商都县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

商都县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设集合A={x|﹣2＜x ＜4}，B={﹣2，1，2，4}，则A ∩B=（ ） A ．{1，2}
B ．{﹣1，4}
C ．{﹣1，2}
D ．{2，4}
2． 已知2->a ，若圆1O ：01582222=---++a ay x y x ，圆2O ：04422222=--+-++a a ay ax y x 恒有公共点，则a 的取值范围为（ ）.
A ．),3[]1,2(+∞--
B ．),3()1,35(+∞--
C ．),3[]1,3
5[+∞-- D ．),3()1,2(+∞-- 3． 某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P （单位：毫克/升）与时间t （单位：
小时）间的关系为0e kt
P P -=（0P
，k 均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了消除27.1% 的污染物，则需要（ ）小时. A.8
B.10
C. 15
D. 18
【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用，体现“数学是有用的”的新课标的这一重要思想.
4． 下列关系正确的是（ ）
A ．1∉{0，1}
B ．1∈{0，1}
C ．1⊆{0，1}
D ．{1}∈{0，1}
5． 已知向量=（1，2），=（x ，﹣4），若∥，则x=（ ） A ． 4 B ． ﹣4 C ． 2 D ． ﹣2 6． 若tan α＞0，则（ ）
A ．sin α＞0
B ．cos α＞0
C ．sin2α＞0
D ．cos2α＞0
7． 已知某运动物体的位移随时间变化的函数关系为，设物体第n 秒内的位移为a n ，则
数列{a n }是（ ） A ．公差为a 的等差数列 B ．公差为﹣a 的等差数列
C ．公比为a 的等比数列
D ．公比为的等比数列
8． 函数()log 1x
a f x a x =-有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A ．()1,10
B ．()1,+∞
C ．()0,1
D ．()10,+∞ 9． 圆心在直线2x ＋y ＝0上，且经过点（－1，－1）与（2，2）的圆，与x 轴交于M ，N 两点，则|MN |＝（ ） A ．4 2 B ．4 5 C ．2 2
D ．2 5
10．设曲线y=ax 2在点（1，a ）处的切线与直线2x ﹣y ﹣6=0平行，则a=（ ）
A ．1 B
． C
．
D ．﹣1
11．已知三棱锥S ABC -外接球的表面积为32π，0
90ABC ∠=，三棱锥S ABC -的三视图如图 所示，则其侧视图的面积的最大值为（ ）
A ．4 B
． C ．8 D
．
12．已知
f （x ）=4+a x ﹣1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是（ ）
A ．（1，5）
B ．（1，4）
C ．（0，4）
D ．（4，0）
二、填空题
13．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】若函数()2,0,
{,0x x x f x x lnx x a
+≤=->在其定义域上恰有两
个零点，则正实数a 的值为______． 14．将曲线1:C 2sin(),04
y x π
ωω=+>向右平移
6
π
个单位后得到曲线2C ，若1C 与2C 关于x 轴对称，则ω的最小值为_________. 15．在复平面内，记复数+i
对应的向量为
，若向量
饶坐标原点逆时针旋转60°
得到向量
所对应
的复数为 ．
16．若命题“∃x ∈R ，x 2﹣2x+m ≤0”是假命题，则m 的取值范围是 ． 17．已知1sin cos 3
αα+=
，(0,)απ∈，则sin cos 7sin 12
ααπ-的值为 ．
18．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的一个面A 1B 1C 1D 1
在半径为的半球底面上，A 、B 、C 、D 四个顶点都
在此半球面上，则正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为 ．
三、解答题
19．【无锡市2018届高三上期中基础性检测】在一块杂草地上有一条小路AB,现在小路的一边围出一个三角形（如图）区域，在三角形ABC 内种植花卉.已知AB 长为1千米，设角,C θ=AC 边长为BC 边长的()1a a >倍，三角形ABC 的面积为S （千米2）. 试用θ和a 表示S ；
（2）若恰好当60θ=时，S 取得最大值，求a 的值.
20．已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）+1（ω＞0，﹣＜φ＜）的最小正周期为π，图象过点P （0，1）
（Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；
（Ⅱ）设函数 g （x ）=f （x ）+cos2x ﹣1，将函数 g （x ）图象上所有的点向右平行移动个单位长度后，所
得的图象在区间（0，m ）内是单调函数，求实数m 的最大值．
21．已知函数y=f （x ）的图象与g （x ）=log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象关于x 轴对称，且g （x ）的图象过（4，2）点．
（Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；
（Ⅱ）若f （x ﹣1）＞f （5﹣x ），求x 的取值范围．
22．（本小题满分12分）
设函数()()2741201x x f x a a a --=->≠且.
（1）当a =
时，求不等式()0f x <的解集； （2）当[]01x ∈，时，()0f x <恒成立，求实数的取值范围．
23f x =sin ωx+φω00φ2π
（2）求函数g （x ）=f （x ）+
sin2x 的单调递增区间．
24．（本小题满分12分）
某超市销售一种蔬菜，根据以往情况，得到每天销售量的频率分布直方图如下：
（Ⅰ）求频率分布直方图中的a 的值，并估计每天销售量的中位数；
（Ⅱ）这种蔬菜每天进货当天必须销售，否则只能作为垃圾处理．每售出1千克蔬菜获利4元，未售出的蔬菜，每千克亏损2元．假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，估计当超市每天的进货量为75千克时获利的平均值．
0.005
0.02
频率组距
O
千克
商都县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：集合A={x|﹣2＜x ＜4}，B={﹣2，1，2，4}，则A ∩B={1，2}． 故选：A ．
【点评】本题考查交集的运算法则的应用，是基础题．
2． 【答案】C
【解析】由已知，圆1O 的标准方程为222
(1)()(4)x y a a ++-=+，圆2O 的标准方程为 222
()()(2)x a y a a ++-=+，∵
2->a ，要使两圆恒有公共点，则122||26O O a ≤≤+，即 62|1|2+≤-≤a a ，解得3≥a 或1
35
-≤≤-a ，故答案选C
3． 【答案】15 【
解析】
4． 【答案】B
【解析】解：由于1∈{0，1}，{1}⊆{0，1}，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中正确理解集合元素与集合关系的实质，即元素满足集合中元素的性质，是解答本题的关键．
5． 【答案】D
【解析】： 解：∵∥， ∴﹣4﹣2x=0，解得x=﹣2． 故选：D ．
6． 【答案】C
【解析】解：∵tan α＞0，
∴，
则sin2α=2sin αcos α＞0． 故选：C ．
7． 【答案】A
【解析】解：
∵
，
∴a n =S （n ）﹣s （n ﹣1）
=
=
∴a n ﹣a n ﹣1
=
=a
∴数列{a n }是以a 为公差的等差数列 故选A
【点评】本题主要考察了数列的递推公式求解数列的通项公式，等差数列的定义的应用，属于数列知识的简单应用
8． 【答案】B 【解析】
试题分析：函数()f x 有两个零点等价于1x
y a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
与log a y x =的图象有两个交点，当01a <<时同一坐标
系中做出两函数图象如图（2），由图知有一个交点，符合题意；当1a >时同一坐标系中做出两函数图象如图
（1），由图知有两个交点，不符合题意,故选B.
x
（1） （2）
考点：1、指数函数与对数函数的图象；2、函数的零点与函数交点之间的关系.
【方法点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的图象、函数的零点与函数交点之间的关系.属于难题.判断方程()y f x =零点个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化
法：函数()y f x =零点个数就是方程()0f x =根的个数，结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周
期性、对称性） 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题.本题的解答就利用了方法③. 9． 【答案】
【解析】选D.设圆的方程为（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2（r ＞0）． 由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧2a ＋b ＝0（－1－a ）2
＋（－1－b ）2
＝r 2
（2－a ）2
＋（2－b ）2
＝r
2
，
解之得a ＝－1，b ＝2，r ＝3，
∴圆的方程为（x ＋1）2＋（y －2）2＝9， 令y ＝0得，x ＝－1±5，
∴|MN |＝|（－1＋5）－（－1－5）|＝25，选D. 10．【答案】A
【解析】解：y'=2ax ， 于是切线的斜率k=y'|x=1=2a ，∵切线与直线2x ﹣y ﹣6=0平行
∴有2a=2 ∴a=1 故选：A
【点评】本题考查导数的几何意义：曲线在切点处的导数值是切线的斜率．
11．【答案】A 【解析】
考
点:三视图．
【方法点睛】本题主要考查几何体的三视图,空间想象能力.空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面,
左面,上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图.因此在分析空间几何体的三视图时,先根据俯视图确定几何体的底面,然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱,面的位置,再确定几何体的形状,即可得到结果. 要能够牢记常见几何体的三视图. 12．【答案】A
【解析】解：令x ﹣1=0，解得x=1，代入f （x ）=4+a x ﹣1
得，f （1）=5，
则函数f （x ）过定点（1，5）． 故选A ．
二、填空题
13．【答案】e
【解析】考查函数()()20{
x x x f x ax lnx
+≤=-，其余条件均不变，则：
当x ⩽0时,f （x ）=x +2x ，单调递增， f （−1）=−1+2−1<0,f （0）=1>0，
由零点存在定理,可得f （x ）在（−1,0）有且只有一个零点； 则由题意可得x >0时,f （x ）=ax −lnx 有且只有一个零点，
即有ln x
a x =
有且只有一个实根。

令()()2
ln 1ln ,'x x g x g x x x -==， 当x >e 时,g ′（x ）<0,g （x ）递减; 当0<x <e 时,g ′（x ）>0,g （x ）递增。

即有x =e 处取得极大值,也为最大值,且为
1
e
， 如图g （x ）的图象,当直线y =a （a >0）与g （x ）的图象 只有一个交点时,则1a e
=
. 回归原问题，则原问题中a e =.
点睛： （1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f （f （a ））的形式时，应从内到外依次求值．
（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的
值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围． 14．【答案】6
【解析】解析：曲线2C 的解析式为2sin[()]2sin()6446
y x x ππππ
ωωω=-
+=+-，由1C 与2C 关于x 轴对称知sin()sin()464x x πππωωω+-=-+，即1c o s ()s i n ()s i n ()c o s ()06464x x ππππωωωω⎡
⎤++-+=⎢⎥⎣
⎦对一切
x R ∈恒成立，∴1cos()06
sin()0
6πωπω⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴(21)6k πωπ=+，∴6(21),k k Z ω=+∈，由0ω>得ω的最小值为6.
15．【答案】 2i ．
【解析】
解：向量饶坐标原点逆时针旋转60°得到向量所对应的复数为
（
+i ）（cos60°+isin60°）=
（
+i
）（
）=2i
，故答案为 2i ．
【点评】本题考查两个复数代数形式的乘法及其集合意义，判断旋转60°
得到向量对应的复数为（+i ）
（cos60°+isin60°），是解题的关键．
16．【答案】 m ＞1 ．
【解析】解：若命题“∃x ∈R ，x 2
﹣2x+m ≤0”是假命题，
则命题“∀x ∈R ，x 2
﹣2x+m ＞0”是真命题，
即判别式△=4﹣4m ＜0， 解得m ＞1， 故答案为：m ＞1
17．
【解析】
7sin
sin sin cos cos sin 124343
43πππππππ⎛⎫
=+
=+ ⎪⎝
⎭
=
,
sin cos 7
33
sin 12
ααπ-∴==
,
故答案为
3
.
考点：1、同角三角函数之间的关系；2、两角和的正弦公式.
18．
【答案】 2 ．
【解析】解：如图所示， 连接A 1C 1
，B 1D 1
，相交于点O ． 则点
O 为球心，OA=
．
设正方体的边长为x ，则A 1O=
x ．
在
Rt △
OAA 1中，由勾股定理可得：
+x 2
=
，
解得x=
．
∴正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积V==2．
故答案为：2
．
三、解答题
19．
【答案】（1）2
1sin 212cos a S a a θθ
=
⋅+- （2）2a =
【解析】试题
解析：
（1）设边BC x =，则AC ax =， 在三角形ABC 中，由余弦定理得：
22212cos x ax ax θ=+-，
所以2
2112cos x a a θ=+-，
所以211sin 2212cos a S ax x sin a a θ
θθ
=⋅⋅=⋅+-，
（2）因为()
()
2
2
2cos 12cos 2sin sin 1212cos a a a a a S a a θθθθ
θ
+--⋅=+-'⋅， ()
()
22
2
2cos 121212cos a a a
a a θθ
+-=⋅+-， 令0S '=，得02
2cos ,1a
a
θ=
+ 且当0θθ<时，022cos 1a
a θ>+，0S '>，
当0θθ>时，02
2cos 1a
a
θ<+，0S '<， 所以当0θθ=时，面积S 最大，此时0060θ=，所以221
12
a a =+，
解得2a = 因为1a >
，则2a =点睛：解三角形的实际应用，首先转化为几何思想，将图形对应到三角形，找到已知条件，本题中对应知道一个角，一条边，及其余两边的比例关系，利用余弦定理得到函数方程；面积最值的处理过程中，若函数比较复杂，则借助导数去求解最值。

20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵函数f （x ）=sin （ωx+φ）+1（ω＞0
，﹣＜φ
＜
）的最小正周期为π，
∴ω
=
=2，
又由函数f （x ）的图象过点P （0，1）， ∴sin φ=0， ∴φ=0，
∴函数f （x ）=sin2x+1；
（Ⅱ）∵函数 g （x ）=f （x ）+cos2x ﹣1=sin2x+cos2x=sin （2x+
），
将函数 g （x ）图象上所有的点向右平行移动个单位长度后，
所得函数的解析式是：h （x ）=sin[2（x ﹣
）+
]=
sin （2x ﹣
），
∵x ∈（0，m ），
∴2x ﹣
∈（﹣
，2m ﹣
），
又由h （x ）在区间（0，m ）内是单调函数，
∴2m ﹣
≤
，即m ≤
，
即实数m 的最大值为．
【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，函数图象的平移变换，熟练掌握正弦型函数的图象和
性质，是解答的关键．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵g （x ）=log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象过点（4，2），
∴log a 4=2，a=2，则g （x ）=log 2x ．…
∵函数y=f （x ）的图象与g （X ）的图象关于x 轴对称，
∴
．…
（Ⅱ）∵f （x ﹣1）＞f （5﹣x ），
∴
，
即，解得1＜x ＜3，
所以x 的取值范围为（1，3）…
【点评】本题考查对数函数的性质的应用，注意真数大于零，属于基础题．
22．【答案】（1）158⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭，；（2）()11128a ⎫∈⎪⎪⎝⎭
，，．
【解析】
试题分析：（1）由于12
2a -==⇒()14127222x x ---<⇒()127412x x -<--⇒158
x <⇒原不等式的解集为158⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
，；（2）由()()27
41442
27lg241lg lg lg 0128x x a a x x a x a --<⇒-<-⇒+<．设()44lg lg 128a g x x a =+，
原命题转化为()()10
12800g a g <⎧⎪<<⎨<⎪⎩
⇒又0a >且1a ≠⇒()11128a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，，
．
考
点：1、函数与不等式；2、对数与指数运算.
【方法点晴】本题考查函数与不等式、对数与指数运算，涉及函数与不等式思想、数形结合思想和转化化高新，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力与能力，综合性较强，属于较难题型. 第一小题利用函数与
不等式思想和转化化归思想将原不等式转化为()127412x x -<--，解得15
8
x <；第二小题利用数学结合思想
和转化思想，将原命题转化为()()10
12800g a g <⎧⎪<⎨<⎪⎩ ，进而求得：()11128a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，，． 23．【答案】
【解析】（本题满分12分）
解：（1）由表格给出的信息知，函数f （x ）的周期为T=2（﹣0）=π．
所以ω=
=2，由sin （2×0+φ）=1，且0＜φ＜2π，所以φ=
．
所以函数的解析式为f （x ）=sin （2x+）=cos2x …6分
（2）g （x ）=f （x ）+sin2x=
sin2x+cos2x=2sin （2x+
），
令2k
≤2x+
≤2k
，k ∈Z 则得k π﹣
≤x ≤k π+
，k ∈Z
故函数g （x ）=f （x ）+sin2x 的单调递增区间是：，k ∈Z …12分
【点评】本题主要考查了由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的单调性，周期公式的应用，属于基本知识的考查．
24．【答案】（本小题满分12分）
解：本题考查频率分布直方图，以及根据频率分布直方图估计中位数与平均数． （Ⅰ）由(0.0050.0150.020.025)101a ++++⨯=得0.035a = （3分）
每天销售量的中位数为0.15
701074.30.35
+
⨯=千克 （6分） （Ⅱ）若当天的销售量为[50,60)，则超市获利554202180⨯-⨯=元；
若当天的销售量为[60,70)，则超市获利654102240⨯-⨯=元； 若当天的销售量为[70,100)，则超市获利754300⨯=元， （10分） ∴获利的平均值为0.151800.22400.65300270⨯+⨯+⨯=元. （12分）。