第3章 三角恒等变换 综合检测 Word版含解析苏教版必修4数学

(时间：120分钟，满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上)
1．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝________．
解析：原式＝cos [(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12
. 答案：12
2．计算2cos 2π8
－1的值为________． 解析：2cos 2π8－1＝cos(2×π8)＝cos π4＝22
. 答案：22
3.已知tan α＝－43，则tan(α＋134
π)的值是________． 解析：tan(α＋134π)＝tan α＋tan 134π1－tan αtan 134
π＝ －43＋11－（－43
）×1＝－17. 答案：－17
4.函数y ＝sin x ·(cos x ＋sin x )的最小正周期T ＝________．
解析：y ＝sin x (cos x ＋sin x )＝sin x cos x ＋sin 2x ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12(sin 2x －cos 2x )＋12
＝22sin(2x －π4)＋12
， ∴最小正周期T ＝π.
答案：π
5．tan 18°＋tan 42°＋3tan 18°tan 42°＝________．
解析：原式＝tan(18°＋42°)(1－tan 18°tan 42°)＋3tan 18°·tan 42°＝3(1－tan 18°tan 42°)＋3tan 18°tan 42°＝ 3.
答案：3
6.已知α是第二象限角，且cos α＝－45
，则tan 2α＝________． 解析：由α是第二象限角，且cos α＝－45，得sin α＝35
； ∴sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝725
； ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－247
. 答案：－247
7.已知sin 2α＝13，则tan α＋1tan α
＝________． 解析：tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α
＝112
sin 2α＝6. 答案：6
8.若sin(α＋β)＝47，sin(α－β)＝67，则tan αtan β
＝________． 解析：由已知得：sin αcos β＋cos αsin β＝47
， sin αcos β－cos αsin β＝67
， ∴sin αcos β＝57，cos αsin β＝－17
， ∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β
＝－5. 答案：－5
9.3－sin 70°2－cos 210°
＝________． 解析：原式＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2
＝6－2sin 70°3－sin 70°＝2. 答案：2
10.若α是第三象限角，且sin α＝－2425，则tan α2
等于________． 解析：∵α是第三象限角，且sin α＝－2425
， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－725
， ∴tan α2＝sin α1＋cos α＝－24251－725
＝－43. 答案：－43
11.已知cos α＝－14，则cos （α＋π4）cos 2α－sin 2α＋1
＝________． 解析：cos （α＋π4）cos 2α－sin 2α＋1＝22（cos α－sin α）2cos 2α－2sin αcos α
＝22（cos α－sin α）2cos α（cos α－sin α）＝24cos α＝－ 2. 答案：－2
12.计算2cos 55°－3sin 5°cos 5°
＝________． 解析：原式＝2cos （60°－5°）－3sin 5°cos 5°
＝2⎝⎛⎭⎫12cos 5°＋32sin 5°－3sin 5°cos 5°
＝1. 答案：1
13.函数f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x 的最大值为________．
解析：∵f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin(2x ＋π4
)， ∴当2x ＋π4＝2kπ＋π2(k ∈Z )，即x ＝kπ＋π8
(k ∈Z )时，f (x )取最大值1＋ 2. 答案：1＋2
14.已知B 是△ABC 的一个内角，设f (B )＝4sin B ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－B 2＋cos 2B ，若f (B )－m <2恒成立，则实数m 的取值范围是________．
解析：f (B )＝4sin B cos 2⎝⎛⎭⎫π4－B 2＋cos 2B
＝4sin B 1＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－B 2
＋cos 2B ＝2sin B (1＋sin B )＋(1－2sin 2B )
＝2sin B ＋1.
∵f (B )－m <2恒成立，
∴m >2sin B －1恒成立．
∵0<B <π，∴0<sin B ≤1.
∴－1<2sin B －1≤1，故m >1.
答案：(1，＋∞)
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分14分)已知cos(α－β)＝35，sin α＝3365，且α∈(0，π2)，β∈(－π2
，0)，求sin β的值．
解：由已知得：－β∈(0，π2)，又α∈(0，π2
)， ∴α－β∈(0，π)；
∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45
； 由α∈(0，π2)及sin α＝3365得cos α＝5665
； ∴sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝3365×35－5665×45＝－12565×5＝－513
. 16.(本小题满分14分)已知α∈(0，π2)，sin α＝55，求tan 2α和sin(2α＋π3
)的值． 解：由已知得cos α＝255，∴tan α＝12
， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－（12）2＝43. ∵α∈(0，π2
)，∴2α∈(0，π)， ∵tan 2α＝43>0，∴2α∈(0，π2
)，
∴sin 2α＝45，cos 2α＝35. ∴sin(2α＋π3)＝sin 2α·cos π3＋cos 2α·sin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310
.
17.(本小题满分14分)如图，A 、B 是单位圆O 上的点，C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，
点A 的坐标为(35，45
)，△AOB 为正三角形．求sin ∠COA 和cos ∠COB 的值．
解：∵点A 的坐标为(35，45)，根据三角函数定义可知：x ＝35，y ＝45
，r ＝1； ∴sin ∠COA ＝y r ＝45， cos ∠COA ＝x r ＝35
. ∵△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°，
∴cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋60°)
＝cos ∠COA cos 60°－sin ∠COA sin 60°
＝35×12－45×32＝3－4310
. 18.(本小题满分16分)设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，且π2<α<π，0<β<π2
，求cos(α＋β)．
解：∵π2<α<π，0<β<π2
， ∴π4<α－β2<π，－π4<α2－β<π2
. 故由cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19
， 得sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝459，
由sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，得cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝53
. ∴cos α＋β2＝cos [(α－β2)－(α2
－β)] ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭
⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527
. ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2
－1 ＝2×⎝⎛⎭
⎫75272－1＝－239729. 19.(本小题满分16分)已知函数f (x )＝sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ，
(1)求f (x )的最大值及相应的x 的值；
(2)若f (θ)＝35，求cos 2(π4
－2θ)的值． 解：(1)f (x )＝sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝sin 2x －cos 2x
＝2sin (2x －π4
)， ∴当2x －π4＝2kπ＋π2
(k ∈Z )， 即x ＝k π＋38
π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值 2； (2)由f (θ)＝sin 2θ－cos 2θ，及f (θ)＝35
得： sin 2θ－cos 2θ＝35
， 两边平方得1－sin 4θ＝925，即sin 4θ＝1625
， ∴cos 2(π4－2θ)＝cos(π2－4θ)＝sin 4θ＝1625
. 20.(本小题满分16分)已知函数f (x )＝sin x 2cos x 2＋3cos 2x 2
， (1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )的值域；
(3)求当x ∈[π，2π]时，f (x )的零点．
解：(1)∵f (x )＝sin x 2cos x 2＋3cos 2x 2
＝12sin x ＋32(1＋cos x )＝sin(x ＋π3)＋32， ∴最小正周期T ＝2π.
(2)由f (x )＝sin(x ＋π3)＋32
，得 f (x )的值域为[32－1，32
＋1]． (3)令f (x )＝0，即sin(x ＋π3)＋32
＝0， 也就是sin(x ＋π3)＝－32
； ∵x ∈[π，2π]，∴x ＝π或x ＝43
π， ∴当x ∈[π，2π]时，f (x )的零点为x ＝π与x ＝43
π.。