最新杭州市七校-学年高一下期中考试数学试题含答案.doc

2015学年第二学期期中杭州地区七校联考
高一年级数学学科试题
一．选择题(共12小题，每小题4分，共48分)
1．
330sin 的值为（ ） A ．21-
B ．21
C ．23-
D ．2
3
2．下列四式不能化简为的是（ ）
A ．；（
B ．（
C ．；－＋BM A
D MB D ．； 3． 把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3
π
个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是( ) A ．sin(2)3y x π=-，x R ∈ B.sin()26x y π
=+，x R ∈
C.sin(2)3y x π=+，x R ∈
D.sin(2)3
2y x π
=+
，x R ∈
4．已知)sin ,(cos αα=，)sin ,(cos ββ=，且()0cos =-βα=（ ）
A ．2
B ．
2
2
C ．2
D ．3 5.已知α是第二象限角，其终边上一点P (x ，5)，且cos α＝2
4
x ，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( )． A ．－
104 B ．－64 C ．64 D ．10
4
6．已知船A 在灯塔C 北偏东
85且到C 的距离为km 2，船B 在灯塔C 西偏北
25且到C 的距离为km 3，则A ，B 两船的距离为( )
A ．km 32
B ．km 23 C.．km 15 D ．km 13 7．函数)(x f y =的图象如图所示，则)(x f y =的解析式为( )
A ．22sin -=x y
B ．13cos 2-=x y
C ．1)52sin(--=πx y
D ． )5
2sin(1π--=x y
8．在△ABC 中，若
22
tan tan b
a B A =，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰或直角三角形 C ．不能确定 D ．等腰三角形 9．==
-αααα2cos 则,5
5
cos sin 是第一象限角，已知( ) A. 53-
B. 53±
C.54
D.5
4± 10．已知ABC ∆的重心为G ，内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，若3
3
=++c b a ，则角A 为( ) A ．
4π B ．6π C ．3π D ．2
π 11． 在△ABC
中，,4(0)a b m m ==>，如果三角形有解，则A 的取值范围是（ ） A ．060A ︒<≤︒ B ．030A ︒<<︒ C ．090A ︒<<︒ D ．3060A ︒<<︒
12. 如图，O 为△ABC 的外心，BAC AC AB ∠==,2,4为钝角，M 是边BC 的中点，则AO AM ⋅的值( ) A ． 4 B.．6 C ．7 D ． 5
二．填空题（本大题共6小题，单空题每小题4分,多空题每小题6分每空3分，共28分，将答案填在答题卷的相应位置）
13．一扇形的周长等于4cm ，面积等于12
cm ，则该扇形的半径为 ，圆心角为 ．
第12题图
14．化简
()()
=+-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
---+αππααπαπ
s i n 32s i n c o
s )2c o s (3 ，
=++ 35tan 25tan 335tan 25tan ．
15．已知向量a 与b 的夹角为120°,且|a |=2, |b |=5,则(2a -b )·a =
16．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a+b+c=20，三角形面积为310， 且角
60=A ，则边a = ________
17．在ABC ∆中，
90=C ，3=CB ,点M 是 AB 上的动点（包含端点），则CB MC ⋅的取
值范围为 ． 18．函数π()3sin 23f x x ⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
的图象为C ，
则如下结论中不正确的序号是_________________ ①、图象C 关于直线11
π12
x =对称； ②、图象C 关于点2π03⎛⎫
⎪⎝⎭
，对称； ③、函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，内是增函数； ④、由3sin 2y x =的图像向右平移
π
3
个单位长度可以得到图象C
三．解答题（本大题有4小题，前2题每题10分，后2题每题12分，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.） 19．（本题10分）
已知 、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，－2）. （1）若|c |52=，且
//，求c 的坐标；
（2）若|b |=1，且a b +与2a b -垂直，求与b 的夹角θ的余弦值.
20．（本题10分）
已知A,B,C 的坐标分别为)sin 3,cos 3(),4,0(),0,4(ααC B A . (1)若)0,(πα-∈且||||
=，求α的值；
(2)若0=⋅BC AC ，求α
ααtan 12sin sin 22++
21．（本题12分）
已知函数1cos sin 3cos )(2
+-=x x x x f ．
（1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （2）若6
5)(=
θf ，)3π
23π(，∈θ，求θ2sin 的值．
22．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若()()()C A c B A b a sin sin sin sin -=-+. (1)求角B 的大小；
(2)设BC 中点为D ，且3=AD ，求c a 2+的最大值．
2015学年第二学期期中杭州地区七校联考
高一年级数学学科参考答案
二．填空题
13． 1 ， 2 14． 1-，3
15． 13 16． 7 17． []09，- 18． ④ 三．解答题
19. 解：（1）设),(y x =，由//和52|=c 可得：
⎩⎨⎧22
120
20y x x y ⋅+⋅=+= ， ……………….. 2分 ∴ ⎩⎨⎧24x y =-= 或 ⎩
⎨⎧24x y ==- ………………..4分
∴(2,4)c =-，或(2,4)c =- ………………… 5分
（2）
()(2),a b a b +⊥-∴()(2)0a b a b +⋅-= ……… 7分
即2
2
20,a a b b -⋅-=∴22||2||0a a b b -⋅-=， ∴ 520a b -⋅-=，所以3a b ⋅=， ………….8分 ∴35
cos 5||||
a b a b θ⋅=
=⋅ …………10分 20.解：（1）由已知：)sin 3,4cos 3αα-=（，
)4sin 3,cos 3(-=αα …………..1分
=
()()()()4sin 3cos 3sin 34cos 32
2
2
2
--+=+∴
αααα
化简得：1tan ,cos sin ==ααα即………………..3分
)0,(πα-∈ 4
3π
α-
=∴……………………5分 （2）0=⋅ 0)4sin 3(sin 3)4sin 3(cos 3=-+-∴αααα
43
cos sin =
+αα ………….7分 两边平方得：16
7
cos sin 2-=αα ………………..8分
又α
ααtan 12sin sin 22++=α
αααααcos cos sin cos sin 22sin 2
++
=16
7
cos sin 2-
=αα………………….10分 21. 解：（1）1cos sin 3cos )(2+-=x x x x f
12sin 2
3
22co 1+-+=
x x s ....................2分 2
3
)3
2cos(+
+
=πx ． ……………..4分 函数最小正周期T=π ……………..5分
由ππ
ππk x k 23
22≤+
≤-，得6
32π
πππ-≤≤-
k x k （Z k ∈）． ∴
函
数
)
(x f 的单调
递
增
区
间
是
]6
,32[π
πππ--
k k （Z k ∈）．…………………………………………….
7分
（2）∵65)(=θf ，∴6
523)32cos(=++πx ，32
)32cos(-=+πθ．
∵
⎪
⎭
⎫
⎝⎛∈323
ππθ，，
∴
)3
5,
(3
2π
ππθ∈+
，
3
5
)3
2(cos 1)3
2(sin 2-
=+
--=+
π
θπ
θ． ………………….9分 ∴)3
2cos(23)32sin(21)3
3
2sin(2sin πθπθπ
π
θθ+-+=
-
+
=
6
5
32-=
…………………………………12分 22．解：（1）()()()C A c B A b a sin sin sin sin -=-+ 所以由正弦定理可得()()()c a c b a b a -=-+ ， 即ac b c a =-+2
2
2
，…………………2分
由余弦定理可知2
1
2cos 222=-+=
ac b c a B ，…………………………4分 因为()π,0∈B ，所以3
π
=
B …………………………5分
(2)设θ=∠BAD ，则在ABD ∆中， 由3
π
=
B 可知⎪⎭⎫ ⎝
⎛
∈3
2,
0πθ， 由正弦定理及3=AD 可得
23sin
32sin sin ==⎪⎭
⎫
⎝⎛-=πθπθ
AD
AB BD
，………………………7分
所以θsin 2=BD ，θθθπsin cos 332sin 2+=⎪⎭
⎫
⎝⎛-=AB ，…………………………8分 所以⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+=+=+6sin 34sin 6cos 322πθθθc a ，…………………………10分 由⎪⎭⎫
⎝
⎛∈3
2,0πθ可知⎪
⎭
⎫
⎝⎛∈+65,
66πππθ，所以当26ππθ=+， 即3
π
θ=时，c a 2+的最大值为34.…………………………12分。