Ch2-1 群的基本知识

举例四 晶体的所有平移对称操作{Plmn}
P(l2,m2) P(l1,m1) = P(l1+l2, m1+m2)
b
a
结合律 P(0,0) P(-l1,-m1)
交换律也成立Abel群
群
连续群
元素数目是无限的群，称为无限群
例：正负整数和0对于加法运算
如果无限群的元素可用一组连续变化 的参数描写，则称为连续群
练习：所构造群的复元素 时间：2分钟
群的基本知识
关键术语
群、乘积规则、对称操作 有限群及阶
Abel群、循环群
无限群
复元素、子群、商群、不变子群
同构、同态
群的基本知识
一、群的定义 二、同态和同构关系 三、群的乘法表
四、群的各种子集
五、正多面体的固有对称变换群
六、群的直接乘积和非固有点群
群
阿贝尔群
元素乘积都可以对易的群称为阿贝尔群。
RS SR
群中至少有一对元素的乘积不能对易，就 称为非阿贝尔群
RS SR
群
{－1,1}集合, 四则运算乘法。
单位元，逆元，结合律，封闭性——二阶有限群
交换律：1(-1) = -1 = (-1)1 为一个二阶Abel群 ab 0 1 1 0 0 矩阵集合 矩阵乘法 交换律？
0 1 a 1 0
群
平面正三角形图案， 3阶群
D：绕z轴转2π/3 F：绕z轴转4π/3
E：不转.
交换律：DF = FD = E
构成Abel群
群
三维实空间，恒等变换E 和反演变换I，群乘法为 从左向右依次施行变换.
E 和I 为二阶有限群, 称为空间反演群.
二阶Abel群？
六、群的直接乘积和非固有点群
群的基本知识
关键术语
群、乘积规则、对称操作 有限群及阶
Abel群、循环群
无限群
复元素、子群、商群、不变子群
同构、同态
群
一、什么是群？定义 群是元素集合G，规定元素间“乘法”法则后， 集合G满足下面四个条件。 1、封闭性；集合中任意两元素的乘积仍属于此集合
RS G, R, S G
举例一: {－1,1}集合, 四则运算乘法。 封闭性：1(-1)=-1, (-1)(-1)=-1, 11=1 结合律: 1(-11)=[1(-1)] 1
单位元为1
逆元为自身 为一个二阶有限群
群
矩阵集合 矩阵乘法
1 0 e 0 1
单位元e
0 1 a 1 0
二、三阶群，都是Abel群
群
举例三 元素a的各阶整数幂，并有an = 1. 封闭性 结合率
1, a, a
2
, , a n1

单位元素 1
逆元 (am)-1 = a-m = an a-m = an-m 构成的有限群 n阶循环群,Abel群.
群
举例五 太阳图案
交换律也成立Abel群
群
无限群
复元素、子群、商群、不变子群
同构、同态
群
复元素
群的子集，即群中部分元素的集合，
R R1 , R2 , Rm

看作一个整体，称为复元素。
两复元素相等的充要条件：包含的群元素相同。
元素与复元素的乘积：
TR TR1 , TR2 , TRm
三、群中概念
群阶：元素数目
有限群：元素数目有限
无限群：元素数目无限 连续群：元素间差异无限小 Abel群：元素间乘积满足交换律，又称为交换群
循环群
空间变换群：乘积 相继两次变换操作
课程内容回顾
四、复元素： 子集合 复元素相等的充要条件是：包含的元素相同 子群？ 按群定义乘积的复元素乘积，满足结合率、封闭性， 包含单位元、元素的各幂次和逆元 作为复元素的集合，按复元素乘积，满足群的四个 条件，构成群：原群G的商群，记作G/H
RST
2、结合律
RS T , R, S , T G
3、单位元；左乘任意元素，不变
ER R, E G, R G
4、逆元；任何元素R的逆，存在于集合中
R G, R G, R R E
1
1
群
群中元素的数目，称为群的阶(order) 有限群，无限群，连续群
群的基本性质
群同构的概念:
什么时候两个群相同？ 1.它们元素之间可用某种适当给定的方式 一一对应 2.元素的乘积，也以此同一方式对应 R R’ S S’ RS R’S’ 具有这种对应关系的两个群称为同构 互相同构的群，性质完全相同
相同素数阶的群，同构
群的基本性质
群什么时候同构？ 1. 元素并不一一相同，只是一一对应 2. 乘法，相同、不相同均可 3. 对应元素的乘积，一一对应 例： 二阶群：{－1,1}, 四则运算乘法 二阶群：{e,},变换操作 同？
如：实数对于加法、乘法运算 复数对于加法、乘法运算？
Abel群？
群
举例五 在0~取值
单位元 结合率
cos sin sin cos
连续群？
逆元
封闭性 同桌分组练习：构造群 时间：5分钟
群的基本知识
关键术语
群、乘积规则、对称操作 有限群及阶
Abel群、循环群
群的基本性质
例2）数字乘法群{1,-1,i, -i}，数字乘法群{1,-1}，同态？
G1
1 -1 i -i 1 1 -1 i -i -1 -1 1 -i i i i -i -1 1 -i -i i 1 -1
G2
1 -1 1 1 -1 -1 -1 1
G1群中{1,-1} G2 群中1 G1群中{i,-i} G2 群中-1
群的基本性质
群同பைடு நூலகம்的概念:
什么时候两个群相同？ 1.它们元素之间可用某种适当给定的方式 一一对应 2.元素的乘积，也以此同一方式对应 R R’ S S’ RS R’S’ 具有这种对应关系的两个群称为同构 互相同构的群，性质完全相同
相同素数阶的群，同构
群的基本性质
群同态的概念:
1.它们元素之间可用某种适当给定的方式 一多对应，或一一对应 2.元素或复元素的乘积，也以此同一方式 对应 具有这种对应关系的两个群称为同态 记为：G G’ 互相同态的群，性质相似
b ?
1
群
练习题: 正负整数及零，加法为群乘法，是不是群？
乘 {－1,0,1}集合, 四则运算加法为其乘法 ,是不是群？
结合律 单位元素
封闭性
逆元
三维实空间，恒等变换E 和反演变换I，群乘法为 从右向左依次施行变换.
则E 和I 构成一个二阶有限群, 称为空间反演群.
群
举例三 元素a的各阶幂. 封闭性 结合率

T G
群
若一复元素中的元素，按原群乘法，满足群的 四个条件，构成群：是为原群的子群。 若一群中多个复元素构成群：是为复元素的集 合，按复元素乘积，满足群的四个条件，构 成群。为原群的商群。 8.商 群 这样的集合称为原群G的商群，记作G/H。 单位元为子群H
群的性质
1、逆、单位元，唯一 2、任何元素R的逆、幂次，都在群中 3、排列顺序无关 4、逆之逆，复原 (R-1)-1 = R 逆是相互的 5、积的逆，逆序 (RS)-1 = S-1R-1 6、消去率成立 若RS = PS 有 R=P 7、复元素——商群 即群中部分元素的集合，子集合。
G2
1 -1 1 1 -1 -1 -1 1
2014年诺贝尔物理奖
Shuji Nakamura中村修二
Isamu Akasaki赤崎勇
Hiroshi Amano天野浩
讲习题通知
下周题目： 第一场：第一章习题8、11，对应旧版书：2、5 第一队： 第二队：
群的基本知识
一、群的定义 二、同态和同构关系 三、群的乘法表
四、群的各种子集
五、正多面体的固有对称变换群
群
变换：
• 在物理中的惯例，两个变换的乘积，定义为自右 向左相继作两次操作变换；
• 两个对称变换的乘积仍是系统的对称变换； • 三个对称变换的乘积满足结合律 • 不变的变换即恒等变换也是一种对称变换，它与 任何一个对称变换的乘积仍是该对称变换； • 系统对称变换的逆变换也是系统的一个对称变换。
空间变换群
单位元素 0阶幂
逆元 (am)-1 = a-m an a-m = an-m 构成无限群 an an = a2n
无限？连续？
若有an = 1，则为n阶群
1, a, a
2
, , a n1

群
练习题：平面正三角形图案，操作元素是否构成群？
D：绕z轴转2π/3 F：绕z轴转4π/3
E：不转.
1 ba 1 0 0 1 1 0 0 1 c 1 0 1 1 0 ca 0 0 1
1 0 e 0 1
1 0 b 0 1 0 1 0 为一个四阶Abel群 ac 1 0 1
群的基本性质
同态：两群之间存在满映射关系，而且这种映射关 系保持群运算规则不变 同态性质： a) 一一对应的同态，即为同构。
b) 同态下，单位元映射到单位元，逆元映射到逆元
E {E’,R’,S’,T’,…} 同态 单位元素构成的一阶群与任意群同态。
例1）单位元素E构成的一阶群G，与任意群G’，同态？
群乘：自右向左相继操作 单位元 E不转
元素的各阶幂，D2 = F, D3 = E, F2 = D, F3 = E
DF = FD = E 封闭性 逆元 结合率 构成有限群， 3阶群.
群
水分子
结构如图, H和O在一个平面内，组成等腰三角 形。它的所有对称操作？ 极射投影图
O

H
H
E ： 不动；：镜面反映；C2：转动180
群
举例五 太阳图案
群
举例四 晶体的所有平移对称操作{Plmn}
P(l2,m2) P(l1,m1) = P(l1+l2, m1+m2)
b
a
结合律 P(0,0) P(-l1,-m1)
群
空间对称操作
n重转动 (Rotation about axis) Cn 反演(Inversion) I (对称中心) 反映(reflection) m (对称面) 转动反演 Snz=xyCnz=Icmz 平移
R G, R G, R R E
1
1
课程内容回顾
二、群的性质
单位元，唯一
排列顺序无关
任何元素R的逆、幂次，都存在于群中 逆之逆，复原 (R-1)-1 = R 积的逆，逆序 (RS)-1 = S-1R-1 消去率成立 若RS = PS
有 R= P
课程内容回顾
1 0 b 0 1
0 1 c 1 0
a c
1
0 1 0 1 1 0 逆元 ac 1 0 1 0 0 1 e
结合律: 矩阵乘法保证 a(bc)=(ab)c 封闭性 四阶群
群的基本性质
1e, -1 元素对应 1(-1)e, 11ee，－1(－1)
1 -1
1 1 -1
-1 1 1
e
e e
e
对应元素乘积，相对应。两群同构
单位元对应单位元，逆元对应逆元
两群同阶，且阶数为素数
群的基本性质
练习：群H：正实数R为元素，四则运算乘积为群乘法 同构？群G：实数S为元素，四则运算加法为群乘法 R = eS 为实数S与正实数R的对应关系 SR R ’ = e S’ S ’R ’ RR’ = eSeS’ = eS+S’ SS’RR’ 单位元对应单位元，逆元对应逆元 两群同构 两群同阶？
课程内容回顾
一、群定义 群是规定了元素间“乘法”的集合G，满足四个条件。 1、封闭性；
RS G, R, S G
2、结合律
RST
RS T , R, S , T G
3、单位元；左乘任意元素，不变
E G, ER R, R G
4、逆元；任何元素R的逆，存在于集合中
G2群中: 1和1乘积为1
对应乘积相对应，同态！
1和-1乘积为-1 {1,-1}和{i,-i}乘积为{i,-i}
G1群中:
{1,-1}和{1,-1}乘积为{1,-1}
群的基本性质
例2）数字乘法群{1,-1,i, -i}，数字乘法群{1,-1}，同态？
G1
1 -1 i -i 1 1 -1 i -i -1 -1 1 -i i i i -i -1 1 -i -i i 1 -1