2021学年高中数学第一讲坐标系三第二课时直线的极坐标方程学案新人教A版选修4_4

第2课时 直线的极坐标方程
学习目标 1.掌握直线的极坐标方程.2.能熟练进展曲线的极坐标方程和直角坐标方程间的互化.3.能用极坐标方程解决相关问题．
知识点 直线的极坐标方程
思考1 直线l 的极坐标方程f (ρ，θ)＝0应该有什么要求？
答案 ①直线l 上任意一点M 至少有一个极坐标适合方程f (ρ，θ)＝0； ②以f (ρ，θ)＝0的解为坐标的点都在直线l 上．
思考2 过极点O 且倾斜角θ＝π
6的直线的极坐标方程是什么？
答案 θ＝π
6(ρ∈R )．
梳理 直线的极坐标方程(ρ∈R )
直线位置
极坐标方程
图形
过极点，倾斜角为α
(1)θ＝α(ρ∈R )或θ＝π＋
α(ρ∈R )
(2)θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋
α(ρ≥0)
过点(a,0)，且与极轴垂直
ρcos θ＝a ⎝
⎛⎭
⎪⎫－π
2
<θ<π2
过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ，π2，且与极轴平行
ρsin θ＝a (0<θ<π)
类型一 求直线的极坐标方程
例1 在极坐标系中，求过点(3，π)且与极轴的倾斜角为π
4
的直线的极坐标方程．
解 令A (3，π)，设直线上任意一点P (ρ，θ)，
在△OAP 中，∠APO ＝θ－π
4，
由正弦定理3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ρ
sin π4，
得ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝322. 又因为点A (3，π)适合上式，
故所求直线的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝322.
引申探究
在本例条件下，假设倾斜角改为π
2，求直线的极坐标方程．
解 设P (ρ，θ)为直线上的任意一点，
在△AOP 中，
ρcos(π－θ)＝3⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2
<θ<
3π2， ∴ρcos θ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<θ<3π2. 又点A (3，π)适合ρcos θ＝－3， ∴直线的方程为ρcos θ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫π
2<θ<3π2.
反思与感悟 (1)求直线的极坐标方程的一般方法
设出直线上的任意一点(ρ，θ)，利用三角形中的定理，如正弦定理、余弦定理等列出ρ，
θ的关系式，即为直线的极坐标方程．
(2)求直线的极坐标方程的考前须知
①当ρ≥0时，直线上的点的极角不是常量，所以直线的极坐标方程需要转化为两条射线的极坐标方程，所以直线的极坐标方程不如直线的直角坐标方程惟一且简便；
②当规定了“负极径〞的意义，即ρ∈R 时，直线的极坐标方程就是惟一的了．
跟踪训练1 在极坐标系中，直线l 经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π2，且该直线与极轴所成的角为π4，求直
线l 的极坐标方程．
解 方法一 设P (ρ，θ)是直线上除M 点外任意一点，那么在△OPM 中，|OP |＝ρ，∠POM ＝π2－θ或θ－π
2
， ∠OPM ＝θ－π4或5π4－θ，∠OMP ＝π4或3π4
.
由正弦定理，有|OP |sin∠OMP ＝|OM |sin∠OPM ，即ρ22
＝3
sin∠OPM
.
∵sin ⎝
⎛⎭⎪⎫5π4－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π4， ∴ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝322，又M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π2满足该式， ∴直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π4＝322.
方法二 以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，
那么点M 的直角坐标为(0,3)．过点M 且倾斜角为π
4
的直线l 的直角坐标方程为y ＝x ＋3.
由直角坐标与极坐标的互化公式⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝ρcos θ，
y ＝ρsin θ，
得直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝ρcos θ＋3， 即ρ(sin θ－cos θ)＝3⎝ ⎛
⎭⎪⎫或写成ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝322. 类型二 直线的直角坐标方程与极坐标方程的互化 例2 把以下方程极、直互化．
(1)θ＝π3；(2)y ＝2x ；(3)ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.
解 (1)∵θ＝π
3
，∴tan θ＝3，
即tan θ＝y x
＝3(x ≠0)，∴y ＝3x (x ≠0)．
又点(0,0)适合方程y ＝3x ， ∴θ＝π
3的直角坐标方程为y ＝3x .
(2)∵y ＝2x ，∴ρsin θ＝2ρcos θ， ∴tan θ＝2，极点(0,0)也适合tan θ＝2， ∴y ＝2x 的极坐标方程为tan θ＝2.
(3)∵ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，∴ρsin θ＋ρcos θ＝1， ∴x ＋y －1＝0.
反思与感悟 把极坐标方程化为直角坐标方程时，通常要进展配凑． (1)通常要用ρ去乘方程的两边，使之出现ρ2
，ρcos θ，ρsin θ的形式． (2)常取tan θ，方程用公式tan θ＝y
x
(x ≠0)． 关键要注意变形的等价性．
跟踪训练2 把以下方程进展极、直互化． (1)2x ＋y ＋1＝0；(2)y ＝－3x ；(3)θ＝α.
解 (1)由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝ρcos θ，
y ＝ρsin θ，得2x ＋y ＋1＝0的极坐标方程为ρ(2cos θ＋sin θ)＋1＝0.
(2)由⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，
得ρsin θ＝－3ρcos θ，
∴tan θ＝－3，∴θ＝2π
3
.
(3)当α＝π
2时，θ＝α的直角坐标方程为x ＝0，
当α≠π2时，由θ＝α，得tan θ＝tan α，∴y
x ＝tan α，
即y ＝tan α·x ，原点(0,0)也适合y ＝tan α·x ， ∴θ＝α的直角坐标方程为y ＝tan α·x . 类型三 直线的极坐标方程的应用
例3 在极坐标系中，直线l 的方程是ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1，求点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6到直线l 的距离．
解 点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6的直角坐标为(3，－1)．
直线l ：ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1可化为
ρsin θ·cos π6－ρcos θ·sin π6
＝1，
即直线l 的直角坐标方程为x －3y ＋2＝0. ∴点P (3，－1)到直线x －3y ＋2＝0的距离为
d ＝
|3＋3＋2|1＋(－3)
2
＝3＋1.
故点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6到直线ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离为3＋1. 反思与感悟 对于研究极坐标方程下的距离及位置关系等问题，通常是将它们化为直角坐标方程，在直角坐标系下研究．
跟踪训练3 在极坐标系中，曲线C ：ρ＝2a cos θ(a >0)，l ：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝32，C 与l 有
且仅有一个公共点． (1)求a 的值；
(2)O 为极点，A ，B 为曲线C 上的两点，且∠AOB ＝π
3，求|OA |＋|OB |的最大值．
解 (1)由曲线C ：ρ＝2a cos θ(a >0)，
得ρ2
＝2aρcos θ，化为直角坐标方程为(x －a )2
＋y 2
＝a 2
， 直线l ：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝32， 即ρcos θcos π3＋ρsin θsin π3＝3
2，
得12x ＋32y －3
2＝0，即x ＋3y －3＝0， 由于直线与圆有且只有一个公共点，
所以d ＝|a －3|2＝a ，解得a ＝1，a ＝－3(舍去)．
(2)不妨设A 的极角为θ，B 的极角为θ＋π
3
，
那么|OA |＋|OB |＝2cos θ＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝3cos θ－3sin θ ＝23cos ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π6.
当θ＝－π
6时，|OA |＋|OB |取得最大值2 3.
1．过点⎝
⎛⎭⎪⎫2，π4且平行于极轴的直线的极坐标方程是( )
A ．ρcos θ＝4
B ．ρsin θ＝4
C ．ρsin θ＝ 2
D ．ρcos θ＝ 2
答案 C
解析 由题意可得，所求直线的直角坐标方程为
y ＝2sin π4
＝2，①
再根据y ＝ρsin θ，将①化为极坐标方程可得ρsin θ＝ 2.
2．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2 B ．θ＝π
2(ρ∈R )和ρcos θ＝2
C ．θ＝π
2(ρ∈R )和ρcos θ＝1
D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1 答案 B
3．7cos θ＋2sin θ＝0表示( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线
答案 A
解析 两边同乘以ρ，得7ρcos θ＋2ρsin θ＝0. 即7x ＋2y ＝0，表示直线． 4．极坐标方程cos θ＝2
2
(ρ≥0)表示的曲线是( ) A ．余弦曲线 B ．两条相交直线 C ．一条射线 D ．两条射线 答案 D 解析 ∵cos θ＝
22，∴θ＝±π
4
＋2k π(k ∈Z )．
又∵ρ≥0，∴cos θ＝
2
2
表示两条射线． 5．直线的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，那么点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4到这条直线的距离是． 答案
2
2
解析 点A ⎝
⎛⎭⎪⎫2，7π4的直角坐标为(2，－2)．
直线ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22， 即ρsin θ·cos π4＋ρcos θ·sin π4＝22的直角坐标方程为22x ＋22y ＝2
2，即x ＋y ＝1.
∴点A (2，－2)到直线x ＋y －1＝0的距离为
d ＝
|2－2－1|
1＋1
＝
2
2
.
一、选择题
1．过点A (5,0)和直线θ＝
π
4
垂直的直线的极坐标方程是( ) A ．ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝
522
B ．ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝522
C ．ρsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋θ＝5 D ．ρsin ⎝
⎛⎭
⎪⎫π4－θ＝522
答案 A
2．直线θ＝α和直线ρsin(θ－α)＝1的位置关系是( ) A ．垂直 B ．平行 C ．相交但不垂直 D ．重合
答案 B
解析 直线θ＝α与直线ρsin(θ－α)＝1的斜率一样，且无公共点，应选B. 3．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3关于( ) A ．直线θ＝π
3
对称
B ．直线θ＝5π
6对称
C ．点⎝
⎛⎭⎪⎫2，π3对称
D ．极点对称 答案 B
4．在极坐标系中，过点⎝
⎛⎭⎪⎫2，π3且平行于极轴的直线的直角坐标方程是( )
A ．x ＝2
B ．y ＝π
3C ．x ＝1D ．y ＝ 3
答案 D
5．在极坐标系中，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3到曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上的点的距离的最小值为( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8 答案 A
解析 点M ⎝
⎛⎭
⎪⎫4，π3
的直角坐标为(2,23),
曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2的直角坐标方程为x ＋3y －4＝0，根据点到直线的距离公式得d ＝|2＋6－4|
4
＝2. 6．在极坐标系中有如下三个结论：
①假设点P 在曲线C 上，那么点P 的极坐标满足曲线C 的极坐标方程； ②tan θ＝1与θ＝π
4表示同一条曲线；
③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线． 在这三个结论中，正确的选项是( ) A ．①③B．①C．②③D．③ 答案 D
解析 假设点P 在曲线C 上，那么点P 的极坐标中至少有一个满足C 的极坐标方程，故①错；tan θ＝1能表示θ＝π4和θ＝5
4π两条射线，故②错；ρ＝3和ρ＝－3都表示以极点为圆
心，3为半径的圆，故③正确． 二、填空题
7．在极坐标系中，过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－π2引圆ρ＝4sin θ的一条切线，那么切线长为．
答案 4 2
解析 圆的普通方程为x 2
＋(y －2)2
＝4，点A 的直角坐标为(0，－4)，点A 与圆心的距离为|－4－2|＝6，所以切线长为62
－22
＝4 2.
8．过点P ⎝
⎛⎭⎪⎫2，π3且垂直于极轴的直线的极坐标方程是．
答案 ρcos θ＝1
解析 点P ⎝
⎛⎭⎪⎫2，π3的直角坐标为(1，3)，所以经过该点垂直于极轴的直线的直角坐标方程
为x ＝1，化为极坐标方程为ρcos θ＝1.
9．在极坐标系中，直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长为．
答案 4 3
解析 因为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，所以ρsin θ＋ρcos θ＝22，
化成直角坐标方程为x ＋y －22＝0，
圆ρ＝4化成直角坐标方程为x 2
＋y 2
＝16，半径R ＝4， 圆心到直线的距离为d ＝|22|
2
＝2，
所以截得的弦长为2×R 2
－d 2
＝2×16－4＝4 3.
10．在极坐标系中，圆ρ＝2上的点到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离的最小值是． 答案 1
解析 ρ＝2的直角坐标方程为x 2
＋y 2
＝4，ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的直角坐标方程为x ＋3y －6＝0，圆心到直线的距离为d ＝3，所以圆上的点到直线的距离的最小值为3－2＝1. 三、解答题
11．在极坐标系中，圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2
2
.(ρ≥0,0≤θ<2π) (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标． 解 (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ， 即ρ2
＝ρcos θ＋ρsin θ，
那么圆O 的直角坐标方程为x 2
＋y 2
－x －y ＝0，
直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 那么直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0. (2)由(1)知，圆O 与直线l 的直角坐标方程，
将两方程联立得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋y 2
－x －y ＝0，
x －y ＋1＝0，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，
y ＝1.
即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)，
将(0,1)转化为极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫1，π2，即为所求．
12．在极坐标系中，圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交
点，求圆C 的极坐标方程． 解 在ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中，
令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)， 因为圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，
所以圆C 的半径PC ＝
(2)2＋12
－2×1×2cos π4
＝1，
于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
13．在极坐标系中，极点O 到直线l 的距离为3，过点O 作直线l 的垂线，垂足为A ，由极轴到OA 的角的大小为π
3，求直线l 的极坐标方程．
解 在直线l 上任取一点M (ρ，θ)，如下图．
在Rt△OAM 中，|OM |＝ρ，
∠AOM ＝∠AOx －∠MOx ＝π3－θ或θ－π
3，
那么|OA |＝|OM |·cos∠AOM ，即ρcos ⎝
⎛⎭⎪⎫π3－θ＝3，
所以所求直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－θ＝3.
四、探究与拓展
14．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ在点M (2,0)处的切线的极坐标方程为． 答案 ρcos θ＝2 解析 如图，
∵ρ＝2cos θ，∴ρ2
＝2ρcos θ，
.
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∴x 2＋y 2
＝2x .
由图象可知圆在点M (2,0)处的切线为x ＝2，即ρcos θ＝2.
15．双曲线的极坐标方程为ρ＝31－2cos θ
，过极点作直线与它交于A ，B 两点，且|ABAB 的极坐标方程．
解 设直线AB 的极坐标方程为θ＝θ1. A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ1＋π)，
ρ1＝
31－2cos θ1， ρ2＝31－2cos (θ1＋π)＝31＋2cos θ1
. |AB |＝|ρ1＋ρ2|＝⎪⎪
⎪⎪⎪⎪31－2cos θ1＋31＋2cos θ1 ＝⎪⎪
⎪⎪⎪⎪61－4cos 2θ1， ∴11－4cos 2θ1
＝±1， ∴cos θ1＝0或cos θ1＝±
22. 故直线AB 的极坐标方程为θ＝π2，θ＝π4或θ＝3π4
.。