5第五章__频率法解析
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Im
P (0) 1，Q(0) 0
Re
0
0
1 T
1 1 1 1 时：A( ) ， ( ) 45 T T T 2 1 1 1 K P ( ) ，Q( ) T 2 T 2
惯性环节呈低通滤波特性
时：A( ) 0， ( ) 90 P ( ) 0，Q( ) 0
频率特性表示线性系统在稳态情况下，输出、输入正 弦信号之间的数学关系，是频率域中的数学模型。
频率法
频率特性 G ( j ) 是 的复变函数：
G( j ) A( ) ( ) P ( ) jQ ( )
Ac 稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比 A( ) | G( j ) | Ar 称为系统的幅频特性，它描述系统对不同频率输入信号在稳态
0 -1 -2 -3 -4
1 10T 1 5T 1 2T 1 T 2 T 5 T 10 T
频率法
( ) tg 1T ②相频特性：
作图时先用计算器计算几个特殊点：
T 0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1.0
()
T ()
-0.6
2.0 -63.4
频率法
5-1
如一阶RC电路
R
频率特性
一、频率特性的基本概念
这是一个惯性环节
பைடு நூலகம்
ui
C
uo
U o ( s) 1 Cs G( s) U i ( s) R 1 RCs 1 Cs
1
由电路的知识： 当输入电压 ui 是一正弦量时，输出电压 uo 是 与 ui 同频率的正弦量，但其幅值和相位不同。
1 o 称为转折频率或交换频率。 T
可以用这两个渐近线近似表示惯性环节的对数幅频特性。
频率法
10 渐近线 0 -10 -20 0° -45° -90° 1 20T
1 10T
1 5T
1 2T
1 T
2 T
5 T
10 T
20 T
图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。
频率法
波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）： 当 o 时，误差为： 1 20lg 1 T 2 2 当 o 时，误差为： 2 20lg 1 T 2 2 20lgT
频率法
2.Bode图： 幅频特性： A( ) K ；相频特性： ( ) 0
L( ) / dB
20lg K 20lg K 20lg K
K 1 K 1 K 1
对数幅频特性：
0 L( ) 20 lg K 常数 0 0 K 1 K 1 K 1
( )
180
相频特性：
( ) 0
180
频率法
1 1 二、惯性环节的频率特性： G ( s ) G ( j ) j T 1 Ts 1 1 A( ) , ( ) tg 1T 1 T 2 2 1 T P ( ) , Q( ) 2 2 1T 1 T 2 2 1.极坐标图： 0时：A(0) 1， (0) 0
Dec Dec Dec Dec
...
0
2
1
0
1
1
2
lg
0.01
0 .1
10
100
由于 以对数分度，所以零频率线在－∞处。
频率法
纵坐标分度：对数幅频特性曲线的纵坐标以 L( ) 20 lg A( ) 表示。其单位为分贝(dB)。直接将 20 lg A( )值标注在纵坐标上。 相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度。 一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横 坐标（频率轴）。 当幅频特性值用分贝值表示时，通常将它称为增益。幅值 和增益的关系为：增益 20lg(幅值)
频率法
乃奎斯特图
Nyquist
频率法
2．对数频率特性图，对数坐标图，也称伯德 (Bode)图。 Bode图由对数幅频特性和对数相频特性两 条曲线组成。
频率法
Bode图坐标(横坐标是频率，纵坐标是幅值和相角)的分度： 横坐标分度(称为频率轴)：它是以频率 的对数值 lg 进 的值，因此对 行线性分度的。但为了便于观察仍标以 每变化十倍，横坐标变化一个单位 而言是非线性刻度。 长度，称为十倍频程（或十倍频），用dec表示。如下图所 示：
频率法
第五章 线性系统的频域分析
5-1 频率特性 5-2 典型环节的频率特性
5-3 系统开环频率特性的绘制 5-4 乃奎斯特稳定判据和系统的相对 稳定性 5-5 系统的频率特性及频域性能指标 5-6 频率特性的实验确定方法 5-7 用MATLAB进行系统的频域分析
频率法
频率特性法是又一种对系统进行分析和设计 的图解方法。在工程中得到了广泛应用。
频率法
2. 对数频率特性
1 T 2 2 ①对数幅频特性： L( ) 20lg A( ) 20lg1 20lg 1 T 2 2
为了图示简单，采用分段直线近似表示。
L( ) 20 lg 1 0，称为低频渐近线。 低频段：当 T 1 时，
A( )
1
1 G( s) Ts 1
频率法
对于一个线性定常的稳定系统，输入一 个正弦信号，则系统的稳态输出也为正弦信 号，输出信号与输入信号同频率，但幅值和 相位不同。
如果输入
则稳态输出
r (t ) Ar sin t
c( t ) Ac sin(t )
A Ac Ar
且输出与输入的幅值比 和相位差 只和系统参数及输入信号的频率 有关。在系统 结构参数给定的情况下，A和 仅仅是频率的函 数。
幅频特性、相频特性和实频特性、虚频特性之间具 有下列关系：
P( ) A( ) cos ( )
Q( ) A( ) sin ( )
A( ) P 2 ( ) Q 2 ( )
( ) tg 1
Q( ) P ( )
频率法
如一阶RC电路 R
这是一个惯性环节
d j dt
传递函数
频率特性
s j
频率法
频率特性的推导是在线性定常系统是稳定的假设条件下得 出的。如果不稳定，则动态过程c(t)最终不可能趋于稳态响应 cs(t)，当然也就无法由实际系统直接观察到这种稳态响应。 但从理论上动态过程的稳态分量总是可以分离出来的，而 且其规律性并不依赖于系统的稳定性。 因此可以扩展频率特性的概念，将频率特性定义为：在正 弦输入下，线性定常系统输出的稳态分量与输入的复数比。 所以对于不稳定的系统，尽管无法用实验方法量测到其频 率特性，但根据式
幅值A() 对数幅值 20lgA() 幅值A() 对数幅值 20lgA() 1.00 1.26 1.56 2.00 2.51 3.16 5.62 10.0 0 2 4 6 8 10 15 20 100 40 1000 60 10000 80 0.0001 -80
1.00 0.79 0.63 0.50 0.39 0.32 0.18 0.10 0.01 0.001 0 -2 -4 -6 -8 -10 -15 -20 -40 -60
时的放大特性；
稳态响应与正弦输入信号的相位差 ( ) G( j ) 称为系 统的相频特性，它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号
的相位移特性； P ( ) Re[G( j )] 称为系统的实频特性。
Q( ) Im[ G( j )] 称为系统的虚频特性。
频率法
频率法
5-2
典型环节的频率特性
G ( j ) K
虚频特性： Q( ) 0 ； 相频特性： ( ) 0
一、比例环节： G( s ) K 实频特性： P ( ) K ； 幅频特性： A( ) K ； 1.极坐标图：
Im
K
比例环节的极坐标图为 实轴上的K点。
Re
-1.1
3.0 -71.5
o
-2.9
4.0 -76
-5.7
5.0 -78.7
-11.3
7.0 -81.9
-16.7
10 -84.3
-26.6
20 -87.1
-35
50 -88.9
-45
100 -89.4
1 1 当 0时， (0) 0 ;当 时， ( ) 45o ;当 时， () 90o。 T T 由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于( 0，-45°) 点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。当时间常数T变 化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状都不变，仅仅是根 据转折频率1/T的大小整条曲线向左或向右平移即可。而当增益 改变时，相频特性不变，幅频特性上下平移。
ui
C
uo
U 频率特性: G ( j ) c Ur
U o ( s) 1 Cs G( s) U i ( s) R 1 RCs 1 Cs 1 1 j C 1 jRC 1 R j C
1
频率特性与传递函数的关系为：
G( j ) G( s ) | s j
频率法
半对数坐标系
频率法
使用对数坐标图的优点：
可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的 表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。 可以将乘法运算转化为加法运算。 所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线（渐近线）
近似表示。
对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近 似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。
G( j ) G( s ) | s j
由传递函数还是可以得到其频率特性。
频率法
二、频率特性的表示方法： 工程上常用图形来表示频率特性，常用的有： 1．幅相频率特性图，极坐标图，也称乃奎斯特(Nyquist) 图。是以开环频率特性的实部为直角坐标横坐标，以其 虚部为纵坐标，以 为参变量的幅值与相位的图解表示 法。 它是在复平面上用一条曲线表示 由 0 时的频 率特性。即用矢量 G ( j ) 的端点轨迹形成的图形。 是 参变量。在曲线的上的任意一点可以确定实频、虚频、 幅频和相频特性。
由于这种简单关系的存在，频率响应法和利用传递函数的 时域法在数学上是等价的。
频率法
[结论]：当传递函数中的复变量s用 j 代替时，传递函数就转 变为频率特性。反之亦然。
到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以 下几种：微分方程、传递函数和频率特性。它们之间的关系 如下：
微分方程
d s dt
频率法
输入 r ( t ) Ar sin t 稳态输出 c( t ) Ac sin(t ) 可用复数表示：
A A 0o ，C R r c
定义：频率特性就是系统稳态输出与输入正弦信号的复数 比。
Ac Ac C G ( j ) o R Ar 0 Ar
频率特性法的优点：
只要求出系统的开环频率特性，就可以迅速判 断闭环系统是否稳定； 由系统的频率特性所确定的频域指标与系统的 时域指标之间存在着一定的对应关系；
系统的频率特性很容易和它的结构、参数联系 起来，可以很方便地对系统进行校正；
频率特性不仅可由微分方程或传递函数求得， 还可以用实验方法求得。
T L(),dB 渐近线,dB 0.1 -0.04 0 0.2 -0.2 0 0.5 -1 0 1 -3 0 2 -7 -6 5 -14.2 -14 10 -20.04 -20
最大误差发生在 处，为
1 o T
2
误差,dB
-0.04
-0.2
-1
-3
-1
-0.2
-0.04
max 20 lg 1 T 2o 3(dB )
G ( j )
1 jT 1
( ) tg 1T
高频段：当 T 1 时，L( ) 20 lg 1 20 lg T 20 lg T ， 称为高频渐近线。这是一条斜率为-20dB/Dec的直线（表示 每增加10倍频程下降20分贝）。 低频高频渐近线的交点： 由 20 lg 1 20 lg 1 20 lg T ，得：
频率法
三、积分环节
1 G( s ) s
P (0) 1，Q(0) 0
Re
0
0
1 T
1 1 1 1 时：A( ) ， ( ) 45 T T T 2 1 1 1 K P ( ) ，Q( ) T 2 T 2
惯性环节呈低通滤波特性
时：A( ) 0， ( ) 90 P ( ) 0，Q( ) 0
频率特性表示线性系统在稳态情况下，输出、输入正 弦信号之间的数学关系，是频率域中的数学模型。
频率法
频率特性 G ( j ) 是 的复变函数：
G( j ) A( ) ( ) P ( ) jQ ( )
Ac 稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比 A( ) | G( j ) | Ar 称为系统的幅频特性，它描述系统对不同频率输入信号在稳态
0 -1 -2 -3 -4
1 10T 1 5T 1 2T 1 T 2 T 5 T 10 T
频率法
( ) tg 1T ②相频特性：
作图时先用计算器计算几个特殊点：
T 0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1.0
()
T ()
-0.6
2.0 -63.4
频率法
5-1
如一阶RC电路
R
频率特性
一、频率特性的基本概念
这是一个惯性环节
பைடு நூலகம்
ui
C
uo
U o ( s) 1 Cs G( s) U i ( s) R 1 RCs 1 Cs
1
由电路的知识： 当输入电压 ui 是一正弦量时，输出电压 uo 是 与 ui 同频率的正弦量，但其幅值和相位不同。
1 o 称为转折频率或交换频率。 T
可以用这两个渐近线近似表示惯性环节的对数幅频特性。
频率法
10 渐近线 0 -10 -20 0° -45° -90° 1 20T
1 10T
1 5T
1 2T
1 T
2 T
5 T
10 T
20 T
图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。
频率法
波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）： 当 o 时，误差为： 1 20lg 1 T 2 2 当 o 时，误差为： 2 20lg 1 T 2 2 20lgT
频率法
2.Bode图： 幅频特性： A( ) K ；相频特性： ( ) 0
L( ) / dB
20lg K 20lg K 20lg K
K 1 K 1 K 1
对数幅频特性：
0 L( ) 20 lg K 常数 0 0 K 1 K 1 K 1
( )
180
相频特性：
( ) 0
180
频率法
1 1 二、惯性环节的频率特性： G ( s ) G ( j ) j T 1 Ts 1 1 A( ) , ( ) tg 1T 1 T 2 2 1 T P ( ) , Q( ) 2 2 1T 1 T 2 2 1.极坐标图： 0时：A(0) 1， (0) 0
Dec Dec Dec Dec
...
0
2
1
0
1
1
2
lg
0.01
0 .1
10
100
由于 以对数分度，所以零频率线在－∞处。
频率法
纵坐标分度：对数幅频特性曲线的纵坐标以 L( ) 20 lg A( ) 表示。其单位为分贝(dB)。直接将 20 lg A( )值标注在纵坐标上。 相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度。 一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横 坐标（频率轴）。 当幅频特性值用分贝值表示时，通常将它称为增益。幅值 和增益的关系为：增益 20lg(幅值)
频率法
乃奎斯特图
Nyquist
频率法
2．对数频率特性图，对数坐标图，也称伯德 (Bode)图。 Bode图由对数幅频特性和对数相频特性两 条曲线组成。
频率法
Bode图坐标(横坐标是频率，纵坐标是幅值和相角)的分度： 横坐标分度(称为频率轴)：它是以频率 的对数值 lg 进 的值，因此对 行线性分度的。但为了便于观察仍标以 每变化十倍，横坐标变化一个单位 而言是非线性刻度。 长度，称为十倍频程（或十倍频），用dec表示。如下图所 示：
频率法
第五章 线性系统的频域分析
5-1 频率特性 5-2 典型环节的频率特性
5-3 系统开环频率特性的绘制 5-4 乃奎斯特稳定判据和系统的相对 稳定性 5-5 系统的频率特性及频域性能指标 5-6 频率特性的实验确定方法 5-7 用MATLAB进行系统的频域分析
频率法
频率特性法是又一种对系统进行分析和设计 的图解方法。在工程中得到了广泛应用。
频率法
2. 对数频率特性
1 T 2 2 ①对数幅频特性： L( ) 20lg A( ) 20lg1 20lg 1 T 2 2
为了图示简单，采用分段直线近似表示。
L( ) 20 lg 1 0，称为低频渐近线。 低频段：当 T 1 时，
A( )
1
1 G( s) Ts 1
频率法
对于一个线性定常的稳定系统，输入一 个正弦信号，则系统的稳态输出也为正弦信 号，输出信号与输入信号同频率，但幅值和 相位不同。
如果输入
则稳态输出
r (t ) Ar sin t
c( t ) Ac sin(t )
A Ac Ar
且输出与输入的幅值比 和相位差 只和系统参数及输入信号的频率 有关。在系统 结构参数给定的情况下，A和 仅仅是频率的函 数。
幅频特性、相频特性和实频特性、虚频特性之间具 有下列关系：
P( ) A( ) cos ( )
Q( ) A( ) sin ( )
A( ) P 2 ( ) Q 2 ( )
( ) tg 1
Q( ) P ( )
频率法
如一阶RC电路 R
这是一个惯性环节
d j dt
传递函数
频率特性
s j
频率法
频率特性的推导是在线性定常系统是稳定的假设条件下得 出的。如果不稳定，则动态过程c(t)最终不可能趋于稳态响应 cs(t)，当然也就无法由实际系统直接观察到这种稳态响应。 但从理论上动态过程的稳态分量总是可以分离出来的，而 且其规律性并不依赖于系统的稳定性。 因此可以扩展频率特性的概念，将频率特性定义为：在正 弦输入下，线性定常系统输出的稳态分量与输入的复数比。 所以对于不稳定的系统，尽管无法用实验方法量测到其频 率特性，但根据式
幅值A() 对数幅值 20lgA() 幅值A() 对数幅值 20lgA() 1.00 1.26 1.56 2.00 2.51 3.16 5.62 10.0 0 2 4 6 8 10 15 20 100 40 1000 60 10000 80 0.0001 -80
1.00 0.79 0.63 0.50 0.39 0.32 0.18 0.10 0.01 0.001 0 -2 -4 -6 -8 -10 -15 -20 -40 -60
时的放大特性；
稳态响应与正弦输入信号的相位差 ( ) G( j ) 称为系 统的相频特性，它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号
的相位移特性； P ( ) Re[G( j )] 称为系统的实频特性。
Q( ) Im[ G( j )] 称为系统的虚频特性。
频率法
频率法
5-2
典型环节的频率特性
G ( j ) K
虚频特性： Q( ) 0 ； 相频特性： ( ) 0
一、比例环节： G( s ) K 实频特性： P ( ) K ； 幅频特性： A( ) K ； 1.极坐标图：
Im
K
比例环节的极坐标图为 实轴上的K点。
Re
-1.1
3.0 -71.5
o
-2.9
4.0 -76
-5.7
5.0 -78.7
-11.3
7.0 -81.9
-16.7
10 -84.3
-26.6
20 -87.1
-35
50 -88.9
-45
100 -89.4
1 1 当 0时， (0) 0 ;当 时， ( ) 45o ;当 时， () 90o。 T T 由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于( 0，-45°) 点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。当时间常数T变 化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状都不变，仅仅是根 据转折频率1/T的大小整条曲线向左或向右平移即可。而当增益 改变时，相频特性不变，幅频特性上下平移。
ui
C
uo
U 频率特性: G ( j ) c Ur
U o ( s) 1 Cs G( s) U i ( s) R 1 RCs 1 Cs 1 1 j C 1 jRC 1 R j C
1
频率特性与传递函数的关系为：
G( j ) G( s ) | s j
频率法
半对数坐标系
频率法
使用对数坐标图的优点：
可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的 表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。 可以将乘法运算转化为加法运算。 所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线（渐近线）
近似表示。
对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近 似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。
G( j ) G( s ) | s j
由传递函数还是可以得到其频率特性。
频率法
二、频率特性的表示方法： 工程上常用图形来表示频率特性，常用的有： 1．幅相频率特性图，极坐标图，也称乃奎斯特(Nyquist) 图。是以开环频率特性的实部为直角坐标横坐标，以其 虚部为纵坐标，以 为参变量的幅值与相位的图解表示 法。 它是在复平面上用一条曲线表示 由 0 时的频 率特性。即用矢量 G ( j ) 的端点轨迹形成的图形。 是 参变量。在曲线的上的任意一点可以确定实频、虚频、 幅频和相频特性。
由于这种简单关系的存在，频率响应法和利用传递函数的 时域法在数学上是等价的。
频率法
[结论]：当传递函数中的复变量s用 j 代替时，传递函数就转 变为频率特性。反之亦然。
到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以 下几种：微分方程、传递函数和频率特性。它们之间的关系 如下：
微分方程
d s dt
频率法
输入 r ( t ) Ar sin t 稳态输出 c( t ) Ac sin(t ) 可用复数表示：
A A 0o ，C R r c
定义：频率特性就是系统稳态输出与输入正弦信号的复数 比。
Ac Ac C G ( j ) o R Ar 0 Ar
频率特性法的优点：
只要求出系统的开环频率特性，就可以迅速判 断闭环系统是否稳定； 由系统的频率特性所确定的频域指标与系统的 时域指标之间存在着一定的对应关系；
系统的频率特性很容易和它的结构、参数联系 起来，可以很方便地对系统进行校正；
频率特性不仅可由微分方程或传递函数求得， 还可以用实验方法求得。
T L(),dB 渐近线,dB 0.1 -0.04 0 0.2 -0.2 0 0.5 -1 0 1 -3 0 2 -7 -6 5 -14.2 -14 10 -20.04 -20
最大误差发生在 处，为
1 o T
2
误差,dB
-0.04
-0.2
-1
-3
-1
-0.2
-0.04
max 20 lg 1 T 2o 3(dB )
G ( j )
1 jT 1
( ) tg 1T
高频段：当 T 1 时，L( ) 20 lg 1 20 lg T 20 lg T ， 称为高频渐近线。这是一条斜率为-20dB/Dec的直线（表示 每增加10倍频程下降20分贝）。 低频高频渐近线的交点： 由 20 lg 1 20 lg 1 20 lg T ，得：
频率法
三、积分环节
1 G( s ) s