2021年湖北省宜昌中考数学第23题几何综合题

原题呈现
23．（11分）如图，在矩形 ABCD 中， E 是边 AB 上一点， BE ＝ BC ， EF ⊥ CD
CB ，垂足为 F ．将四边形 CBEF 绕点 C 顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到四边形' E ' F ′， B ′ E ′所在的直线分别交直线 BC 于点 G ，交直线 AD 于点 P ，交 CD
于点 K ． E ′ F ′所在的直线分别交直线 BC 于点 H ，交直线 AD 于点 Q ，连接 B ′ F ′交 CD 于点 O ．
（1）如图1，求证：四边形 BEFC 是正方形；
（2）如图2，当点 Q 和点 D 重合时．
①求证： GC ＝ DC ；
②若 OK ＝1， CO ＝2，求线段 GP 的长；
（3）如图3，若 BM ∥ F ′ B ′交 GP 于点 M ，tan∠ G ＝1/2，求S △GMB /S △CF H 的值．
图文解析
相似得B'K:CF'=1:2，所以B'K=E'K.
由B'K=E'K，可得KE':CF'=1:3，A型相似则DK:DC=KE':CF'=1:2，所以CD=2CK=6，所以CG=CD=6，在Rt△GCK中，勾股可求GK=3√5.
由DK=CK，易证△PDK≌△GCK，所以KP=GK=3√5. 所以GP=6√5.
tanG=tan∠F'CH=1/2，所以F'H:CF'=1:2，而CF'=CB'，故
F'H:CB'=1:2，又因为F'H∥CB'，故点H为PC的中点，所以
S △CF'H =S △PF'H ，则S △CF'H =S △CB'P /4.
tanG=1/2，所以GC=2CK，而CP=2CH=2CK，所以CG=CP
所以S △GCB' =S △CB'P ，因为S △CF'H =S △CB'P /4，则S △CF'H =S △GB'P /8.
NO.1。