江西省吉安一中2016-2017学年高二上学期第一次段考数学试卷(理科) 含解析

2016-2017学年江西省吉安一中高二（上）第一次段考数学试卷
（理科）
一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．圆x2+y2﹣4x=0的圆心坐标和半径分别为（)
A．（0，2），2 B．（2,0），4 C．（﹣2，0），2 D．（2，0），2
2．过点A （1，﹣1）、B （﹣1,1）且圆心在直线x+y﹣2=0上的圆的方程是() A．（x﹣3）2+(y+1)2=4 B．（x+3）2+（y﹣1）2=4 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=4 D．（x+1)2+（y+1）2=4
3．下列四个命题
①垂直于同一条直线的两条直线相互平行;
②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；
③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；
④垂直于同一个平面的两个平面相互平行；
其中错误的命题有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主）视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（)
A． B． C．D．8
5．如图，空间四边形OABC中，=,=，=，点M在OA上，且=，点N为BC中点，则等于（）
A． B．C．
D．
6．已知直线l1的方向向量=（2，4，x），直线l2的方向向量=(2，y，2），若｜｜=6，且⊥，则x+y的值是(）
A．﹣3或1 B．3或﹣1 C．﹣3 D．1
7．圆x2+2x+y2+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（)
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心,G是OG1上一点，且OG=3GG1,若=x+y+z，则（x，y，z）为（）
A．（，,) B．（，，）C．（，，）D．(，，)
9．一个三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且长度分别为1、、3，则这个三棱锥的外接球的表面积为（）
A．16πB．32πC．36πD．64π
10．已知圆C：（x﹣2)2+(y+1）2=3,从点P(﹣1,﹣3）发出的光线,经x轴反射后恰好经过圆心C，则入射光线的斜率为（）
A．﹣B．﹣C．D．
11．已知圆的方程为x2+y2﹣8x+15=0,若直线y=kx+2上至少存在一点,使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（）
A．B． C． D．
12．如图，用一边长为的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4π的鸡蛋(视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（)
A．B．C．D．
二、填空题（每题5分,满分20分，将答案填在答题纸上)
13．过点（2,1）且与直线x+3y+4=0垂直的直线方程为．
14．已知△ABC为等腰直角三角形，斜边BC上的中线AD=2，将△ABC沿AD折成60°
的二面角，连结BC,则三棱锥C﹣ABD的体积为．
15．如果对任何实数k,直线(3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k=0都过一个定点A，那么点A的坐标是．
16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1,点M∈AB1，N∈BC1，且AM=BN≠，有以下四个结论:
①AA1⊥MN,②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1是异面直线．其中正确结论的序号是(注：把你认为正确命题的序号都填上）
三、解答题(本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知直角△ABC的顶点坐标A（﹣3，0），直角顶点B（﹣1，﹣2），顶点C在x轴上．
(1）求点C的坐标；
(2）求斜边的方程．
18．如图四边形ABCD为梯形,AD∥BC，∠ABC=90°,求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．
19．如图1是图2的三视图，三棱锥B﹣ACD中，E，F分别是棱AB，AC的中点．
（1）求证：BC∥平面DEF;
（2）求三棱锥A﹣DEF的体积．
20．已知圆C：x2+（y﹣2）2=5，直线l：mx﹣y+1=0．
(1）求证：对m∈R,直线l与圆C总有两个不同交点;
（2)若圆C与直线l相交于A，B两点，求弦AB的长度．
21．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．
（1)求圆的圆心C的坐标和半径长；
(2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合,l与圆C相交于A（x1，y1)，B(x2,y2）两点，求证： +为定值．
22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AD=4，BD=4，AB=2CD=8．
（Ⅰ)设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
（Ⅱ）当M点位于线段PC什么位置时,PA∥平面MBD？
(Ⅲ)求四棱锥P﹣ABCD的体积．
2016—2017学年江西省吉安一中高二（上）第一次段考
数学试卷（理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．圆x2+y2﹣4x=0的圆心坐标和半径分别为（)
A．（0，2)，2 B．（2，0),4 C．（﹣2，0）,2 D．（2,0），2
【考点】圆的标准方程．
【分析】把圆的方程利用配方法化为标准方程后，即可得到圆心与半径．
【解答】解：把圆x2+y2﹣4x=0的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+y2=4,
所以圆心坐标为（2,0）,半径为=2
故选D
2．过点A （1,﹣1）、B （﹣1，1)且圆心在直线x+y﹣2=0上的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2=4 B．(x+3)2+(y﹣1）2=4 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=4 D．（x+1）2+（y+1）2=4
【考点】圆的标准方程．
【分析】先求AB的中垂线方程，它和直线x+y﹣2=0的交点是圆心坐标,再求半径，可得方程．
【解答】解：圆心一定在AB的中垂线上，AB的中垂线方程是y=x，排除A，B选项；圆心在直线x+y﹣2=0上验证D选项,不成立．
故选C．
3．下列四个命题
①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；
②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；
③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；
④垂直于同一个平面的两个平面相互平行；
其中错误的命题有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】直线与平面垂直的性质；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】对选项①④可利用正方体为载体进行分析，举出反例即可判定结果，对选项②③根据线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理进行判定即可．
【解答】解：①垂直于同一条直线的两条直线相互平行，不正确，如正方体的一个顶角的三个边就不成立
②垂直于同一个平面的两条直线相互平行,根据线面垂直的性质定理可知正确；
③垂直于同一条直线的两个平面相互平行，根据面面平行的判定定理可知正确；
④垂直于同一个平面的两个平面相互平行，不正确,如正方体相邻的三个面就不成立；
故选B
4．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示,则该四棱锥的侧面积是（）
A． B． C．D．8
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【分析】由题意可知原四棱锥为正四棱锥，由四棱锥的主视图得到四棱锥的底面边长和高，则其侧面积和体积可求．
【解答】解：因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥,
其主视图为原图形中的三角形PEF，如图,
由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面边长AB=2,
高PO=2,
则四棱锥的斜高PE==．
所以该四棱锥侧面积S=4××2×=4，
故选：B．
5．如图，空间四边形OABC中,=，=，=,点M在OA上，且=，点N为BC中点，则等于()
A． B．C．
D．
【考点】向量在几何中的应用．
【分析】
===
．
【解答】解：
===；
又，，，
∴．
故选B．
6．已知直线l1的方向向量=（2，4，x)，直线l2的方向向量=（2，y,2)，若|｜=6，且⊥,则x+y的值是(）
A．﹣3或1 B．3或﹣1 C．﹣3 D．1
【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直．
【分析】由已知利用向量的模和向量垂直的性质得,求出x,y，由此能求出x+y的值．
【解答】解：由已知得，
解得x=﹣4，y=1或x=4,y=﹣3，
∴x+y=﹣3或x+y=1．
故选：A．
7．圆x2+2x+y2+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】先求圆心和半径,再看圆心到直线的距离，和比较,可得结果．
【解答】解：圆x2+2x+y2+4y﹣3=0的圆心（﹣1，﹣2），半径是2，圆心到直线x+y+1=0
的距离是，
故圆上的点到直线x+y+1=0的距离为的共有3个．
故答案为：3．
8．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GG1，若=x+y+z，则（x，y，z）为（）
A．（，,) B．（，，）C．（,，）D．（，，)
【考点】空间向量的加减法．
【分析】由题意推出,使得它用，，，来表示，从而求出x,y，z的值，得到正确选项．
【解答】解：∵==(+)
=+• [（+)]= +［（﹣）+（﹣）]
=++，
而=x+y+z，∴x=，y=，z=．
故选A．
9．一个三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直,且长度分别为1、、3，则这个三棱锥的外接球的表面积为（）
A．16πB．32πC．36πD．64π
【考点】球的体积和表面积．
【分析】三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径,然后求球的表面积．
【解答】解：三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它
扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长：
所以球的直径是4,半径为2，球的表面积:16π
故选A．
10．已知圆C：（x﹣2）2+(y+1）2=3，从点P（﹣1,﹣3)发出的光线，经x轴反射后恰好经过圆心C，则入射光线的斜率为（）
A．﹣B．﹣C．D．
【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．
【分析】根据反射定理可得圆心C（2，﹣1）关于x轴的对称点D（2，1）在入射光线上，再由点P（﹣1，﹣3）也在入射光线上,利用斜率公式求得入射光线的斜率．
【解答】解：根据反射定律,圆心C(2，﹣1）关于x轴的对称点D（2，1)在入射光线上，
再由点P（﹣1,﹣3)也在入射光线上，可得入射光线的斜率为=,
故选：C．
11．已知圆的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点,则k的最小值是(）
A．B． C． D．
【考点】直线与圆相交的性质．
【分析】圆C的圆心为C(4,0），半径r=1，从而得到点C到直线y=kx+2的距离小于或等于2,由此能求出k的最小值．
【解答】解:∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，
∴整理得：(x﹣4）2+y2=1，∴圆心为C(4，0）,半径r=1．
又∵直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，
∴点C到直线y=kx+2的距离小于或等于2，
∴≤2，
化简得：3k2+4k≤0,解之得﹣≤k≤0，∴k的最小值是﹣．
故选：A．
12．如图,用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变,则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为(）
A．B．C．D．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】蛋槽的边长是原来硬纸板的对角线长度的一半，为1cm,蛋槽立起来的小三角形部分高度是，鸡蛋的半径根据已知的表面积4π=4πr2得到r=1cm,直径D=2cm，大于折好的
蛋巢边长1cm，由此能求出鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离．
【解答】解：蛋槽的边长是原来硬纸板的对角线长度的一半,为1cm,
蛋槽立起来的小三角形部分高度是，
鸡蛋的半径根据已知的表面积4π=4πr2得到r=1cm,直径D=2cm,大于折好的蛋巢边长1cm，四个三角形的顶点所在的平面在鸡蛋表面所截取的小圆直径就是蛋槽的边长1cm，
根据图示，AB段由三角形AB求出得:AB=,
AE=AB+BE=，
∴鸡蛋中心（球心)与蛋巢底面的距离为．
故选：D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．过点（2，1）且与直线x+3y+4=0垂直的直线方程为3x﹣y﹣5=0．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】由题意和垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式可得．
【解答】解：∵直线x+3y+4=0的斜率为﹣，
∴与直线x+3y+4=0垂直的直线斜率为3，
故点斜式方程为y﹣1=3（x﹣2），
化为一般式可得3x﹣y﹣5=0，
故答案为：3x﹣y﹣5=0．
14．已知△ABC为等腰直角三角形，斜边BC上的中线AD=2，将△ABC沿AD折成60°的二面角，连结BC,则三棱锥C﹣ABD的体积为．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】首先，根据直角三角形的性质,得到AD⊥平面BCD，然后，结合三棱锥的体积公式进行求解即可．
【解答】解：∵AD⊥BD，AD⊥DC,BD∩DC=C,
∴AD⊥平面BCD,
∵△BCD是正三角形，且边长为2，
∴S=×2×=
∴三棱锥C﹣ABD的体积
V=×AD×S
△BCD
=×2×
=
∴三棱锥c﹣ABD的体积为：．
故答案为：．
15．如果对任何实数k，直线（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k=0都过一个定点A，那么点A的坐标是(﹣1，2)．
【考点】恒过定点的直线．
【分析】由（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k=0可得3x+y+1+k（x﹣2y+5)=0，进而有x﹣2y+5=0且3x+y+1=0，由此即可得到结论．
【解答】解：由（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k=0可得3x+y+1+k（x﹣2y+5）=0
∴x﹣2y+5=0且3x+y+1=0
∴x=﹣1，y=2
∴对任何实数k，直线（3+k)x+（1﹣2k)y+1+5k=0都过一个定点A（﹣1，2)
故答案为：(﹣1,2）
16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，点M∈AB1,N∈BC1,且AM=BN≠，有以下四个结论:
①AA1⊥MN，②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1是异面直线．其中正确结论的序号是①③（注:把你认为正确命题的序号都填上)
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．
【分析】过M作MO∥AB，交BB1于O，连接ON，利用线段等比例定理证明ON∥B1C1，根据线面垂直的判定定理证明BB1⊥平面OMN，又MN⊂平面OMN，可得AA1⊥MN，从而判断①正确；
利用面面平行的判定定理可证平面A1B1C1D1∥平面OMN，从而得MN∥平面A1B1C1D1，从而判断③正确；
根据M、N分别是AB1,BC1的中点时，可证MN∥A1C1，当M不是AB1的中点时，MN与A1C1异面，从而判断②④错误．
【解答】解：过M作MO∥AB，交BB1于O，连接ON,
∵AM=BN
∴==,∴ON∥B1C1，
∴BB1⊥OM,BB1⊥ON，OM∩ON=O,
∴BB1⊥平面OMN，MN⊂平面OMN,
∴BB1⊥MN，AA1∥BB1,∴AA1⊥MN，∴①正确;
当M、N分别是AB1，BC1的中点时，取A1B1，B1C1的中点E，F，连接ME、NF，
∵ME∥AA1,NF∥AA1，且ME=NF=AA1，
∴四边形MNEF为平行四边形,∴MN∥EF，
又EF∥A1C1，∴MN∥A1C1，
当M不是AB1的中点时,MN与A1C1异面，∴②④错误;
OM∥平面A1B1C1D1；ON∥平面A1B1C1D1，
∴平面A1B1C1D1∥平面OMN,MN⊂平面OMN，
∴MN∥平面A1B1C1D1;∴③正确．
故答案是①③．
三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17．已知直角△ABC的顶点坐标A（﹣3,0）,直角顶点B（﹣1,﹣2）,顶点C在x轴上．（1）求点C的坐标；
(2)求斜边的方程．
【考点】待定系数法求直线方程；直线的斜率．
【分析】(1)利用相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出直线BC的解析式，然后来求点C的坐标．
(2）根据直角三角形斜边上的中点坐标和点O来求OB的方程．
【解答】解:（1）依题意得，直角△ABC的直角顶点B（﹣1,﹣2），
属于AB⊥BC,
故k AB•k BC=﹣1．
又因为A(﹣3，0)，
所以k AB==﹣，
所以k BC=，
所以直线BC的方程为:y+2=（x+1)，即．
因为直线BC的方程为，点C在x轴上，由y=0，得x=3，即C（3，0）．(2)由（1）得C（3，0)，
所以AC的中点为（0,0），
所以中线为OB（O为坐标原点）的斜率k=2，
所以直线OB的方程为y=2．
18．如图四边形ABCD为梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【分析】旋转后几何体是一个圆台，从上面挖去一个半球,根据数据利用面积公式与体积公式,可求其表面积和体积．
【解答】解：由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成:
圆台下底面、侧面和一半球面
S 半球=8π，S 圆台侧=35π，S 圆台底=25π．
故所求几何体的表面积为:8π+35π+25π=68π 由
， 所以，旋转体的体积为
19．如图1是图2的三视图，三棱锥B ﹣ACD 中，E ，F 分别是棱AB ，AC 的中点．
（1）求证：BC ∥平面DEF ；
(2）求三棱锥A ﹣DEF 的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）根据E ，F 分别是AB ，AC 的中点得到EF ∥BC ，应用判定定理即得证． （2)由图1得CD ⊥AB,BD ⊥AD ，BD ⊥CD,得到BD ⊥平面ACD ．取AD 的中点G ，连接EG,求得，进一步计算体积．
【解答】证明：（1）∵E ，F 分别是AB ，AC 的中点，
∴EF ∥BC ，
∵BC ⊄平面DEF,EF ⊂平面DEF,
∴BC ∥平面DEF ．…
解：（2）∵如图1得CD ⊥AB,BD ⊥AD,BD ⊥CD ，
又∵CD∩AD=D，
∴BD⊥平面ACD．…
取AD的中点G,连接EG，
∵E是AB的中点，
∴．
∴EG⊥平面ACD，,
∴．…
20．已知圆C：x2+（y﹣2)2=5,直线l：mx﹣y+1=0．
（1）求证：对m∈R,直线l与圆C总有两个不同交点；
(2）若圆C与直线l相交于A,B两点，求弦AB的长度．
【考点】直线与圆相交的性质．
【分析】（1）根据直线l：mx﹣y+2﹣m=0，恒过D(1，2)点,点在圆C内部，可得结论; （2）求出圆心C（0,2）到直线mx﹣y+1=0的距离，代入圆的弦长公式，可得答案．【解答】解:（1）直线mx﹣y+1=0恒过定点（0,1），且点（0，1）在圆C：x2+(y﹣2）2=5的内部，
所以直线l与圆C总有两个不同交点．
（2）圆心C（0，2）到直线mx﹣y+1=0的距离d=，
所以弦AB的长度=2=2．
21．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．
（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；
（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A(x1，y1），B（x2，y2)两点，求证： +为定值．
【考点】直线与圆相交的性质．
【分析】（1）把圆C的方程化为标准方程,写出圆心和半径；
（2）设出直线l的方程,与圆C的方程组成方程组，消去y得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系求出+的值．
【解答】（1）解：圆C：x2+y2+2x﹣3=0,配方得(x+1)2+y2=4，
则圆心C的坐标为（﹣1,0)，圆的半径长为2；
（2）证明：设直线l的方程为y=kx，
联立方程组，
消去y得（1+k2)x2+2x﹣3=0，
则有:，，
所以为定值．
22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AD=4，BD=4，AB=2CD=8．
（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明:平面MBD⊥平面PAD；
（Ⅱ)当M点位于线段PC什么位置时,PA∥平面MBD？
（Ⅲ)求四棱锥P﹣ABCD的体积．
【考点】平面与平面垂直的判定；棱锥的结构特征；直线与平面平行的性质．
【分析】（Ⅰ)设M是PC上的一点，证明平面MBD内的直线BD垂直平面PAD，即可证明平面MBD⊥平面PAD；
（Ⅱ)M点位于线段PC靠近C点的三等分点处，证明PA∥MN，MN⊂平面MBD，即可证明PA∥平面MBD．
（Ⅲ）过P作PO⊥AD交AD于O，说明PO为四棱锥P﹣ABCD的高并求出，再求梯形ABCD的面积，然后求四棱锥P﹣ABCD的体积．
【解答】证明：(Ⅰ）在△ABD中，
∵AD=4,，AB=8，∴AD2+BD2=AB2．
∴AD⊥BD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，
∴BD⊥平面PAD．
又BD⊂平面MBD,
∴平面MBD⊥平面PAD．
(Ⅱ）当M点位于线段PC靠近C点的三等分点处时，PA∥平面MBD．
证明如下：连接AC，交BD于点N，连接MN．
∵AB∥DC，所以四边形ABCD是梯形．
∵AB=2CD，∴CN：NA=1:2．
又∵CM:MP=1:2，
∴CN：NA=CM：MP,∴PA∥MN．
∵MN⊂平面MBD，∴PA∥平面MBD．
（Ⅲ)过P作PO⊥AD交AD于O，
∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD．
即PO为四棱锥P﹣ABCD的高．
又∵△PAD是边长为4的等边三角形，∴．
在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为,此即为梯形ABCD的高．∴梯形ABCD的面积．
故．
2016年12月21日。