具体数学第二版第三章习题（1）

具体数学第⼆版第三章习题（1）
1 m=lg(n),l=n-m=n-lg(n)
2 (1)x=n.5时向上取整：\left \lfloor x+0.5 \right \rfloor
(2)x=n.5时向下取整：\left \lceil x-0.5 \right \rceil
3 \left \lfloor \frac{\left \lfloor m\alpha \right \rfloor n}{\alpha} \right \rfloor
=\left \lfloor \frac{(m\alpha - \left \{ m\alpha \right \})n}{\alpha} \right \rfloor
=\left \lfloor mn-\frac{\left \{ m\alpha \right \}n}{\alpha} \right \rfloor=mn-1
其中0<\left \{ m\alpha \right \}<1
4 给定的真命题或者假命题。

⽐如2+3=5，或者3\neq 4
5 将x=\left \lfloor x \right \rfloor+\left \{ x \right \}代⼊：
右侧=\left \lfloor n\left \lfloor x \right \rfloor+n\left \{ x \right \} \right \rfloor=n\left \lfloor x \right \rfloor+\left \lfloor n\left \{ x \right \} \right \rfloor
左侧=n\left \lfloor \left \lfloor x \right \rfloor +\left \{ x \right \}\right \rfloor=n\left \lfloor x \right \rfloor
所以\left \lfloor n\left \{ x \right \} \right \rfloor=0，所以\left \{ x \right \}<\frac{1}{n}
6 \left \lfloor f(x) \right \rfloor=\left \lfloor f(\left \lceil x \right \rceil) \right \rfloor
\left \lceil f(x) \right \rceil=\left \lceil f(\left \lfloor x \right \rfloor) \right \rceil
7 n%m+\left \lfloor \frac{n}{m} \right \rfloor
8 (1)假设都⼩于\left \lceil \frac{n}{m} \right \rceil，那么有n\leq (\left \lceil \frac{n}{m} \right \rceil-1)m，即\frac{n}{m}+1\leq \left \lceil \frac{n}{m} \right \rceil，这个式⼦恒不成⽴。

（2）假设都⼤于\left \lfloor \frac{n}{m} \right \rfloor,那么有n\geq (\left \lfloor \frac{n}{m} \right \rfloor+1)m,即\frac{n}{m}-1\geq \left \lfloor \frac{n} {m} \right \rfloor,这个式⼦恒不成⽴。

9 如果n%m=0，则显然成⽴。

否则，令n=m(q-1)+t,0<t<m,那么有\frac{m}{n}-\frac{1}{q}=\frac{m-t}{nq},可以看到分⼦严格减少1.
10 令0\leq p<1。

分两种情况考虑：
（1）x=2k+1+p,此时可以得到：如果p<0.5，那么答案为2k+1,否则为2k+2
（2）x=2k+p,此时可以得到：如果p\leq0.5，那么答案为2k,否则为2k+1
综上所述:如果x\in(2k+0.5,2k+1.5)，答案为2k+1,否则x\in[2k-0.5,2k+0.5]，答案为2k
11 \alpha < n < \beta \leftrightarrow \left \lfloor \alpha \right \rfloor < n < \left \lceil \beta \right \rceil.当a,b为整数时，满⾜a<n<b的n的个数为(b-a-1)[a<b].所以当\alpha=\beta=整数时不成⽴。

12 令n=km+t,0\leq t<m,当t=0时显然成⽴。

否则\left \lceil \frac{n}{m} \right \rceil=k+1,\left \lfloor \frac{n+m-1}{m} \right \rfloor=k+\left \lfloor
\frac{t+m-1}{m} \right \rfloor=k+1
13(1)由后⾯向前证明⽐较简单，即若\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=1且都为⽆理数，那么构成⼀个划分。

（2）由前向后证明：⾸先\alpha,\beta为有理数是必然是不⾏的，因为那样的话必然会存在两个整数n_{1},n_{2}使得n_{1}\alpha=n_{2}\beta.所以只需要讨论\frac{n+1}{\alpha}+\frac{n+1}{\beta}-\left \{ \frac{n+1}{\alpha} \right \}-\left \{ \frac{n+1}{\beta} \right \}=n是否在\frac{1}
{\alpha}+\frac{1}{\beta}\neq1的时候成⽴。

假设\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=0.999，那么当n⾜够⼤⽐如n=100000,这个等式必然不成⽴；
假设\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}==1.001，那么当n⾜够⼤⽐如n=100000,这个等式必然也不成⽴。

所以假设失败。

14 ⾸先，如果ny=0时显然成⽴。

否则，((x)mod(ny))mod(y)=(x-ny\left \lfloor \frac{x}{ny} \right \rfloor)mod(y)=(x)mod(y)
所以恒成⽴。

15 \left \lceil mx \right \rceil=\sum_{i=0}^{m-1}\left \lceil x-\frac{i}{m} \right \rceil
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