【数学】四川省泸县第五中学2019-2020学年高二上学期期中考试(理)

四川省泸县第五中学2019-2020学年
高二上学期期中考试（理）
第I 卷(选择题 共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1．若直线过点(1,2)，(2,23)+，则此直线的倾斜角是 A ．30°
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
2．抛物线22y x =的焦点到准线的距离是
A.2
B.1
C.
12
D.
14
3．双曲线22
324
x y -=-的渐近线方程为
A.2y x =±
B.2y x =±
C.22
y x =±
D.12
y x =±
4．空间直角坐标系中，点(10,4,2)A -关于点(0,3,5)M -的对称点的坐标是 A.(－10,2,8)
B.(－10,2,－8)
C.(5,2,－8)
D.(－10,3,－8)
5．设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A.若//,//,a b a α则//b α B.若,//,a αβα⊥则a β⊥ C.若,,a αββ⊥⊥则//a α
D.若,,,a b a b αβ⊥⊥⊥则αβ⊥
6．已知圆221:2410C x y x y ++-+=，圆22
2:(3)(1)1C x y -++=，则这两圆的位置关
系是 A.相交 B.相离 C.外切 D.内含
7．直线：与圆交于两点，
，则实数的值为 A ．
B ．
C ．
D ．
8．抛物线有如下光学性质：由焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，
平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线2
4y x =的
焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点()3,1M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为 A.43
-
B.
43
C.43
±
D.169
-
9．由直线2y x =+上的点向圆22(4)(2)1x y -++=引切线，则切线长的最小值为 A.42
B.31
C.33
D.421-
10．已知动点(,)P x y 满足225(1)(2)341x y x y -+-=+-，则点P 的轨迹为
A.直线
B.抛物线
C.双曲线
D.椭圆
11．已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为 A ．
32
B ．
155
C ．
105
D ．
33
12．设12,F F 为椭圆22
122:1(0)x y C a b a b
+=>>与双曲线2C 的公共的左右焦点，它们在第
一象限内交于点12,M MF F ∆是以线段1MF 为底边的等腰三角形，若双曲线2C 的离心率
3
[,4]2
e ∈，则椭圆1C 的离心率取值范围是
A. 45[,]99
B.3[0,]8
C.34
[,]89
D.5
[,1]9
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13．已知直线1:310l ax y +-=，222()30l x a a y +-+=：，且12l l ⊥已知则a = .
14．已知抛物线2
2(0)y px p =>的焦点F 与双曲线2
213
x y -=的右焦点重合，若A 为抛
物线上一点，且||3AF =，则直线AF 的斜率等于__________．
15．若直线1y kx =+和圆22:1O x y +=相交于,A B 两点（其中O 为坐标原点），且
60AOB ∠=，则实数k 的值为__________．
16．过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB ，AC ，AD ，且AB ，AC ，AD 两两夹角都
为60°，若2BD =，则该球的体积为______．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本大题满分10分）
已知直线1:250l x y +-=，2:20l x y -=. （1）求直线1l 和直线2l 交点P 的坐标；
（2）若直线l 经过点P 且在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线l 的一般式方程．
18． （本大题满分12分） 已知抛物线与直线
相交于A 、B 两点.
（1）求证：；
（2）当的面积等于
时，求k 的值.
19．（本大题满分12分）
已知圆过点，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程； （2）点为圆上任意一点，求
2
1
++x y 的最值.
20．（本大题满分12分）
如图1， 在直角梯形ABCD 中，90ADC ∠=︒，//CD AB ，4,2AB AD CD ===，M 为线段AB 的中点. 将ADC ∆沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体
D ABC -，如图2所示.
（1）求证:BC ⊥平面ACD ； （2）求二面角A CD M --的余弦值.
21．（本大题满分12分）
已知12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点，O 为原点，P 5
(2,)5-在椭圆上，
线段1PF 与y 轴的交点N 满足11
()2
ON OP OF =+. （1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆右焦点2F 作直线l 交椭圆于,A B 两点，交y 轴于M 点，若
1222,MA AF MB BF λλ==，求12λλ+.
22．（本大题满分12分）
已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b
+= (a >b >0)的离心率为3
2，F 是椭圆E 的右焦点，
直线AF 的斜率为23
3
，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；
(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.
参考答案
1．C 2．D 3．A 4．B 5．D 6．B 7．B 8．A 9．B 10．B 11．C 12．C
13．0或1
3
14．22
-15．
3
3
±16．
3
2
π
17．（1）联立
2x y50
x2y0
+-=
⎧
-=
⎨
⎩
，解得x=2，y=1．
∴直线l1和直线l2交点P的坐标为（2，1）．
（2）直线经过原点时，可得直线l的方程为：y=1
2
x，即x-2y=0．
直线不经过原点时，可设直线l的方程为：x-y=a，
把点P的坐标代入可得：2-1=a，
即a=1，可得方程为：x-y=1．
综上可得直线l的方程为：x-2y=0或x-y-1=0．
18．（1）证明：联立，消去x，得ky2＋y－k＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝－，y1·y2＝－1．因为y12＝－x1，y22＝－x2，所以（y1·y2）2＝x1·x2，所以x1·x2＝1，所以x1x2＋y1y2＝0，即＝0，所以OA⊥OB．
（2）设直线l与x轴的交点为N，则N的坐标为（－1,0），
所以S△AOB＝|ON|·|y1－y2|
＝×|ON|×
＝×1×＝，解得k2＝，所以k＝±．
19．（1）由，得中点为，，
所以的垂直平分线为
联立，得，则，
圆的半径为，
所以圆的方程为 （2）可以看成是点与连线的斜率
直线的方程为
，即
当直线为圆的切线时，有
，解得
所以
的最大值为，最小值为0
20．解法一：（Ⅰ）在图1中,可得22AC BC ==,从而222AC BC AB +=, 故AC BC ⊥……………………………………………-3分 ∵面ADE ⊥面ABC ,面ADE ⋂面ABC
AC =,BC ⊂面ABC ,
从而BC ⊥平面ACD ……………………………………………6分 （Ⅱ）取AC 的中点O ，CD 的中点N ,连结OM ,ON
∵M 是AB 的中点OM ∴是ABC ∆的中位线,ON 是ACD ∆的中 位线,∴OM
BC ,ON AD
又（Ⅰ）可知BC ⊥平面ACD ∴OM ⊥平面ACD
∵CD ⊂平面ACD ∴OM CD ⊥ 又AD CD ⊥∴ON CD ⊥
连结MN ,∵OM ON O ⋂=∴CD ⊥平面OMN 又MN ⊂平面OMN ， ∴CD MN ⊥
∴ONM ∠是二面角A CD M --的平面角……………………………………………9分 在Rt OMN ∆中，122OM AB =
=,1
12
ON AD ==,∴3MN = ∴13cos .33
ON ONM MN ∠=
== ∴二面角A CD M --的余弦值为
3
3
.……………………………………………12分 解法二: （Ⅰ）在图1中,可得22AC BC ==,从而222AC BC AB +=,
故AC BC ⊥……………………………………………2分 取AC 中点O 连结DO ,则DO AC ⊥,又面ADE ⊥面ABC , 面ADE ⋂面ABC AC =,DO ⊂面ACD ,从而OD ⊥平面ABC ,………………4分
∴OD BC ⊥
又AC BC ⊥,AC OD O ⋂=,
∴BC ⊥平面ACD ……………………………………………6分 （Ⅱ）建立空间直角坐标系O xyz -如图所示,
则(0,2,0)M ,(2,0,0)C -,(0,0,2)D (2,2,0)CM =,(2,0,2)CD =……8分 设(0,2,0)M 为面CDM 的法向量,
则110{0n CM n CD ⋅=⋅=即
220
{220
x y x z +=+=,解得{y x z x =-=- 令CDM ,可得1(,,)n x y z =……………………………10分 又1(,,)n x y z =为面ACD 的一个法向量 ∴121212
13
cos ,33
n n n n n n ⋅=
=
= ∴二面角A CD M --的余弦值为3
3
.…………………12分 21：（1）因为()
11
2
ON OP OF =
+知,N 为1PF 中点，而O 又为12F F 中点，所以ON 为12F F
P 的中位线，又由于12ON F F ⊥，所以212PF F F ⊥，由P 坐标可知()22,0F ，所以
()()122,0,2,0F F -，RT 12F F P 中，由勾股定理得2955
PF =，又因为155
PF = ，所
以 122255a PF PF a =+=⇒=，易得椭圆：
2
215
x y += （2）设()()()11223,,,,0,A x y B x y M y
设l ：()2y k x =-，与2215x y +=联立得()2222
51202050k x k x k +-+-=
22121222
20205
,5151
k k x x x x k k -+==++ ()()1
1211311111
,2,2x MA AF x y y x y x λλλ=⇒-=--⇒=
- 同理2
2222
2x MB BF x λλ=⇒=
- ()()222212121222
121222
2020522225151102420205
245151k k x x x x k k x x x x k k k k λλ⎛⎫-- ⎪+-++⎝⎭∴+===--+++⎛⎫--++ ⎪++⎝⎭
点睛:平面几何知识的运用大大简化了本题的运算，故求解解析几何题时需充分挖掘题目的几何关系.
22．解：（1）设(),0F c ，因为直线AF 的斜率为
233，()0,2A -所以223
3
c =，3c =. 又
2
223,2
c b a c a ==-解得2,1a b ==， 所以椭圆E 的方程为2214
x y +=.
（2）解：设()()1122,,,P x y Q x y 由题意可设直线l 的方程为：2y kx =-，
联立2
21{42,
x y y kx +==-，消去y 得()22
1416120k x kx +-+=，
当(
)
2
16430k ∆=->，所以2
34k >
，即32k <-或32
k >时 1212
22
1612,1414k x x x x k k +=
=++. 所以()
2
2
121214PQ k x x x x =++-
2
2
22
164811414k k
k k
⎛⎫=+- ⎪++⎝⎭ 222
414314k k k +-=
+ 点O 到直线l 的距离2
21
d k =
+；所以22
1443214OPQ
k S d PQ k
∆-==+，
设2430k t -=>，则2243k t =+，
2
444
14424OPQ t S t t t
∆=
=≤=++， 当且仅当2t =，即2432k -=，解得7
2
k =±
时取等号， 满足2
34k >所以OPQ ∆的面积最大时直线l 的方程为：722
y x =-或722y x =--.。