为常数，k ≠0）， 根据题意，当x ＝0时，y 1＝－2800；当x ＝50时，y 1＝3200．
A
B
C
D
O
（第20题）
所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2800，50k ＋b ＝3200．，解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝120，b ＝－2800． 5分 所以，y 1与x 之间的函数表达式为y 1＝120x －2800． 6分
根据题意，y 2与x 之间的函数表达式为y 2＝100 x －2000． 7分
（3）根据题意，当y 1＝y 2时，得120x －2800＝100 x －2000． 解得x ＝40．
答：当游客人数为40人时，改革前的日利润与改革后的日利润相等. 9分 23．（本题8分）
解：如图，过点B 作BM ⊥AD ，垂足为M ，过点C 作CN ⊥AD ，垂足为N ． 设CN ＝x km ．在Rt △ACN 中，∠A ＝45°，
∵tan45°＝CN AN ，∴AN ＝CN tan45°＝x
tan45°＝x ．
1分
在Rt △ECN 中，∠CEN ＝70°，
∵tan70°＝CE EN ，∴EN ＝CN tan70°＝x
tan70°．
2分
∵CN ⊥AD ，BM ⊥AD ，∴∠ANC ＝∠AMB ＝90°．
∴CN ∥BM ．∴AC AB ＝CN BM ＝AN
AM ．
又∵C 为AB 中点， ∴AB ＝2AC ，AC ＝BC ．
∴BM ＝2CN ＝2 x ，AN ＝MN ． 3分 由题可知，∠MDB ＝45°． 在Rt △BMD 中，∠MDB ＝45°，
∵tan45°＝BM DM ，∴DM ＝BM tan45°＝2x
tan45°＝2x ． 4分
∴18.5－2x －x
tan70°＝x
6分 ∴x ＝18.5×tan70°
1＋3×tan70°≈5.5．
7分
∴AE ＝AN －EN ＝5.5－5.5
tan70°
＝3.5．
因此，E 处距离港口A 大约3.5 km ．
8分
24．（本题9分）
(1)证明：在□ABCD 中，∠A ＝∠C ，AD ∥BC ，AD ＝BC ∵E 、F 分别是AD 、BC 的中点∴AE ＝12AD ，CF ＝1
2BC
又∵AD ＝BC ，∴AE ＝CF ． 1分
∵AD ∥BC ，∴∠AEF ＝∠CFE ． ∵EM 平分∠AEF ，FN 平分∠EFC ．
N
M
（第23题）
A
C
D
E
45° 70°
45°
B
∴∠AEM ＝∠FEM ＝12∠AEF ，∠CFN ＝∠FEN ＝1
2∠CFE ．
∵∠AEF ＝∠CFE ，∠AEM ＝12∠AEF ，∠CFN ＝1
2∠CFE ．
∴∠AEM ＝∠CFN ．
3分
在△AME 和△CNF 中
⎩⎪⎨⎪
⎧∠A ＝∠C AE ＝CF ∠AEM ＝∠CFN
∴△AME ≌△CNF （ASA ）
∵∠FEM ＝∠FEN ，∴EM ∥FN ．
4分
∵△AME ≌△CNF ，∴EM ＝FN ． ∵EM ∥FN ，EM ＝FN ，
∴四边形EMFN 是平行四边形． 5分 （2）∠EFM ＝∠BMF ， 7分 AM ＝BM （或：M 是AB 中点）． 9分
25．（本题8分）
（1）解：∵y ＝x 2－2(m ＋1)x ＋2m ＋1的图像经过点（0，0） ∴2m ＋1＝0 ∴m ＝－1
2
1分
当m ＝－12时，y ＝x 2－x ＝(x －12)2－1
4
∴顶点C 的坐标(12，－1
4
)
3分
（2）解：当y ＝0时x 2－2(m ＋1)x ＋2m ＋1＝0
∴x 1＝2m ＋1，x 2＝1 ∴AB ＝||2m 4分 ∵y ＝x 2－2(m ＋1)x ＋2m ＋1＝(x －m －1)2－m 2 ∴顶点C 的坐标(m ＋1，－m 2) 5分 ∵以A 、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形 ∴2m 2＝||2m
6分
当2m 2
＝2m 时，m 1＝0，m 2＝1 当2m 2＝－2m 时，m 1＝0，m 2＝－1 当m ＝0时，AB ＝0（舍）
答：m 的值为1或－1 8分
26．（本题8分）
（1）证明：连接AO 并延长交BC 于点E ，交⊙O 于点F ．
∵AP 是⊙O 的切线，AF 是⊙O 的直径，
∴AF ⊥AP ，∴∠F AP ＝90°． 1分
P
（第26题）
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ．
∴∠AEB ＝∠F AP ＝90°，
∴AF ⊥BC ． 2分
∵AF 是⊙O 的直径，AF ⊥BC ，
∴BE ＝CE ． 3分
∵AF ⊥BC ，BE ＝CE ，
∴AB ＝AC ． 4分
（法二：连接OP ，则OP ⊥AC ，易证∠ABC ＝12
∠AOC ＝∠AOP ，∠AOP ＝∠CAP ．）
（法三：易证∠AFC ＋∠F AC ＝∠F AC ＋∠CAP ＝90°，∠AFC ＝∠CAP ＝∠BCA ．又∠ABC ＝∠AFC ，∴∠ABC ＝∠BCA ．）
（2）解：连接FC ，OC ．
设OE ＝x ，则EF ＝5－x ．
∵AF 是⊙O 的直径，∴∠ACF ＝90°．
∵AC ＝AB ＝4，AF ＝25，∴在Rt △ACF 中，∠ACF ＝90°，
∴CF ＝AF 2－AC 2＝2．
∵在Rt △OEC 中，∠OEC ＝90°，∴CE 2＝OC 2－OE 2．
∵在Rt △FEC 中，∠FEC ＝90°，∴CE 2＝CF 2－EF 2．
∴OC 2－OE 2＝CF 2－EF 2. 即52－x 2＝22－（5－x ）2．
解得x ＝355
． ∴EC ＝OC 2－OE 2＝455
． 6分 ∴BC ＝2EC ＝855
． ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ＝8 55
． ∵AD ∥BC ，∴∠P AC ＝∠ACB ．
∵P A ，PC 是是⊙O 的切线，∴P A ＝PC ．∴∠P AC ＝∠PCA ．
∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ．∴∠P AC ＝∠ABC ，∠PCA ＝∠ACB ．
∴△P AC ∽△ABC ，∴AP AB ＝AC BC ．∴AP ＝AC BC
·AB ＝25． ∴PD ＝AP －AD ＝255
． 8分
（法二：易证△ABE ∽△AOP ．）
27．（本题9分） （1）解：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝82＋62＝10．
∵DE ⊥AB ，∴∠EDA ＝90°．
∵∠A ＝∠A ，∠EDA ＝∠C ＝90°，∴△AED ∽△ABC ，∴AD AC ＝AE AB
． ∴AE ＝AD AC
·AB ＝5．∴CE ＝AC －AE ＝8－5＝3． ∵DE ⊥AB ，∴∠DEF ＝90°．∵∠EDA ＝∠DEF ＝90°，∴EF ∥AB ． ∴△CEF ∽△ACB ，∴CE AC ＝EF AB ．
∴EF ＝CE AC ·AB ＝154．
3分 （2）解：设AD ＝x .
∵△AED ∽△ABC ，∴AD AC ＝DE BC ＝AE AB ．
∴DE ＝AD AC ·BC ＝34x ，AE ＝AD AC ·AB ＝54x ．
∴CE ＝AC －AE ＝8－54x ．
4分 ∵△CEF ∽△ACB ，∴CE AC ＝EF AB ．
∴EF ＝CE AC ·AB ＝10－2516x ．
5分 ∴S △DEF ＝12 DE ·EF ＝－75128 x 2＋154x ＝－75128(x －165)2＋6．
∴当x ＝165时，S △DEF 取最大值为6．
因此，△DEF 的面积的最大值为6．
7分 （3）193
5
9分。