教师资格证面试试讲-6《三垂线定理》-逐字稿

《证明：三垂线定理》逐字稿
各位评委老师大家好,我是今天的1号考生,今天我试讲的题目是《证明：三垂线定理》。

下面开始我的试讲。

一、温故知新,引入课题
上课,同学们好,请坐。

同学们,在平面几何中大家已经学习了直线和平面的垂直关系,那在今天我们学习新课之前,先来简单的回顾一下。

大家还记得直线与平面垂直的定义和判定定理分别是什么吗？我听到同学们说：如果一条直线和一个平面内的任意一条直线垂直,我们就说这条直线和这个平面垂直,这是直线与平面垂直的定义;判定定理是：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直与这个平面。

非常好,看来同学们对于我们之前学习的知识掌握的很牢固。

那我们这节课就用之前学过的这些内容来证明推导另外一个新的定理：三垂线定理。

二、层层深入,知识新授
1.概念解读,初步认识
首先大家先来看教材中三垂线定理的定义：平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。

那么定义中平面的斜线、斜线在平面内的射影又分别是什么呢？下面请同学们看老师多媒体中展示的这幅图片：已知平面α,任意做一条不垂直与平面α的直线L交α于点O,直线L就叫做平面α的一条斜线,点O叫做斜足;同时我们在直线L上任取一点P,过点P作PA垂直于平面α,垂足为A,那么此时连结OA所形成的直线,我们就把它称作斜线L在平面α内的射影。

定理中的这些概念既然大家都已经清楚了,那同学们能不能利用所学知识来证明一下这个定理呢？
首先请同学们思考一下,我们要证明这个定理,已知条件和被证结论分别是什么呢？对,我听到大家回答的没错：已知的是平面α的一条斜线,及该斜线在平面α内的射影,还有一条平面α内垂直于射影的直线。

在这一条件下,证明平面内的这一直线是否也垂直于斜线。

那下面老师将同学们刚才的文字语言转化为图形语言：如图所示,已知ＰＡ、ＰＯ分别是平面α的垂线和斜线,ＯＡ是ＰＯ在平面α内的射影,直线ａ⊂α,且ａ⊥ＯＡ。

证明ａ⊥ＰＯ。

2.合作探究,证明定理
接下来请同学们前后四人为一小组,认真讨论,分析证明三垂线定理,并写出你们的证明过程,时间５分钟。

现在开始,好时间到了,刚刚老师在巡视的过程中发现,各小组的同学讨论的都非常激烈,每位同学都在积极发表自己的看法,老师为大家点赞！那哪一组同学愿意分享一下你们的讨论成果呢？好请三组代表到讲台这边为大家展示,我们看一看三组代表呈现在黑板上的证明过程：∵ＰＡ⊥α,ａ⊂α;
∴ＰＡ⊥ａ
又ａ⊥ＯＡ,ＰＯ∩ＯＡ＝Ｏ;
∴ａ⊥平面ＰＯＡ
而ＰＯ⊂平面ＰＯＡ
∴ａ⊥ＰＯ
也就是说：平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。

这是不是正好就是我们刚刚所说的三垂线定理。

很优秀,三组代表的分享非常精彩,这个证明过程也书写的十分到位,其它小组你们是不是也是这样进行的呢？看来大家对所学知识的应用能力很强,这才是咱们数学课堂应有的氛围,大家继续加油！
3.总结概念,强化重点
接下来同学们再来观察一下,大家有没有发现,其实三垂线定理从证明的角度看,这是一个标准的从线线垂直（一般是共面）转化为线面垂直又转化为新的线线垂直（一般是异面）的立体几何推理过程。

事实上我们也可以认为它是线面垂直转化关系的一个常用推论。

但是在这里需要同学们注意一下,一般情况下三垂线定理不可直接用作结论进行使用,大家在应用题中需要对其进行证明。

三、知识运用,巩固练习
同学们,到此为止咱们今天的重点内容都已经完成了,那下面检测一下大家能否熟练应用这一定理。

请同学们利用3分钟时间独立完成多媒体中出示的例题,请第一排这位同学到黑板上进行板演。

好,我看大家都已经完成了,我们一起检查一下黑板上这位同学板演结果,结论正确,书写过程规范,很棒,看来大家对今天的内容掌握的不错！
四、课堂小结,内化提升
我们这节课也马上就要接近尾声了,下面哪位同学来分享一下自己本节课的收获和体会呢？好,班长你来,你说你又认识并掌握了一个新的定理三垂线定理;而且在证明这个定理的
这个过程中你还发现我们解决这个问题的方法是将立体几何平面化;同时也体会到了在数学学习过程中小组合作的重要性。

非常好,看来这节课大家的收获都非常的丰富,老师也希望同学们通过每次课程的学习,都会遇见一个不一样的自己！
五、课后作业,强化新知
这节课就上到这里,请同学们课下思考如果三垂线定理反过来阐述：平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直。

是否仍然成立？如果成立,请大家动手写出证明过程,我们下节课再来讨论。

六、板书设计,展现风采。