浙江省杭州高中2010届高三第三次月考(数学理)
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AC
．
A
M ，N ，若 AB m AM ， AC n AN ，则 m n 的值为
如图，在 △ ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交直线 AB ，
于不同的两点
N B O C
M
14． 定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）=
n a n f ( ), n N , S n 为数列 {a n } 的前 n 项的和，则 S3n =____________ 3
三、解答题（本大题共 5 题，满分 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18． （本题满分 14 分） 已知向量 a ( 2 cos x, 3 ) ， b (1, sin 2 x) ，函数 f ( x) a b ．
6．数列 {a n } 是等差数列， S10 0, S11 0 ,则使 a n 0 的最小的 n 的值是 A．5 7． 函数 y 2 cos 2 ( x B．6 C．7 D．8
（
）
4
) 1是
B． 最小正周期为 的偶函数 D． 最小正周期为
（
）
A．最小正周期为 的奇函数 C． 最小正周期为
a2 ②当 a 3时, h(t ) t a . 2
h(t ) 最小值为 h(3) a 3
a2 ,2 a 3 2 2 a 3 a , a 3 2
a2 . 2
∴ g ( x) min
21．
解:
（Ⅰ）因为 a1 1, a2 2, 所以 a3 (1 cos 2
x0 log 2 (4 x), ，则 f（3）=______ f ( x 1) f ( x 2), x 0
15． 若使不等式 x2-4x+3<0 和 x2-6x+8<0 同时成立的 x 值，使得关于 x 的不等式 2x2-9x+a<0 也成立，则 a 的取值范围是________________． 16． 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ，满足 f x 4 f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数,若方程 f（x） =m（m>0）在区间 8,8 上有四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 ,则 x1 x2 x3 x4 _________ . 17． 对于实数 x，用[x]表示不超过 x 的最大整数，则函数 f （x） = [x]称为高斯函数或取整函数，若
2
的奇函数
2
的偶函数
8．函数 y =f（x）的图象为 C，而 C 关于直线 x =1 对称的图象为 C1, 将 C1 向左平移 1 个单位后得到的图 象为 C2, 则 C2 所对应的函数为 （ ） A．y =f（–x） B．y = f（1– x） C． y = f（2– x） D． y = f（3– x） 9． 已知函数 f ( x) 在 R 上满足 f ( x) 2 f (2 x) x 8 x 8 ，则曲线 y f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线
a2 . 0 x ln 3, 1 t 3, 2
a2 t a ,1 t a, 2 ①当 2 a 3时, h(t ) 2 t a a , a t 3. 2
h(t ) 的最小值为 h(a )
a2 . 2
4 5
13． 2
14． -2
命题意图：考察解不等式，集合的交集，方程根的分布等知识。 填 a≤9。解答：x∈ 2,3 ,令 f（x）= 2x2－9x+a, 根据图像只要 f（3）≤0 即可。
16． -8
y f(x)=m (m>0) -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x
17．命题意图：函数与数列知识结合。 填
a2 x [0, ln 3], , 其中求函数 2
（1）求实数 a 的取值范围； （2）设 g ( x) | e a |
x
g ( x) 的最小值。
21． （本题满分 15 分） 数列 an 满足a1 1, a2 2, an 2 (1 cos 2 （Ⅰ）求 a3 , a4 , 并求数列 an 的通项公式； （Ⅱ）设 bn
10
（
4
）
A．0≤ x ≤ C． 4．
4
00
B． D．
≤x≤ ≤x≤
80
5 4 3 2
≤x≤
7 4
2
已知 O，N，P 在 ABC 所在平面内，且 OA OB OC , NA NB NC 0 ，且
PA PB PB PC PC PA ，则点 O，N，P 依次是 ABC 的
6
) 1
C 是三角形内角
∴ 2C
6
2
即： C
6
即： a b 7
2 2
------------8 分
∴ cos C
b2 a2 c2 3 2ab 2
----------------10 分
将 ab 2 3 可得： a 2 ∴a
12 7 解之得： a 2 3或 4 a2
2
（Ⅰ）求函数 f ( x) 的最小正周期； （Ⅱ）在 ABC 中， a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边，且 f (C ) 3 ， c 1 ， ab 2 3 ，且 a b ，求 a, b 的值．
19． （本题满分 14 分） 设全集 U=R，函数 f（x）=lg（|x+1|+a–1）
1 n 1 1 n 1 n 。 (3n 2 n)(n N * ) 。解答： S3n 3 2 2
三、解答题 18．解：（Ⅰ） f ( x) a b ( 2 cos x, 3 ) (1, sin 2 x) 2 cos x 3 sin 2 x
1 3
C．
1 9
D． –
1 9
二、填空题（本大题共 7 小题，每题 4 分，共 28 分） 11． 方程|2x –3|=kx+a 对所有实数 k 都有解，则 a 的取值范围是________________． 12． 已知 tan 2 ，则 sin 13．
2
sin cos 2 cos 2 __________
2
方程是
（
）
1
A． y 2 x 1
B． y x
C． y 3 x 2
D． y 2 x 3
10．定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x+2） =3f（x） ，当 x [0,2]时，f（x）=x2–2x，则当 x [–4,–2]时 f （x）的最小值是 （ ） A．–1 B． –
OA y 2 f (1) OB ln x 1 OC
（1）求函数 y f ( x) 的表达式； （2）若 x 0 ，证明： f ( x) （3） 若不等式
2x ； x2
1 2 x f ( x 2 ) m 2 2bm 3 对任意 x 1, 1及 b 1, 1 都恒成立，求实数 2
2 2
cos 2 x 1 3 sin 2 x 2 sin( 2 x
∴函数 f ( x) 的最小周期 T= （Ⅱ） f (C ) 2 sin( 2C
6
) 1
---------4 分 ----------6 分
6
2 2
) 1 3 sin( 2C
A． 重心 外心 垂心 C． 外心 重心 垂心 设函数 f（x）满足 f（x）=f（4
2
（
）
5．
–
B．重心 外心 内心 D．外心 重心 内心 x） ，当 x>2 时，f（x）为增函数，则 a
=f（1．10．9） 、b （ ）
=f
（0．91．1） 、c =f（log 1 4 ）的大小关系是 A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>b>a
a 2 a 1 ,
2
∴ CU A a 2, a 中的两
0 a 2 个偶数是－2 和 0，∴ 4 a 2 2 ，∴a∈ 2, 0 ． a 1
20．解：（1） f ( x) x
1 a 4. x
f ( x)在(1,) 上是增函数，
x
1 1 a 4 0在(1,) 上恒成立， 即 a 4 ( x ) 恒成立， x x 1 1 x 2(当且仅当x 1时, 成立) 4 ( x ) 2. x x 所以 a 2
x
（2）设 t e , 则h(t ) | t a |
m 的取值范围．
参考答案
3
一、选择题 题 号 选 项 1 2 3 4 5 6 B 7 A 8 B 9 A 10 D
C
A
B
C
D
二、填空题 11．命题意图：考察两个函数图像的关系。 填 3, 。解答：画出两个函数的图像，当 a≥3 时，不论 k 为何值，这两个图像必有交点。 12． 15．
（a<1）的定义域为 A， 集合 B={x|cos x =1}．
2
（1）当 a=0 时，求 （CUA） B； （2）若（CUA） B 恰有 2 个元素，求 a 的取值范围。
20． （本题满分 14 分） 已知函数 f ( x)
1 2 x ln x (a 4) x在(1,) 上是增函数。 2
＝ a2 k 1 1 ，即 a2 k 1 a2 k 1 1. 所以数列 a2 k 1 是首项为 1、公差为 1 的等差数列，因此 a2 k 1 k . ②当 n 2k ( k N ) 时， a2 k 2 (1 cos 2
*
2 k 2 k )a2 k sin 2 2a2 k . 2 2
n n )an sin 2 , n 1, 2,3,. 2 2
a2 n 1 , 求S n b1 b2 bn . a2 n
22． （本题满分 15 分）
已知 A、B、C 是直线 l 上的三点，点 O 不在直线 l 上，向量 OA, OB, OC 满足
3或 2
b 2或
3
a b
∴a 2
b 3
------------14 分
4
19． 命题意图：考察不等式的解法，集合的交集、补集思想。 解答：（1）A= , a 2 a, ，∴ CU A a 2, a ．而 B＝ x | x 2k , k Z ， （CUA） B= 2, 0 （2）由（CUA） B 恰有 2 个元素，又∵
2
)a1 sin 2
2
a1 1 2,
a4 (1 cos 2 )a2 sin 2 2a2 4.
5
①当 n 2k 1( k N ) 时， a2 k 1 [1 cos 2
*
(2k 1) 2k 1 ]a2 k 1 sin 2 2 2
A．1 B．3 C．4 D．8 2． “ a 1 ”是“函数 f ( x) x a 在区间 1, 上为增函数”的 A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
（
）
（
）
3．设 0 x 2 ,且 1 sin 2 x = sin x cos x, 则
浙江省杭州高中 2010 届高三第三次月考（数学理）
注意事项： 1．本卷答题时间 120 分钟，满分 150 分。 2．本卷不得使用计算器，答案一律做在答卷页上。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的）
1,2,则满足 A B 1,2,3 的集合 B 的个数是 1．设集合 A
．
A
M ，N ，若 AB m AM ， AC n AN ，则 m n 的值为
如图，在 △ ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交直线 AB ，
于不同的两点
N B O C
M
14． 定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）=
n a n f ( ), n N , S n 为数列 {a n } 的前 n 项的和，则 S3n =____________ 3
三、解答题（本大题共 5 题，满分 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18． （本题满分 14 分） 已知向量 a ( 2 cos x, 3 ) ， b (1, sin 2 x) ，函数 f ( x) a b ．
6．数列 {a n } 是等差数列， S10 0, S11 0 ,则使 a n 0 的最小的 n 的值是 A．5 7． 函数 y 2 cos 2 ( x B．6 C．7 D．8
（
）
4
) 1是
B． 最小正周期为 的偶函数 D． 最小正周期为
（
）
A．最小正周期为 的奇函数 C． 最小正周期为
a2 ②当 a 3时, h(t ) t a . 2
h(t ) 最小值为 h(3) a 3
a2 ,2 a 3 2 2 a 3 a , a 3 2
a2 . 2
∴ g ( x) min
21．
解:
（Ⅰ）因为 a1 1, a2 2, 所以 a3 (1 cos 2
x0 log 2 (4 x), ，则 f（3）=______ f ( x 1) f ( x 2), x 0
15． 若使不等式 x2-4x+3<0 和 x2-6x+8<0 同时成立的 x 值，使得关于 x 的不等式 2x2-9x+a<0 也成立，则 a 的取值范围是________________． 16． 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ，满足 f x 4 f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数,若方程 f（x） =m（m>0）在区间 8,8 上有四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 ,则 x1 x2 x3 x4 _________ . 17． 对于实数 x，用[x]表示不超过 x 的最大整数，则函数 f （x） = [x]称为高斯函数或取整函数，若
2
的奇函数
2
的偶函数
8．函数 y =f（x）的图象为 C，而 C 关于直线 x =1 对称的图象为 C1, 将 C1 向左平移 1 个单位后得到的图 象为 C2, 则 C2 所对应的函数为 （ ） A．y =f（–x） B．y = f（1– x） C． y = f（2– x） D． y = f（3– x） 9． 已知函数 f ( x) 在 R 上满足 f ( x) 2 f (2 x) x 8 x 8 ，则曲线 y f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线
a2 . 0 x ln 3, 1 t 3, 2
a2 t a ,1 t a, 2 ①当 2 a 3时, h(t ) 2 t a a , a t 3. 2
h(t ) 的最小值为 h(a )
a2 . 2
4 5
13． 2
14． -2
命题意图：考察解不等式，集合的交集，方程根的分布等知识。 填 a≤9。解答：x∈ 2,3 ,令 f（x）= 2x2－9x+a, 根据图像只要 f（3）≤0 即可。
16． -8
y f(x)=m (m>0) -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x
17．命题意图：函数与数列知识结合。 填
a2 x [0, ln 3], , 其中求函数 2
（1）求实数 a 的取值范围； （2）设 g ( x) | e a |
x
g ( x) 的最小值。
21． （本题满分 15 分） 数列 an 满足a1 1, a2 2, an 2 (1 cos 2 （Ⅰ）求 a3 , a4 , 并求数列 an 的通项公式； （Ⅱ）设 bn
10
（
4
）
A．0≤ x ≤ C． 4．
4
00
B． D．
≤x≤ ≤x≤
80
5 4 3 2
≤x≤
7 4
2
已知 O，N，P 在 ABC 所在平面内，且 OA OB OC , NA NB NC 0 ，且
PA PB PB PC PC PA ，则点 O，N，P 依次是 ABC 的
6
) 1
C 是三角形内角
∴ 2C
6
2
即： C
6
即： a b 7
2 2
------------8 分
∴ cos C
b2 a2 c2 3 2ab 2
----------------10 分
将 ab 2 3 可得： a 2 ∴a
12 7 解之得： a 2 3或 4 a2
2
（Ⅰ）求函数 f ( x) 的最小正周期； （Ⅱ）在 ABC 中， a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边，且 f (C ) 3 ， c 1 ， ab 2 3 ，且 a b ，求 a, b 的值．
19． （本题满分 14 分） 设全集 U=R，函数 f（x）=lg（|x+1|+a–1）
1 n 1 1 n 1 n 。 (3n 2 n)(n N * ) 。解答： S3n 3 2 2
三、解答题 18．解：（Ⅰ） f ( x) a b ( 2 cos x, 3 ) (1, sin 2 x) 2 cos x 3 sin 2 x
1 3
C．
1 9
D． –
1 9
二、填空题（本大题共 7 小题，每题 4 分，共 28 分） 11． 方程|2x –3|=kx+a 对所有实数 k 都有解，则 a 的取值范围是________________． 12． 已知 tan 2 ，则 sin 13．
2
sin cos 2 cos 2 __________
2
方程是
（
）
1
A． y 2 x 1
B． y x
C． y 3 x 2
D． y 2 x 3
10．定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x+2） =3f（x） ，当 x [0,2]时，f（x）=x2–2x，则当 x [–4,–2]时 f （x）的最小值是 （ ） A．–1 B． –
OA y 2 f (1) OB ln x 1 OC
（1）求函数 y f ( x) 的表达式； （2）若 x 0 ，证明： f ( x) （3） 若不等式
2x ； x2
1 2 x f ( x 2 ) m 2 2bm 3 对任意 x 1, 1及 b 1, 1 都恒成立，求实数 2
2 2
cos 2 x 1 3 sin 2 x 2 sin( 2 x
∴函数 f ( x) 的最小周期 T= （Ⅱ） f (C ) 2 sin( 2C
6
) 1
---------4 分 ----------6 分
6
2 2
) 1 3 sin( 2C
A． 重心 外心 垂心 C． 外心 重心 垂心 设函数 f（x）满足 f（x）=f（4
2
（
）
5．
–
B．重心 外心 内心 D．外心 重心 内心 x） ，当 x>2 时，f（x）为增函数，则 a
=f（1．10．9） 、b （ ）
=f
（0．91．1） 、c =f（log 1 4 ）的大小关系是 A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>b>a
a 2 a 1 ,
2
∴ CU A a 2, a 中的两
0 a 2 个偶数是－2 和 0，∴ 4 a 2 2 ，∴a∈ 2, 0 ． a 1
20．解：（1） f ( x) x
1 a 4. x
f ( x)在(1,) 上是增函数，
x
1 1 a 4 0在(1,) 上恒成立， 即 a 4 ( x ) 恒成立， x x 1 1 x 2(当且仅当x 1时, 成立) 4 ( x ) 2. x x 所以 a 2
x
（2）设 t e , 则h(t ) | t a |
m 的取值范围．
参考答案
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一、选择题 题 号 选 项 1 2 3 4 5 6 B 7 A 8 B 9 A 10 D
C
A
B
C
D
二、填空题 11．命题意图：考察两个函数图像的关系。 填 3, 。解答：画出两个函数的图像，当 a≥3 时，不论 k 为何值，这两个图像必有交点。 12． 15．
（a<1）的定义域为 A， 集合 B={x|cos x =1}．
2
（1）当 a=0 时，求 （CUA） B； （2）若（CUA） B 恰有 2 个元素，求 a 的取值范围。
20． （本题满分 14 分） 已知函数 f ( x)
1 2 x ln x (a 4) x在(1,) 上是增函数。 2
＝ a2 k 1 1 ，即 a2 k 1 a2 k 1 1. 所以数列 a2 k 1 是首项为 1、公差为 1 的等差数列，因此 a2 k 1 k . ②当 n 2k ( k N ) 时， a2 k 2 (1 cos 2
*
2 k 2 k )a2 k sin 2 2a2 k . 2 2
n n )an sin 2 , n 1, 2,3,. 2 2
a2 n 1 , 求S n b1 b2 bn . a2 n
22． （本题满分 15 分）
已知 A、B、C 是直线 l 上的三点，点 O 不在直线 l 上，向量 OA, OB, OC 满足
3或 2
b 2或
3
a b
∴a 2
b 3
------------14 分
4
19． 命题意图：考察不等式的解法，集合的交集、补集思想。 解答：（1）A= , a 2 a, ，∴ CU A a 2, a ．而 B＝ x | x 2k , k Z ， （CUA） B= 2, 0 （2）由（CUA） B 恰有 2 个元素，又∵
2
)a1 sin 2
2
a1 1 2,
a4 (1 cos 2 )a2 sin 2 2a2 4.
5
①当 n 2k 1( k N ) 时， a2 k 1 [1 cos 2
*
(2k 1) 2k 1 ]a2 k 1 sin 2 2 2
A．1 B．3 C．4 D．8 2． “ a 1 ”是“函数 f ( x) x a 在区间 1, 上为增函数”的 A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
（
）
（
）
3．设 0 x 2 ,且 1 sin 2 x = sin x cos x, 则
浙江省杭州高中 2010 届高三第三次月考（数学理）
注意事项： 1．本卷答题时间 120 分钟，满分 150 分。 2．本卷不得使用计算器，答案一律做在答卷页上。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的）
1,2,则满足 A B 1,2,3 的集合 B 的个数是 1．设集合 A