第一章-二体问题PPT课件

rd2r dt2
=rr3
r
rdv=d(rv) 0 dt dt
hrvconst
34
34
3.2 二体问题的解析解
二体问题角动量是常数
开普勒第二定理
角动量在极坐标下的表示
vd dr trirrd d itrrirrd d tiθ
hrvr2 ddt iz
面积化率
dA 1 r2 d
dt 2 dt
35
35
3.2 二体问题的解析解
d 2rcm dt2
0
内力不改变系统的质心
19
19
2.3 二体相对运动方程
Gm1m2 r2
r2
r1 r
m1 dd2tr21
Gm1m2 r2
r1r2 r
m2 dd2tr22
- G (m 1 r 2m 2)(r2rr1)d2(r d2 t2 r1)
d2r=G(m1m2)rr
dt2
r2 r r3
20
20
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14
1.4 教程和参考书
1、航天器轨道动力学，赵钧编著，哈工大出版社，2011 2、航天器轨道动力学与控制，杨嘉摨主编，宇航出版社， 1995（注：国内航天器领域经典专著） 3、Fundamentals of Astrodynamics and Applications(Second Edition)，Vallado，D.V. Microcosm Press, 2001 （注：国外 经典教材） 4、An introduction to the mathematics and methods of astrodynamics, Richard H. B. AIAA, 1999 （注：MIT教材）
物理规律的研究：牛顿定理和万有引力定理
非线性微分方程的求解： rf(r,r,u,t)
数学模型解算条件的提供：初始轨道的测量和最优控制
航天器运动规律的应用：各种航天任务的轨道设计
4
4
1.2 课程的作用
航天器质心运动规律的研究是一切航天任务的开始的基础 任何航天任务的设计都要满足其基本的运动规律（例如： 在万有引力作用下，航天器作圆锥曲线运动）
15
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1.5 考核方式和成绩评定
考核方式
考核内容
成绩比例（%）
平时到课率、课堂回 答问题及研讨
基础知识，学习主动性
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课后作业
综合应用知识解决具体 工程问题的能力
10
文献阅读与专题报告
自主学习，分析问题和 主动交流的能力
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期末闭卷理论考试
学生掌握基本概念及基 本理论的程度
50
16
16
授课内容
r2
r1 r
m1 dd2tr21
Gm1m2 r2
r1r2 r
m2 dd2tr22
m1
m2 r1
r2
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18
2.2 二体系统线动量守恒定理
Gm1m2 r2
r2
r1 r
m1 dd2tr21
Gm1m2 r2
r1r2 r
m2 dd2tr22
+
d2
m1r1 m2r2
dt2
0
rcm
m1r1 m1
m2r2 m2
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26
授课内容
1. 绪论 2. 二体相对运动方程 3. 二体相对运动方程的求解
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3.1 近似方法
d 2r dt2
=
r3
r
非线性微分方程
微分方程解决的基本方法：解析法和数值法 解析法：求出非线性微分方程的解析解。 算例：自由落体运动
h g
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3.1 近似的方法
数值积分法：通过数值积分的方法求解
是没有明显的区别的） 古典天文学研究方法
没有理论指导，没有先进的观测手段
兴趣，长期不懈的观测，积极思考
11
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1.3 学科发展史
天体力学：应用力学规律研究天体的运动和形状 天体力学以数学为主要研究手段（微积分），以牛顿万 有引力定律为基础。
天体力学的发展 •奠基期（从古典天文学到十九世纪后期），标志性成果： 开普勒提出三大定理；牛顿创立微积分，发现万有引力 定理；欧拉、达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯创立分析 力学，建立了天体力学的力学基础，提出了摄动理论的 分析方法；海王星的发现（理论的实际应用）。
亚星三号卫星 亚星三号是美国休斯公司
为香港亚洲卫星公司制作的 通信卫星，于1997年12月由 质子火箭发射进入地球静止 轨道，但由于火箭故障，进 入了轨道倾角为51°的无用 轨道，发射失败，香港卫星 公司向保险公司索赔2亿美金。
一个航天史上的故事由此开始
9
9
1.3 学科发展史
从严格意义上来说，航天器动力学开始于上世纪50年代前苏 联发射第一颗人造地球卫星，但它的起源非常久远。
343432二体问题的解析解二体运动方程dtdthrv353532二体问题的解析解开普勒第二定理二体问题角动量是常数角动量在极坐标下的表示dtdtdtdtdt363632二体问题的解析解偏心率矢量常数dtdtdtdt373732二体问题的解析解开普勒第一定理hrrrcosre其中f是e与r两个矢量的夹角定义为真近点角383832二体问题的解析解cosre圆锥曲线方程当e在01之间时为椭圆即开普勒第一定理393932二体问题的解析解开普勒第三定理dard404032二体问题的解析解行星人造地球卫星扫过一圈的时间定义为行星的运动周期t这个定理是正确的吗
d 2x dt2
=
r3
x
d 2y
dt2
=
r3
y
d 2z
dt2
=
r3
z
30
30
3.1 近似的方法
function robit_computer mu = 3.986004418e+14;
%地球引力常数
tspan = [0:60:86400];
options = odeset('AbsTol',1e-15,'RelTol',1e-
《An introduction to the mathematics and methods of astrodynamics》p110-p114有二体问题的近似级数展开详细 推导和高效迭代算法，请大家自学并完成问题3-5。
33
33
3.2 二体问题的解析解
二体运动方程
d 2r dt2
=
r3
r
角动量矢量常数
古典天文学 1. 中国是世界上天文学起步最早，发展最快的国家之一。
早在尧舜时代就设置了天文官。 2. 古希腊也是古典天文学什么发达的国家，取得了辉煌的
成就，并对欧洲各国的文化影响很大。主要成果包括： 确定地球的形状和大小；日月的远近和大小；日心说等。
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1.3 学科发展史
古典天文学的社会需求
1. 制定历法的需要，知道农业生产。如我们常说的24节气 2. 预测天灾人祸，旦夕祸福。（在古代，占星术和天文学
12','NormControl','on');
x0 = [-5292392.072;-4862.201380;3111662.355; -
4136.781314; 3101114.660;-4147.028008];
[T,Y] = ode45('orbit',tspan,x0,options学科发展史
航天器动力学 •二十世纪50年代以后，随着人造天体的发射，航天器动 力学出现。 •与天体力学相比，研究对象发生了变化（人造物体）。 与自然天体相比，人造物体的受力物体增加了人为控制力， 运动形式更为复杂；物体的预报精度与观测精度大大提高。 •研究的基本方法没有变化：以微积分为数学基础，以摄 动分析方法、定性分析方法和数值方法为手段。
如果向月球发射一个月球探测器，其相对地月质心的相 对运动方程是什么？
如果向月球发射一个月球探测器，其相对地球质心的相 对运动方程是什么？
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2.5 二体相对运动方程的标量表示
d dt2r2=G(m1 r 2 m2)rrr3r 矢量形式的非线性微分方程
为了在实际中应用，需要转换为标量形式
rxixyiyziz
第一章 航天器运动
主讲教师：杏建军 2021年3月19日
.
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授课内容
1. 绪论 2. 二体相对运动方程 3. 二体相对运动方程的求解
2
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1.1 课程的主要研究内容
课程名称：航天器动力学基础与应用
主要包括天体引
主要研究内力容和：大人气造阻物力体（航天器）在空间（距离地面100 km以上）自然力和人为控制力作用下运动的一门学科。
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1.3 学科发展史
天体力学的发展 •发展期（从十九世纪后期到二十世纪50年代）。研究对 象新增加了太阳系的小天体。研究方法新增了定性方法 和数值方法，定性方法由庞加莱和李雅普洛夫创建，数 值方法最早追溯到高斯（最小二乘定轨）。 •新时期（二十世纪50年代以后，航天器动力学出现）。 研究对象新增了人造物体，物体运动的预报精度与观测 精度大大提高，相应的摄动分析方法、定性方法和数值 方法也有了相应的发展。
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1.2 课程的作用
对于深空探测器，航天器轨道设计决定了整个任务过程
卡西尼号是17国参与的土星 探测任务，历时过6年8个月、 32亿千米。 为什么这样设计？直接飞行
只需12.5亿千米
卡西尼号的诡异飞行轨迹
行星助力飞行，节省燃料。如 果直接飞往土星，需要70吨推 进剂，卡西尼号总重6.4吨
8
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1.2 课程的作用
直角坐标的基矢量不 随时间变化
d 2x dt2
=
r3
x
d 2y
dt2
=
r3
y
d 2z dt2
=
r3
z
24
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2.6 讨论3： 二体相对运动方程的极坐标形式
iy
i
ir
ix
极坐标的基矢量是随时间变化
r
r
d dt
2
r2
r
d 2 dt2
2r d dt
0
25
25
2.7 课后作业
通过复习或者自学理论力学中拉格朗日方程的有关内容， 应用拉格朗日方程推导讨论问题1、3。下节课随机抽点 学生上台上述，并请所有学生提交推导过程作业。 作业关键点： 1. 拉格朗日函数 = 系统动能-系统的势能； 2. 拉格朗日方程； 3. 广义坐标。 阅读：An introduction to the mathematics and methods of astrodynamics》p97-p99；p110。
讨论问题：有没有可能设计任意飞行的航天器？
5
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1.2 课程的作用
航天器相对运动实例
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1.2 课程的作用
对于人造地球卫星来说，航天器轨道高度是任务设计的关 键参数。 为什么？
轨道高度决定了： •发射成本 •效载荷规模。如雷达、光学相机、通信卫星发射机 •对地球的覆盖范围。 •对热点地区的覆盖特性 •决定了一些有特殊用途的轨道
1. 绪论 2. 二体相对运动方程 3. 二体相对运动方程的求解
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2.1 万有引力定律和牛顿第二定律
牛顿第二定理：Force = Mass× Acceleration
万有引力定理：任意两个质点有通过连线方向上的力相 互吸引。该引力大小与它们质量的乘积成正比，与它们 距离的平方成反比。
Gm1m2 r2
2.3 二体相对运动方程
另一种推导思路 质点m1与质点m2所受的相互引力大小相等，方向相反
m 1 a 1 m 2 a 2 G m r1 2 m 2 m 1 a 1 m 2 a 2 0
a 2 a 1 a 2 m m 1 2a 2 G (m 1 r 2m 2 )r r r3r
d2r2 dt2
dd2tr21
偏心率矢量常数
d2r dt2
h=r3
rh
h
r2
ir
i
z
d
dt
i
dir
dt
d(vh) dir
dt
dt
vhrconste
航天器的运动：包括质心运动和姿态运动，相应的课程 为航天器质心动力学和航天器姿态动力学。
航天器质心运动和姿态运动是解耦的，因此可以分开研 究和控制。为什么？
3
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1.1 课程的主要研究内容
课程主要研究内容：
1、航天器运动数学建模（物理规律的研究） 2、数学模型的求解（微分方程的求解） 3、数学模型解算条件的提供（微分方程解算条件的提供） 4、航天器运动规律的应用（具体的工程实践）
plot3(Y(:,1),Y(:,3),Y(:,5))
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6
x 10 5
0
-5 5
1
6
0
x 10
0 -0.5
0.5 x 107
-5 -1
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3.1 近似的方法
近似级数展开方法
r ( t) r ( t0 ) d r d ( t t)( t t0 ) d d 2 r t( 2 t)( t 2 t ! 0 ) 2
ddt2r2 a2a1
21
21
2.4 讨论1：m1相对系统质心的相对运动方程
质点m2相对m1的相对运动方程
d2r=G(m1m2)rr
dt2
r2 r r3
m1 cm
推导质点m1相对系统质心的 相对运动方程
r1 rcm
m2
r2
d2r dt2
(m1Gmm232)2
r r3
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1.4 讨论问题2
如果在地球附近发射一颗人造地球卫星，其相对地心的 相对运动方程是什么？
基本原理：泰勒级数展开
y f (x, y)
y(i 1 )y(i)K 1h
h步长
K1
f(x,y) x(i),y(i)
经典方法：龙格库塔方法
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3.1 近似的方法
龙哥库塔方法Matlab函数：ode45 [t,y]=ode45(‘orbit’,tspan,y0,options)
function dy = orbit(t,y,flag,mu) %函数说明输入输出 dy =zeros(6,1); r = sqrt(y(1)^2 + y(3)^2 + y(5)^2); dy(1) = y(2); dy(2) = -mu/r^3*y(1); dy(3) = y(4); dy(4) = -mu/r^3*y(3); dy(5) = y(6); dy(6) = -mu/r^3*y(5); end