动能定理的准确理解与实际应用基础篇

一.必备知识精讲 1. 动能
〔1〕定义：物体由于运动而具有的能。

〔2〕公式：E k ＝12
mv 2。

(3)标矢性：动能是标量，只有正值，动能与速度方向无关。

(4)状态量：动能是状态量，因为v 是瞬时速度。

(5)相对性：由于速度具有相对性，所以动能也具有相对性。

(6)动能的变化：物体末动能与初动能之差，即ΔE k ＝12mv 22－12mv 2
1。

动能的变化是过程
量。

2. 动能定理
(1)内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。

(2)表达式
W ＝ΔE k ; W ＝E k2－E k1; W ＝1
2mv 22－12
mv 2
1。

3．物理意义：合力的功是物体动能变化的量度。

4．适用范围广泛
(1)既适用于直线运动，也适用于曲线运动。

(2)既适用于恒力做功，也适用于变力做功。

(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以不同时作用。

5. 动能定理的理解和应用
(1)做功的过程就是能量转化的过程，动能定理表达式中的“＝〞的意义是一种因果关系在数值上相等的符号。

因果关系：合力做功是引起物体动能变化的原因。

数量关系：合力做功与动能变化具有等量代换的关系。

单位关系：国际单位制中功和能的单位都是焦耳。

(2)动能定理表达中所说的“力〞，既可以是重力、弹力、摩擦力，也可以是静电力、磁场力或其他力；既可以是恒力，也可以是变力。

(3)动能定理中涉及的物理量有F 、l 、α、m 、v 、W 、E k ，在处理含有上述物理量的问题时，优先考虑使用动能定理。

6.应用动能定理的考前须知
(1)应用动能定理解题应抓好“两状态，一过程〞。

“两状态〞即明确研究对象的始、末状态的速度或动能情况，“一过程〞即明确研究过程，确定这一过程研究对象的受力情况和位置变化或位移信息。

(2)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系。

(3)应用动能定理的关键在于对研究对象进行准确的受力分析及运动过程分析，并画出运动过程的草图，借助草图理解物理过程之间的关系。

(4)当物体的运动包含多个不同过程时，可分段应用动能定理求解；当所求解的问题不涉及中间的速度时，也可以全过程应用动能定理求解，这样更简便。

(5)中选择全部子过程作为研究过程，涉及重力、大小恒定的阻力或摩擦力做功时，要注意运用它们的做功特点：①重力做的功取决于物体的初、末位置，与路径无关；②大小恒定的阻力或摩擦力做的功等于力与路程的乘积。

(6)列动能定理方程时，必须明确各力做功的正、负，确实难以判断的先假定为正功，最后根据结果加以检验。

7. 应用动能定理解决问题的流程
二.典型例题精讲
题型一：运用动能定理求变力做的功
例1：如下图，AB 为1
4圆弧轨道，BC 为水平直轨道，BC 恰好在B 点与AB 相切，圆弧的半
径为R ，BC 的长度也是R .一质量为m 的物体与两个轨道间的动摩擦因数都为μ，它由轨道顶端A 从静止开始下落，恰好运动到C 处停止，重力加速度为g ，那么物体在AB 段克服摩擦力
所做的功为( )
A.
μmgR
2
B.
mgR
2
C ．mgR
D ．(1－μ)mgR
答案 D
解析 设物体在AB 段克服摩擦力所做的功为W AB ，物体从A 到C 的全过程，根据动能定理有
mgR －W AB －μmgR ＝0，所以W AB ＝mgR －μmgR ＝(1－μ)mgR ，故D 正确.
题型二：牛顿定律与动能定理相结合解决问题
例2 (·市模拟)如图，倾角为θ＝30°的光滑斜面固定，一物块在沿斜面向上的恒定外力F 作用下，由静止开始从斜面的底端向上做匀加速直线运动，经时间t 物块至斜面B 点(图中未标出)，外力F 做的功为W ，此后撤去外力F ，再经过时间t
3后物块运动至最高点，那
么撤去外力F 时物块的动能为( )
A.16W
B.14W
C.13W
D.23
W 答案：B 思维引导：
(1)如何确定F 的大小？
提示：根据两个阶段的时间求加速度的关系，再分别应用牛顿第二定律列方程求解。

(2)如何确定撤去外力F 时物块的动能？ 提示：应用动能定理及W 求解。

解析：取沿斜面向上为正方向，那么由匀变速直线运动的规律有，匀加速过程：v 1＝
a 1t ，匀减速过程：v 1＝a 2t
3
，联立解得：a 2＝3a 1，由牛顿第二定律有：F －mg sin θ＝ma 1，
mg sin θ＝ma 2，联立解得：F ＝23
mg ；由动能定理可知，撤去外力F 前，外力F 对物块做的功
为：W＝Fs1＝2
3
mgs1，合力对物块做的功为：W－mgs1sinθ＝E k，即撤去外力F时物块的动能E k
＝2
3
mgs1－
1
2
mgs1＝
1
6
mgs1＝
1
4
W，A、C、D错误，B正确。

题型三：运用动能定理分析各力做功的数量关系
例3：(多项选择)如下图，一块长木板B放在光滑的水平面上，在B上放一物体A，现以
恒定的外力拉B，由于A、B间摩擦力的作用，A将在B上滑动，以地面为参考系，A、B都向前移动了一段距离．在此过程中( )
A．外力F做的功等于A和B动能的增量
B．B对A的摩擦力所做的功等于A的动能的增量
C．A对B的摩擦力所做的功等于B对A的摩擦力所做的功
D．外力F对B做的功等于B的动能的增量与B克服摩擦力所做的功之和
答案BD
解析A物体所受的合外力等于B对A的摩擦力，对A物体运用动能定理，那么有B对A的摩擦力所做的功等于A的动能的增量，B正确；A对B的摩擦力与B对A的摩擦力是一对作用力与反作用力，大小相等，方向相反，但是由于A在B上滑动，A、B相对地面的位移不相等，故二者做功不相等，C错误；对B应用动能定理W F－W f＝ΔE k B，那么W F＝ΔE k B＋W f，即外力F 对B做的功等于B的动能的增量与B克服摩擦力所做的功之和，D正确；根据功能关系可知，外力F做的功等于A和B动能的增量与产生的内能之和，故A错误．
三.举一反三，稳固训练
1．(多项选择)关于动能定理的表达式W＝E k2－E k1，以下说法正确的选项是( )
A．公式中的W为不包含重力的其他力做的总功
B．公式中的W为包含重力在内的所有力做的总功，也可通过以下两种方式计算：先求每个力的功再求功的代数和或先求合力再求合力的功
C．公式中的E k2－E k1为动能的变化量，当W>0时，动能增加，当W<0时，动能减少
D．动能定理适用于直线运动，但不适用于曲线运动，适用于恒力做功，但不适用于变力
做功
答案BC
解析W＝E k2－E k1中的W指合力的功，当然包括重力在内，E k2－E k1为动能的变化量，由合力的功来量度，W>0，ΔE k>0，W<0，ΔE k<0，动能定理也适用于曲线运动和变力做功。

故B、C正确。

2．(人教版必修第二册·P88·T5改编)运发动把质量是500 g的足球踢出后，某人观察它在空中的飞行情况，估计上升的最大高度是10 m，在最高点的速度为20 m/s。

估算出运发动踢球时对足球做的功为( )
A．50 J B.100 J
C.150 J
D.无法确定
答案 C
解析运发动踢球时对足球做的功W等于足球获得的初动能E k1，即W＝E k1－0；足球上升时重力做的功等于动能的变化量，设上升到最高点时动能为E k2，那么有－mgh＝E k2－E k1，联立得W＝E k1＝E k2＋mgh＝150 J，故C正确。

3.(多项选择)用力F拉着一个物体从空中的a点运动到b点的过程中，重力做功－3 J，拉力F做功8 J，空气阻力做功－0.5 J，那么以下判断正确的选项是( )
A．物体的重力势能增加了3 J
B．物体的重力势能减少了3 J
C．物体的动能增加了4.5 J
D．物体的动能增加了8 J
答案AC
4. (·全国卷Ⅱ·14)如图4，某同学用绳子拉动木箱，使它从静止开始沿粗糙水平路面运动至具有某一速度．木箱获得的动能一定( )
图4
A．小于拉力所做的功B．等于拉力所做的功
C．等于克服摩擦力所做的功D．大于克服摩擦力所做的功
答案 A
解析 由题意知，W 拉－W 克摩＝ΔE k ，那么W 拉>ΔE k ，A 项正确，B 项错误；W 克摩
与ΔE k 的大小
关系不确定，C 、D 项错误．
5.获得2022年冬奥会举办权，冰壶是冬奥会的比赛工程之一．将一个冰壶以一定初速度推出后将运动一段距离停下来．换一个材料相同、质量更大的冰壶，以相同的初速度推出后，冰壶运动的距离将( A )
A ．不变
B ．变小
C ．变大
D ．无法判断
解析：冰壶在冰面上以一定初速度被推出后，在滑动摩擦力作用下做匀减速运动，根据动能定理有－μmgs ＝0－12mv 2，得s ＝v
2
2μg ，两种冰壶的初速度相等，材料相同，故运动的距
离相等，应选项A 正确．
6.如下图，质量为m 的物块与水平转台间的动摩擦因数为μ，物块与转轴相距R ，物块随转台由静止开始转动．当转速增至某一值时，物块即将在转台上滑动，此时转台已开始匀速转动，在这一过程中，摩擦力对物块做的功是(假设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力)( D )
A ．0
B ．2μmgR
C ．2πμmgR
D ．
μmgR
2
解析：物块即将在转台上滑动但还未滑动时，转台对物块的最大静摩擦力恰好提供向心
力，设此时物块做圆周运动的线速度为v ，那么有μmg ＝mv 2
R
.在物块由静止到获得速度v 的过
程中，物块受到的重力和支持力不做功，只有摩擦力对物块做功，由动能定理得W ＝12mv 2
－
0，联立解得W ＝1
2
μmgR .应选项D 正确．
7.如下图，物块以60 J 的初动能从斜面底端沿斜面向上滑动，当它的动能减少为零时，重力势能增加了45 J ，那么物块回到斜面底端时的动能为( C )
A ．15 J
B ．20 J
C ．30 J
D ．45 J
解析：由动能定理可知W G ＋W f ＝0－E k0，解得摩擦力做功为W f ＝－15 J ，对物块整个过程由动能定理得2W f ＝E k －E k0，解得物块回到斜面底端时的动能为E k ＝30 J ，故C 正确，A 、B 、D 错误．
8.(多项选择)如下图，半圆形光滑轨道BC 与水平光滑轨道AB 平滑连接。

小物体在水平恒力F 作用下，从水平轨道上的P 点，由静止开始运动，运动到B 点撤去外力F ，小物体由C 点离开半圆轨道后落在P 点右侧区域。

PB ＝3R ，F 的大小可能为( )
A.1
2mg B.5mg 6 C.mg D.7mg 6
答案 BC
解析 小物体能通过C 点，那么有m v 2C
R
≥mg ，即v C ≥gR ；由C 点离开半圆轨道后落在P
点右侧区域，有2R ＝12gt 2，v C t <3R ，联立解得v C ＜32gR ，那么gR ≤v C ＜3
2gR ；对小物体从P
点到C 点，由动能定理得F ·3R －2mgR ＝12mv 2C －0，联立解得5mg 6≤F <25mg
24，故B 、C 正确，A 、
D 错误。

9.一个质量为m 的小球，用长为L 的轻绳悬挂于O 点，小球在水平拉力F 作用下，从平衡位置P 点很缓慢地移动到Q 点，此时轻绳与竖直方向夹角为θ，如下图，那么拉力F 所做的功为( ) A ．mgL cos θ B ．mgL (1－cos θ) C ．FL sin θ D ．FL cos θ
答案：B
解析：根据动能定理W F －mgL (1－cos θ)＝0－0，所以W F ＝mgL (1－cos θ)，选项B 正确．
10.(多项选择)如下图为一滑草场．某条滑道由上下两段高均为h ，与水平面倾角分别为45°和37°的滑道组成，载人滑草车与草地之间的动摩擦因数为μ.质量为m 的载人滑草车从坡顶由静止开始自由下滑，经过上、下两段滑道后，最后恰好静止于滑道的底端(不计载人滑草车在两段滑道交接处的能量损失，重力加速度为g ，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)．那么( ) A ．动摩擦因数μ＝67
B ．载人滑草车最大速度为
2gh
7
C ．载人滑草车克服摩擦力做功为mgh
D ．载人滑草车在下段滑道上的加速度大小为3
5g
答案 AB
解析 对载人滑草车从坡顶由静止开始滑到底端的全过程分析，由动能定理可知：mg ·2h －μmg cos 45°·h sin 45°－μmg cos 37°·h sin 37°＝0，解得μ＝67，选项A 正确； 对经过上段滑道的过
程分析，根据动能定理有mgh －μmg cos 45°·h sin 45°＝1
2
m v m 2，解得：v m ＝
2gh
7
，选项B 正确；载人滑草车克服摩擦力做功为2mgh ，选项C 错误；载人滑草车在下段滑道上的加速度为a ＝mg sin 37°－μmg cos 37°m ＝－335g ，故大小为335g ，选项D 错误．
11. 如下图，半径为r 的半圆弧轨道ABC 固定在竖直平面内，直径AC 水平，一个质量为m 的物块从圆弧轨道A 端正上方P 点由静止释放，物块刚好从A 点无碰撞地进入圆弧轨道并做匀速圆周运动，到B 点时对轨道的压力大小等
于物块重力的2倍，重力加速度为g ，不计空气阻力，不计物块的大小，那么： (1)物块到达A 点时的速度大小和PA 间的高度差分别为多少？ (2)物块从A 运动到B 所用时间和克服摩擦力做的功分别为多少？ 答案 (1)gr r 2 (2)
π
2
r
g
mgr 解析 (1)设物块在B 点时的速度为v ，由牛顿第二定律得：F N －mg ＝m v 2
r ， 因为F N ＝2mg ，所以v ＝gr ，
因为物块从A 点进入圆弧轨道并做匀速圆周运动，所以物块到达A 点时速度大小为gr ； 设PA 间的高度差为h ，从P 到A 的过程由动能定理得：mgh ＝1
2m v 2，所以h ＝r 2
.
(2)因为物块从A 点进入圆弧轨道并做匀速圆周运动，所以物块从A 运动到B 所用时间t ＝πr
2
v ＝π2
r g ；
从A 运动到B 由动能定理有：mgr －W 克f ＝0，解得：W 克f ＝mgr .。