一道三角函数求值题的多角度分析

．
４
π
３π
３π
＜A ＜ ,从 而 t
anA ＜t
an ＝ －１,即
２
４
４
t
anA ＜－１．
１２
结合各选项中的值,可知只有 t
anA ＝－ 满足 ．
５
故选择答案:
A．
点评:通过 建 立 平 面 直 角 坐 标 系,结 合 三 角 函 数
的定义,将 三 角 函 数 问 题 转 化 为 直 线 与 圆 的 交 点 问
两个
问题设置常规,难度呈现 递 进 式 有 层 次 性,第(
１)问 起
点低入手易,让 基 础 薄 弱 的 学 生 有 成 就 感,充 分 体 现
了高考命题的基础性与 人 文 关 怀;第(
２)问 注 重 梯 度,
由“知识立意”到 “能 力 立 意 ”,凸 显 数 学 本 质,让 优 秀
学生能够脱颖而出,高考命题的综合性、应用性 ．
测试(一)数 学 试 卷 ５)已 知 A 为 三 角 形 的 内 角,且
７
s
i
nA ＋c
o
sA ＝ ,则 t
anA ＝ ( )．
１３
７
ìï
s
i
nA ＋c
o
sA ＝ ,
ï
１３
联立 í
６０
ï
,
i
nAc
o
sA ＝－
ïs
î
１６９
１２
５
ìï
ìï
s
i
nA ＝ ,
s
i
nA ＝－ ,
ï
ï
１３
１３
(舍去)
解得 í
值和余弦值,利用商的关系来确定对应角的正切值 ．
合
理同构,利用同角三角函数 的 正 弦 值 和 余 弦 值 的 和 式
与差式互为对偶式,在进行 求 值 与 运 算 时 经 常 通 过 同
构来确定目的 ．
解析:
o
sA ＝
７
４９
,两边平 方 并 整 理 可 得 １＋２s
第一种,忘记了函数 y＝ax (
a＞０ 且 a≠１)的 导 函 数,
５ 总结与感悟
本题初看函 数 结 构 新 颖,细 看 实 则 熟 悉,再 做 又
感陌生;函数 以 幂 函 数 为 分 子,指 数 函 数 为 分 母 的 分
式型结构呈 现,虽 然 两 类 函 数 背 景 熟 悉,但 以 分 式 型
结构呈现又觉新颖,又体现了高考命题的创新性 ．
或í
５
１２
ï
ï
ïcosA ＝－ , ïcosA ＝ ．
î
î
１３
１３
１２
s
i
nA
１３
１２
所以 t
anA ＝
＝
＝－ ．
c
o
sA
５
５
－
１３
故选择答案:
A．
点评:结合条件中同 角 三 角 函 数 的 正 弦 值 和 余 弦
值的和式进行两边平方 处 理,结 合 平 方 关 系 的 变 形 与
转化,得到对应积 式 的 值,并 结 合 条 件 确 定 角 A 的 取
o
sA ＝ ,
ïs
ïcosA ＝－ ．
î
î
１３
１３
２３
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命题
考试
试题研究 ２
０２２ 年 ５ 月上半月
１２
s
i
nA
１３
１２
所以 t
故选择答案:
anA ＝
＝
＝－ ．
A．
命题
考试
２０２２ 年 ５ 月上半月 试题研究
一道三角函数求值题的多角度分析
◉ 湖北省十堰市房县第一中学 陈清先
摘要:破解三角函数值的求解问题,可以通过三角函数的通技通法结合三角公式来变形 与 转 化,也 可 以 通 过
三角函数的定义结合平面几何图形来拓展与延伸,是近年高考中的一类常考题型,既能很好 地 考 查 知 识 与 能 力,
本 题 考 查 面 广,综 合 能 力 要 求 高 ．
如 知 识 点 方 面:
考查幂函数、指数函数 的 导 数、指 数 对 数 的 运 算 法 则、
导数的运算 法 则、导 函 数 与 原 函 数 的 关 系、函 数 的 单
调区间、极值、最值等 ．
题型方面:考查利用导数研 究 函
数的单调性,求参数 的 取 值 范 围 ．
景设置多变,三角公式 众 多,切 入 点 多 样,破 解 方 法 多
种,对各层次 学 生 能 力 的 考 查 都 有 一 定 的 体 现,可 以
很好地考查学生的数学运 算 与 逻 辑 推 理 能 力,充 分 体
现高考的选拔性与区分度 ．
２ 问题呈现
问题 (光 大 教 育 广 东 省 ２０２２ 届 高 三 综 合 能 力
１２
５
５
１２
A．
－ B．
－ C． D．
５
１２
１２
５
值限制,利用联立方程组 求 解 相 应 的 角 的 正 弦 值 和 余
此题条件简捷,短小 精 悍,难 度 适 中,以 三 角 形 的
是破解同角三角函数问 题 中 比 较 常 见 的 思 维 方 式,注
内角的取值范围来确定对 应 角 的 取 值 限 制,通 过 相 关
又能体现高考的选拔性与区分度,引领并指导数学教学与解题研究 ．
关键词:三角函数;三角形;同构;定义
１ 引言
三角函数 值 的 求 解 是 近 年 高 考 数 学 中 的 一 个 热
点问题,此类 问 题 往 往 情 境 创 设 简 单 新 颖,设 置 方 式
变化多端形式各样,难度适中 ．
此类问题的特点就是 背
考试
试题研究 ２
０２２ 年 ５ 月上半月
元等 ．
本题源于教 材(高 中 数 学 必 修 一(人 教 A 版)第
x
２
９９ 页)又高 于 教 材,研 究 两 个 函 数 y＝２ 与y＝x 的
图象的交点,并且教材引 导 学 生 利 用 二 分 法 研 究 函 数
范围,利用正 切 函 数 的 单 调 性 来 确 定 t
anA 的 取 值 范
围,结合各选项中的值直接得以分析与判断 ．
数形 直 观
法是在平面直角坐标系 的 背 景 中,结 合 直 线 与 圆 的 位
置关系,数形 结 合,通 过 解 析 几 何 思 维 的 直 观 转 化 来
方法 ５:解三角形法 ．
数 学 思 想 方 面:考 查
函数与方程、分 类 与 整 合、化 归 与 转 化、数 形 结 合、特
殊与一般、有限与无 限 等 思 想 ．
数 学 核 心 素 养 方 面:体
现了逻辑推理、数学运算等素养 ．
方法方面:同构、换
x
第(
１)问求函 数 y ＝２ 的 导 函 数 就 出 错,导 致 浪 费 时
A．
点评:结合条件中同角 三 角 函 数 的 正 弦 值 和 余 弦
值的和式进行两边平方处 理,结 合 平 方 关 系 的 变 形 与
转化,得到对应积式 的 值,并 结 合 条 件 确 定 角 A 的 取
值限制,通 过 对 应 积 式 的 齐 次 化 处 理,转 化 为 涉 及
t
anA 的二次 方 程,结 合 方 程 的 求 解 与 条 件 的 限 制 来
仅有两个交点 ．
l
n
a
(
设 k＝
a＞０),如 图 ７
a
１
时,直 线 y＝kx
e
与曲线y＝l
所 以,
nx 相 切 ．
０＜
２
x
x
２
y＝x －２ 的零点,进而解 决 函 数 y＝２ 与y＝x 的
图象的交点 问 题,这 恰 好 就 是 本 题 的 第 (
１)问 问 题 背
所示,当 k＝
l
n
a １
＜ ．
a
e
以下同通法 １．
间 还 不 得 分;第 二 种,在 处 理 第 (
解析:如图 １ 所示,建立 平 面 直 角 坐 标 系 xOy,设
(
Pc
o
sA ,
s
i
nA ),其中 ∠A ＝∠POM ．
２
２
由于 s
i
nA ＋c
o
sA ＝１,则 知 点 P 是 直 线l:
x＋
７
２
２
y＝ 与单位圆 x ＋y ＝１ 的交点 ．
１３
而 A 为三角形的内角,则知点 P 在第二象限内 ．
７
归与转化的 数 学 思 想 方 法,以 及 数 学 运 算、逻 辑 推 理
等核心素养 ．
弦值,利用商数关系来确定对应角的正切值 ．
方程 思 维
方法 ２:同构法 ．
解析:由于 A 为三角形 的 内 角,且 s
i
nA ＋c
o
sA ＝
７
４９
,两边平 方 并 整 理 可 得 １＋２s
,则 有
i
nAc
o
sA ＝
而 A 为三角形的内角,则点 P 在第二象限内 ．
图１
( ３４π
－ ∠OPM
)
＝
３π
７
t
an －t
an∠OPM
－１－
４
１７
１２
＝
＝－ ．
３π
７
５
１＋t
an t
an∠OPM １－１×
４
１７
(下转第 ３０ 页)
故选择答案:
A．
２４
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命题
c
o
sA
５
５
－
１３
点评:结合条件中同角 三 角 函 数 的 正 弦 值 和 余 弦
值的和式进行两边平方处 理,结 合 平 方 关 系 的 变 形 与
转化,得到对应积式 的 值,并 结 合 条 件 确 定 角 A 的 取
值限制,结合同角三角函数 的 正 弦 值 和 余 弦 值 的 差 式
的平方的求解,通过联立方 程 组 求 解 相 应 的 角 的 正 弦
结合图形可知直线l:
x＋y＝ 与 坐 标 轴 的 交 点
１３
分别为 M
(１７３,０) ,N (０,１７３) ,则 △OMN 为 等 腰 直 角
三角形,其中 ∠OMP ＝
π
．
４
在 △OPM 中,根 据 正 弦 定 理 可 得
１
＝
π
s
i
n
４
７
１３
７２
,则有 s
i
n∠OPM ＝
．
s
i
n∠OPM
２６
结合同角三角函数基本关系式,可得 c
１３
１６９
s
i
nAc
o
sA ＝ －
３ 问题破解
c
o
sA ＞０．
６０
＜０,可 知 角 A 为 钝 角,
s
i
nA －
１６９
１２０
２
而(
s
i
nA －c
o
sA ) ＝１－２s
i
nAc
o
sA ＝１＋
＝
１６９
思维视角一:三角函数思维
方法 １:方程法 ．
解析:由于 A 为三角形 的 内 角,且 s
i
nA ＋c
o
sA ＝
确定对应角的正切值 ．
齐次化处理,将问题转化为所 要
求解的三角函数值的方程 问 题,通 过 方 程 的 求 解 与 条
件的限制来分析与处理 ．
思维视角二:解析几何思维
解析:如 图 １ 所 示,建 立 平 面
直 角 坐 标 系 Oxy,设 P (
c
o
sA ,
)
,
其中
s
i
nA
∠A ＝∠POM ．
π
x２
x２ －２x 的零点 ⇔ 方程 x２ ＝２x 的 根 ⇔ 方 程 x ＝１ 的 根
２
x
教材不但给
⇔ 函数 y＝ x 与直线y＝１ 的图象的交点 ．
２
出了问题的答案,而且还提供了解决问题的方案 ．
２
另外,从我 校 今 年 参 考 的 考 生 中 了 解 到,不 能 完
成本题的原因有多种,但有两种特别值得与大家 分 享 ．
图７
点评:秒杀 ３ 把 原 问 题 等 价 转 化 成 函 数 y ＝l
nx
l
n
a
(
与y＝x
两个
x＞０)的 图 象 有 且 仅 有 两 个 交 点 ．
a
函数都是基 本 初 等 函 数,利 用 数 形 结 合,直 观 形 象 地
解决此问题,可谓本题的最优解法 ．
景．
函数 y ＝２x 与 y ＝x２ 的 图 象 的 交 点 ⇔ 函 数 y ＝
意点就是把 握 角 的 取 值 范 围 的 限 制 对 三 角 函 数 值 的
角的正弦值和余弦值的和 式 来 创 设 题 目 条 件,在 此 背
影响 ．
景下求解相应角的 正 切 值 问 题 ．
此题主要借助情境创
设,结合题目 条 件,综 合 考 查 同 角 三 角 函 数 基 本 关 系
式,三角形的 基 本 性 质 等 基 础 知 识,同 时 综 合 考 查 化
,则 有
i
nAc
o
sA ＝
１３
１６９
６０
s
i
nAc
o
sA ＝－
＜０,可知角 A 为钝角 ．
１６９
s
i
nAc
o
sA
t
anA
＝
＝
２
２
２
s
i
nA ＋c
o
sA t
anA ＋１
６０
２
,可得 ６０t
－
anA ＋１６９t
anA ＋６０＝０．
１６９
１２
５
解得 t
anA ＝－ ,或 t
anA ＝－ (舍去)．
５
１２
故选择答案:
o
s∠OPM ＝
所 以 t
anA ＝ t
an
２
２
由于 s
i
n A ＋c
o
s A ＝１,则 知
x２ ＋y２ ＝１ 的交点 ．
所以
１７ ２
s
i
n∠OPM ７
,则 t
an∠OPM ＝
＝ ．
２６
c
o
s∠OPM １７
方法 ４:数形直观法 ．
７
点 P 是直线l:
x＋y＝ 与单位 圆
１３
则 △OMN 为等腰直角三角形,
７
４９
,两 边 平 方 并 整 理,可 得 １＋２s
,即
i
nAc
o
sA ＝
１３
１６９
６０
s
i
nAc
o
sA ＝－
＜０,可知角 A 为钝角 ．
１６９
２８９
１７
,得 s
i
nA －c
o
sA ＝ ．
１６９
１３
７
１２
ìï
ìï
s
i
nA ＋c