单级倒立摆反馈线性化控制仿真

单级倒立摆反馈线性化控制仿真
孙建涛 陈华 王贞卫
（新疆大学 电气工程学院 乌鲁木齐 830008）
摘 要：本文以单级倒立摆为控制对象，介绍了反馈线性化的基本原理，设计BP 神经网络控制器对消系统的非线性，实现对单级倒立摆的反馈线性化控制。

并通过MA TLAB 软件进行仿真实验，结果表明了该方法的有效性。

关键词：反馈线性化；倒立摆；BP 神经网络
中图分类号: TP391.8; TP391.9 Feedback Linearization Control and Simulation of An Inverted Pendulum
SUN Jiantao CHEN Hua WANG Zhenwei
(College of Electric engineering, Xinjiang University, Urumqi 830008)
Abstract: To control a single inverted pendulum, this paper introduces the principle of feedback linearization, designs an Bp network controller for cancellation of the non-linear system , which suits to control the Inverted Pendulum and turns to be effective by the Matlab-simulated experiments. Key words: feedback linearization; inverted pendulum; BP neural network
1.引言
倒立摆是一抽象的物理模型，其特点是一支匀质杆，其支点在下，重心在上。

在航天航空领域的稳定控制，机器人领域的平衡控制[1]，以及一般工业过程和日常生活凡涉及到重心在上支点在下的控制，都可以以倒立摆为模型进行控制理论的研究。

它是一个典型的高阶次、非线性、自然不稳定、多变量强藕合控制系统，是进行控制理论教学及开展控制实验的理想实验平台[5]。

其稳定、随动控制相当困难，在控制领域中是一个极具挑战性的难题，由此长期以来倒立摆系统的控制研究被认为是控制理论及其应用领域里引起人们极大兴趣的问题。

2.反馈线性化原理
所谓的反馈线性化就是指利用反馈的控制手段来消除系统中的非线性，以至于使其闭环系统的动力学方程是线性的[2]。

当一个系统由下列动力学特性给出：
u X b X f dt x d n
n )()(+= (1) 其中，u 是控制量，X 是状态变量：T n n dt
x d dt dx x
X ][ = 在状态空间表达式中，动力学方程可写为：
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-)()(32121X b X f x x x x x x x dt d n n n (2)
此方程描述的是实际系统，我们希望通过加入一反馈控制u 使其行为具有下述理想线性特性：
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+---=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-Cr x k x k x k x x x x x x x dt d n n n n n 221132121 (3) 其中，),2,1(n i k i =和c 均为常数，r 为参考输入。

令两状态方程的最后一项相等可求出反馈控制量： )
()]([X b X f Cr KX u -+-= (4) 我们采用(4)式控制u 对系统控制，原系统的非线性将被消除，被控系统的特性将呈现(3)式所具有的线性特性。

通过选择适当的参数k 和c ，即可得到期望的任意n 阶线性系统的响应。

3. 倒立摆控制系统设计
3.1 倒立摆数学模型
在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示。

摆杆与小车之间为自由链接，小车在控制力的作用下沿滑轨在水平方向运 动，控制目的是使倒立摆能够尽可能稳定在铅直方向。

图1一级倒立摆系统简图
一级倒立摆的数学模型可表示为：
θθθθθθθ22cos 3
4cos cos sin sin mla l au mla g ---= (5) 其中，m
M a +=1 M 小车质量 1.096Kg
m 摆杆质量 0.109Kg
l 摆杆长度 0.25m
u 加在小车上的力
θ 摆杆与垂直方向的夹角
假定我们期望的闭环系统为下列线性参考模型的动力学表达式给出的响应：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡u x x x x x dt d 30692221 (6) 由此可得到对消控制规律：
2221211211212112.9997 1.99980.2034cos 0.1356cos 9.81sin 0.0113sin(2)0.0678cos 0.8299cos 0.9999
x x x x x x x x x u x x +--+-=+- (7) 3.2神经网络设计
设计一三层BP 网络逼近上述控制规律作为反馈调节器来抵消系统中的非线性。

由对消控制规律可知，需要设计一个具有两输入一输出的BP 网络。

我们选取一个两层网络的模型结构，隐含层取8个神经元，采用双曲正切激活函数，输出层采取线性激活函数
[3]。

随机产生800组数据对网络进行训练。

将训练好的网络编写成MATLAB 函数嵌入SIMULINK 模块，用于仿真控制。

4.实验仿真
首先应用MA TLAB 工具函数lqr [4]，求取(6)式的最优控制器对应的反馈增益矩阵k 。

取0.1R =，([100,1])Q diag =，求得[]28.7648 3.7599K =--。

将神经网络反馈控制量和上述最优控制量同时加在非线性模型对其控制，仿真模型如图2所示。

图2 系统仿真模型
仿真结果如图3所示，结果表明该控制方法是可行有效的，并达到了较好的控制效果。

图3 系统仿真曲线
5.结束语
本文采用反馈线性化的设计方法，应用BP网络设计控制器对消系统的非线性，通过MATLAB/SIMULINK语言实现了对单级倒立摆非线性模型的反馈显线性化控制仿真，仿真结果表明了该方法的有效性。

参考文献
[1]易继铠等.智能控制技术.北京：北京工业大学出版社，1999.
[2]刘豹.现代控制理论.北京：机械工业出版社，2003.
[3]从爽.面向MATLAB工具箱的神经网络理论与应用.湖南长沙：中国国防科技大学出版社.2003.
[4] 张志勇.掌握和精通MATLAB.北京：北京航空航天大学出版社.1997.
[5] 李国勇.控制系统数字仿真与CAD.北京：电子工业出版社.2004.
作者简介
孙建涛（1982- ），男，硕士研究生。

研究方向为智能控制与系统开发
修改说明：
评审专家：
您好！
非常感谢您的回信和您的耐心审阅，现对评审后的两点问题和建议做一下答复：
（1）经过线性化处理后的倒立摆模型是一个二阶，非线性，多变量，自然不稳定的系统。

本文是采用的是反馈性线化的基本控制原理实现对倒立摆稳定性的控制。

本文是以对倒立摆摆杆的稳定控制为例，而没有分析小车位置稳定的控制。

我已将摘要进行了修改，希望能解答您提出的第一个问题。

（2）对参考文献【5】的标注，已经标上。

期待您的回复，祝您工作顺利。

孙建涛
08.6.29。