吉林省长市实验中学2020学年高二数学上学期10月月考试题 文(含解析)

吉林省长春市实验中学2019-2020学年高二数学上学期10月月考试题
文（含解析）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.抛物线2
8y x =的焦点坐标为（ ） A. ()0,2 B. ()2,0- C. ()2,0 D. ()0,2-
【答案】C 【解析】 【分析】
根据抛物线的标准方程可得出抛物线的焦点坐标.
【详解】由题意可知，抛物线2
8y x =的焦点坐标为()2,0，故选：C.
【点睛】本题考查抛物线焦点坐标的求解，考查计算能力，属于基础题.
2.设命题:53p ≥，命题{}{}:11,2,3q ⊆，则下列命题中为真命题的是（ ） A. p q ∧ B. p q ⌝
∧
C. p q ⌝
∧
D. p q ⌝⌝
∨
【答案】A 【解析】 【分析】
判断出简单命题p 、q 的真假，然后利用复合命题真假性原则得出各选项中复合命题的真假. 【详解】由题意知，命题p 、q 均为真命题，则p q ∧为真命题，p q ⌝
∧、p q ⌝
∧、p q
⌝
⌝
∨均为假命题，故选：A.
【点睛】本题考查复合命题的真假，在判断复合命题的真假时，关键就是判断出各简单命题的真假，考查逻辑推理能力，属于基础题.
3.命题“∃x∈Z，使x 2+2x+m≤0”的否定是（ ） A. ∀x∈Z，都有x 2+2x+m≤0 B. ∃x∈Z，使x 2+2x+m ＞0
C. ∀x∈Z，都有x 2
+2x+m ＞0 D. 不存在x∈Z，使x 2
+2x+m ＞0 【答案】C 【解析】
试题分析：将“存在”换为“∀”同时将结论“x 2+2x+m≤0”换为“x 2+2x+m ＞0”． 解：命题“∃x∈Z，使x 2+2x+m≤0”的否定是： ∀x∈Z，都有x 2
+2x+m ＞0，
故选：C ．
考点：命题的否定．
4.已知双曲线22
:1164
x y C -=，则C 的渐近线方程为（ ）
0y ±= B. 0x ±= C. 20x y ±= D. 20x y ±=
【答案】C 【解析】 【分析】
根据双曲线的性质，即可求出。

【详解】令22
0164
x y -=，即有20x y ±=
双曲线C 的渐近线方程为20x y ±=，故选C 。

【点睛】本题主要考查双曲线渐近线方程的求法。

5.已知椭圆22
22 1x y a b
+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则
A. a 2
=2b 2
B. 3a 2=4b 2
C. a =2b
D. 3a =4b
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意利用离心率的定义和,,a b c 的关系可得满足题意的等式.
【详解】椭圆的离心率2
221,2
c e c a b a ===-,化简得2234a b =, 故选B.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.
6.已知()
1F 、)
2
F 分别为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点，过F 1的直
线l 交椭圆C 于A 、B 两点.若2ABF ∆周长是( )
A. 2
213x y +=
B. 22132x y +=
C. 2211210
x y +=
D. 22
143
x y +=
【答案】A 【解析】 【分析】
由已知可得c =
1F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点.2ABF ∆周长是
4a =
【详解】Q ()1F 、)
2
F 分别为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点，
∴
c =
又Q 过1F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点.
∴ 2ABF ∆周长为1212AF AF BF BF +++=，
由椭圆的定义可知：122AF AF a +=，122BF BF a +=，
∴
4a =，解得; a =∴2221b a c =-=,
∴椭圆的标准方程为2
213
x y +=，
故答案选A 。

【点睛】本题主要考查椭圆定义的应用以及简单的性质，属于基础题。

7.已知下面四个命题：
①“若20x x -=，则0x =或1x =”的逆否命题为“若0x ≠且1x ≠，则20x x -≠” ②“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件 ③命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题
④若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题，其中真命题个数为（ ） A. 1 B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C 【解析】 【分析】
根据逆否命题与原命题之间的关系可判断出命题①的真假；解出不等式2320x x -+>，利用集合的包含关系可判断出命题②的真假；判断出原命题的真假，再由原命题与逆否命题的真假性一致可判断出命题③的真假；由复合命题的真假与简单命题的真假可判断出命题④的真假.
【详解】对于命题①，由原命题与逆否命题的关系可知，命题①为真命题； 对于命题②，解不等式2320x x -+>，得1x <或2x >，所以，“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件，命题②为真命题；
对于命题③，命题“若x y =，则sin sin x y =”为真命题，其逆否命题也为真命题，则命题③为真命题；
对于命题④，若p q ∧为假命题，则p 、q 中至少有一个是假命题，则命题④为假命题. 因此，真命题个数为3，故选：C.
【点睛】本题考查逆否命题与原命题之间的关系、充分必要条件的判断以及复合命题的真假与简单命题真假之间的关系，考查逻辑推理能力，属于中等题.
8.0x ∃≥ ，使20x x a +-≤ ，则实数的取值范围是( ) A. 1a > B. 1a ≥ C. 1a < D. 1a ≤
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意得，问题转化为()
min
2x
a x
≥+的问题，设函数2x
y x =+，利用该函数的单调性即可求出参数范围
【详解】由题意可知：0x ∃≥，使2x a x ≥+，则()
min
2x
a x
≥+.
由于函数2x
y x =+是定义域内的单调递增函数， 故当0x =时，函数取得最小值0201+=， 综上可得，实数a 的取值范围是1a ≥. 本题选择B 选项.
【点睛】思路点拨：1.由题意分离参数，然后结合函数的单调性确定实数a 的取值范围；
2.对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)()a f x …
恒成立()a f x ax =…max ()a f x ⇔…；
(2)()a f x …恒成立min ()a f x ⇔….
9.已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，
以线段1F A 为直径的圆交线段1F B 的延长线于点P ，若2//F B AP ，则该椭圆离心率是（ ）
32 3 D.
22
【答案】D 【解析】 【分析】
由点P 在以线段1F A 为直径的圆上，可知1AP PF ⊥，再由2//F B AP ，可得 21F B BF ⊥，且
12F F B △是等腰直角三角形，结合2,OB b OF c ==，所以b c =，可求出离心率。

【详解】因为点P 在以线段1F A 为 直径的圆上，所以1AP PF ⊥，
又因为2//F B AP ，所以21F B BF ⊥
，又因为21F B BF =，所以
12F F B △是等腰直角三角形， 因为2,OB b OF c ==，所以b c =，2
222222F B c b a c =+==， 所以该椭圆的离心率2
2
c e a =
=
．
【点睛】本题考查了椭圆和圆的性质，考查了离心率的求法，考查了学生的计算求解能力，属于基础题。

10.如图，F 1，F 2分别是双曲线22
221x y a b
-=(a ＞0，b ＞0)的
两个焦点，以坐标原点O 为圆心，
|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支交于A ，B 两点，若△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( )
3 B. 2
31－ 31
【答案】D 【解析】 【分析】
连接1AF ，利用三角形边之间的关系得到122c AF =，12(31)a AF =，代入离心率公式
得到答案.
【
详解】连接1
AF ，依题意知：
213AF AF =，12122c F F AF ＝＝，
所以2112(31)a AF AF AF =-=-
11
231(31)AF c
e a AF =
==+-. 【点睛】本题考查了双曲线的离心率，利用三角形边之间的关系和双曲线性质得到,a c 的关系式是解题的关键.
11.已知F 是双曲线22
18
y C x -=：的右焦点，P 是C 左支上一点， 0?66A （，）
，当APF ∆周长最小时，则点P 的纵坐标为（ ） A. 66
B. 26
C. 46
D. 86-
【答案】B 【解析】 【分析】
左焦点E （-3，0）,△APF 周长最小⇔|PA|+|PF|最小⇔|PA|+|PE|+2最小⇔P 在线段AE 上． 【详解】如图：
由双曲线C 的方程可知：a 2=1，b 2=8，∴c 2=a 2+b 2=1+8=9，∴c=3，∴左焦点E （-3，0），右焦点F （3，0），
∵223(66)15+=，所以当三角形APF 的周长最小时，|PA|+|PF|最小．
由双曲线的性质得|PF|-|PE|=2a=2，∴|PF|=|PE|+2，
又|PE|+|PA|≥|AE|=|AF|=15，当且仅当A ，P ，E 三点共线时，等号成立． ∴三角形APF 的周长：|AF|+|AP|+|PF|=15+|PE|+|AP|+2≥15+15+2=32．
此时，直线AE 的方程为y=+x 2+9x+14=0， 解得x=-7（舍）或x=-2，
由x=-2得（负值已舍） 故选：B ．
【点睛】本题主要考查了双曲线的性质，双曲线的定义，属中档题．
12.已知椭圆22
22x y a b
+＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在
点M 使得12MF F △中，1221
sin sin MF F MF F a c
∠∠=，则该椭圆离心率的取值范围为( )
A. (0－1)
B. 2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
C. 0,2⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
－
1,1) 【答案】D 【解析】 【分析】 利用
1221
sin sin MF F MF F a c
∠∠=联想到正弦定理，结合椭圆定义找到,a c 的关系式，从而求
得离心率的范围.
【详解】由正弦定理可得：
1221
12
sin sin MF MF MF F MF F =
∠∠,结合题意可得
12MF MF c
a
=
，所以
1212
MF MF MF MF c
a
a c
+=
=
+，根据椭圆的定义可得122MF MF a +=，所以
12ac MF a c =+，2
22a MF a c
=+，易知21MF MF >.
因为M 为椭圆上一点，所以2a c MF a c -<<+，即2
2a a c a c a c
-<<++，
整理得2220c ac a +->，所以2210e e +->11e <<.故选D.
【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的求解，求解离心率的值时，一般是构建,,a b c 的等式；求解离心率的范围时，一般是构建,,a b c 的不等关系.
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）
13.“a b ==
______条件. （选填“充分不必要、必要不充分、既不充
分又不必要、充要”之一） 【答案】必要不充分 【解析】 【分析】
根据充分条件、必要条件的判定方法，利用实数的运算性质，即可求解，得到答案.
【详解】当a b ==1a b ==-
=
a b =一定成立．
所以“a b ==
故答案为：必要不充分．
【点睛】本题主要考查了必要不充分条件的判定，其中解答中熟记充分条件、必要条件的判定方法，合理利用实数的运算性质，准确判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
14.已知双曲线22
1259
x y -=上一点M 到左焦点1F 的距离为18，则点M 到右焦点2F 的距离
是__________________. 【答案】8或28 【解析】 【分析】
根据双曲线的定义得出122MF MF a -=求出2MF ，但需要满足2MF c a ≥-.
【详解】由题意可知5a =，3b =，c =
=118MF =，由双曲线的定义得
122MF MF a -=，即21810MF -=，解得28MF =或28，均满足2MF c a ≥-，故答
案为：8或28.
【点睛】本题考查双曲线的定义，解题还应注意双曲线上的点到焦点的距离应不小于c a -，考查计算能力，属于基础题.
15.已知直线l 的普通方程为10x y ++=，点P 是曲线2
2:13
x C y +=上的任意一点，则点P
到直线l 的距离的最大值为_______．
【答案】
2
【解析】 【分析】
作直线l 的平行线0x y t ++=，使得平移后的直线与椭圆C 相切，然后将直线方程与椭圆方程联立，由0∆=得出t 的值，将点P 到直线l 的距离的最大值转化为直线0x y t ++=()0t <与直线l 之间的距离.
【详解】作直线l 的平行线0x y t ++=，使得该直线与椭圆C 相切，
联立22
13x y t x y ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2246310x tx t ++-=， ()22236443148120t t t ∆=-⨯⨯-=-=，解得2t =±.
因此，点P 到直线l 的距离的最大值等于直线20x y +-=与直线l 之间的距离
2d =
=
，故答案为：2. 【点睛】本题考查椭圆上的点到直线距离的最值问题，可以利用平移直线与椭圆相切，转化为平行线之间的距离来处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
16.已知一族双曲线2
2
:2019
n n
E x y -=
（*n N ∈，且2019n ≤），设直线2x =与n E 在第一
象限内的交点为n A ，点n A 在n E 的两条渐近线上的射影分别为n B ，n C .记n n n A B C ∆的面积为
n a ，则1232019a a a a +++⋯+=__________.
【答案】
505
2
【解析】 【分析】
设点坐标()00,n A x y ，表示出n n n A B C V 的面积，得到n a 的通项，然后对其求前2019项的和. 【详解】设()00,n A x y ， 双曲线2
2
:2019
n n
E x y -=
的渐近线为0,0x y x y +=-=，互相垂直. 点()00,n A x y 在两条渐近线上的射影为,n n B C
，则n n n n A B A C =
=
易知n n n A B C V
为直角三角形，22001=2420194n n n
A B C x y n
S -==⨯V 即20194
n n
a =
⨯为等差数列，其前2019项的和为
()12019201912019201920195052019420194=222
a a S ⎛
⎫+⨯ ⎪+⨯⨯⨯⎝⎭
==
【点睛】本题利用三角形的面积将双曲线相关内容与数列相结合，综合性较强的题目，属于难题.
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.已知:p 实数x ，满足0x a -<，:q 实数x ，满足2430x x -+≤.若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 【答案】()3,+∞ 【解析】 【分析】
设命题p 、q 中实数x 的取值集合分别为A 、B ，将题意转化为B A Ü，由此可列出不等式解
出实数a 的取值范围.
【详解】设命题p 、q 中实数x 的取值集合分别为A 、B ，则(),A a =-∞. 解不等式2430x x -+≤，得13x ≤≤，得[]
1,3B =. 由于p 是q
的
必要不充分条件，则B A Ü，所以，3a >.
因此，实数a 的取值范围是()3,+∞.
【点睛】本题考查利用充分必要性求参数的取值范围，一般转化为两集合的包含关系，具体原则如下：
（1）若A B Ü，则“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件； （2）若A B Ý，则“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件； （3）若A B =，则“x A ∈”是“x B ∈”的充分必要条件；
（4）若A B ⊄，则“x A ∈”是“x B ∈”的既不充分也不必要条件.
18.（1）求焦点在x 轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；
（2）求与双曲线2
212
x y -=有公共焦点，且过点
的双曲线标准方程．
【答案】()1椭圆的标准方程为22195x y +=；()2双曲线的标准方程为：22
12
y x -=．
【解析】 【分析】
()1设出椭圆的标准方程，根据
2a ，2c 所表示的几何意义求得a ，c 的值，再根据椭圆
222a b c =+ ，求得b 2
的值，进而可得到椭圆的标准方程；
()2先求得双曲线的焦点，可设所求双曲线的方程为22
221(,0)x y a b a b
-=>，将点
代
入双曲线方程，结合双曲线222c a b =+，解方程可得a ，b ，进而可得双曲线的方程．
【详解】()1设椭圆标准方程为22
221(0)x y a b a b +=>>，则
Q 焦距为4，长轴长为6，
3a ∴=，2c =，2
5b ∴=，∴椭圆标准方程为22
195
x y +=；
()
2双曲线2
212
x y -=双曲线的焦点为()
，
设双曲线的方程为22
221(,0)x y a b a b
-=>，
可得223a b +=，
将点
代入双曲线方程可得，
2
222
1a b
-=，
解得1a =，b =
即有所求双曲线的方程为：2
2
12
y x -=．
【点睛】本题考查了椭圆的简单性质与椭圆标准方程的求法，考查了双曲线的方程的求法，考查了运算能力；求椭圆或双曲线的标准方程的一般步骤：先设出标准方程，再根据已知条件代入方程求解.
19.已知命题p:1,12x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，不等式20m x -≥恒成立；q ：方程22
214
x y
m +=表示焦点在x
轴上的椭圆．
（1）若p ⌝为假命题，求实数m 的取值范围；
（2）若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）2m >或2m <-．（2）2m <-或12m ≤≤ 【解析】 【分析】
（1）由p ⌝为假命题，则p 为真命题，转化为1
[,1]2
x ∀∈-
20m x -≥，恒成立，即可求解； （2）分别求得命题,p q 都为真命题时实数m 的取值范围，在根据p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，分类讨论，即可求解。

【详解】（1）若p ⌝为假命题，则p 为真命题．若命题p 真，
即对1,12x ⎡⎤
∀∈-
⎢⎥⎣⎦
20m x -≥，恒成立，则()
2
max
1m x ≥=，所以m 1≥
（2）命题q ：方程表示焦点在x 轴上的椭圆，242m m ∴>⇒>或2m <-．
p q ∨Q 为真命题，且p q ∧为假命题，p ∴、q 一真一假
①如果p 真q 假，则有1
22m m ≥⎧⎨
-≤≤⎩，得12m ≤≤；
②如果p 假q 真，则有1
22
m m m <⎧
⎨
><-⎩或，得2m <-．
综上实数m 的取值范围为2m <-或12m ≤≤．
【点睛】本题主要考查了利用复合命题的真假求解参数问题，其中解答中合理转化，以及正确求解命题,p q 为真命题时实数m 的取值范围是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题。

20.如图，DP y ⊥轴，点M 在DP 的延长线上，且3DM DP
=.当点P 在圆221x y +=上运
动时，
（1）求点M 的轨迹方程.
（2）过点1(1,)3
Q 作直线l 与点M 的轨迹相交于A 、B 两点，使点Q 被弦AB 平分，求直线l 的方程．
【答案】（1）2
21(0)9
x y x +=≠（2）320x y +-=
【解析】 【分析】
（1）设()()00,,,M x y P x y ，
3DM
DP =,所以03x x =，()0,D y ,0y y =，003x x y y
⎧=⎪
⎨⎪=⎩，代入圆的方程得到轨迹方程，抠掉不满足题意的点即可；（2）设出直线l 的方程为()1
13
y k x =-+，联立直线和椭圆，根据韦达定理列式即可.
【详解】（1）解析:设()()00,,,M x y P x y ，则()0,D y ,0y y =,0DP x =，DM x = ∵
3DM DP
=,所以03x x =
∵003x x y y =⎧⎨=⎩∴003x x y y
⎧
=⎪⎨⎪=⎩①
∵P 在圆2
2
1x y +=上，∴220
1x y +=，代入①得2
219
x y +=
3,0DM DP DP
=∴≠Q
,∴0x ≠,
∴()22109
x y x +=≠.
（2）
由题意知直线l 的斜率存在，l 过点11,3⎛⎫
⎪⎝⎭
，
设直线l 的方程为()113y k x =-+，设()()1122,,,A x y B x y ，联立()2
2113
1
9
y k x x y ⎧
=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得，()
2
2
211191899033k x k k x k ⎛⎫⎛
⎫++-++-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
∵点11,3⎛⎫
⎪⎝⎭
在椭圆内部，∴不论k 取何值，必定有0∆>.由韦达定理知
2122
18619k k
x x k -++=-
+
∵()()1122,,,A x y B x y 的中点是11,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴122x x +=，即2122
186219k k
x x k -++=-=+，解得
1
3
k =-，
∴直线l 的方程为320x y +-=.
【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的
方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．
21.双曲线2
2
2:1y x b
Γ-=（0b >）.
（1）若Γ的一条渐近线方程为2y x =，求Γ的方程；
（2）设1F 、2F 是Γ的两个焦点，P 为Γ上一点，且12PF PF ⊥，△12PF F 的面积为9，求b 的值；
【答案】（1）2
2
14
y x -=；
（2）3； 【解析】 【分析】
(1)根据双曲线的渐近线方程，得到b ，从而可求出双曲线的方程；
(2)根据双曲线定义先得到122PF PF a -=，再由△12PF F 的面积为9，得到12PF PF ，根据2
2
2
12
12PF PF F F +=，求出2c ，即可得出结果；
【详解】(1)因为双曲线2
2
2:1y x b
Γ-=（0b >）的一条渐近线方程为2y x =，
所以2b =，因此，Γ的方程为2
2
:14
y x -=；
(2) 双曲线定义可得：1222PF PF a -==， 又12PF PF ⊥，△12PF F 的面积为9，
所以1218PF PF =，且22
2
212124PF PF F F c +==，
所以()
2
2
2
212
12124240c PF PF PF PF PF PF =+=-+=，故210c =，
所以21019b =-=，因此，3b =；
【点睛】本题主要考查双曲线的方程，以及双曲线的简单性质，熟记性质即可，属于常考题型.
22.设椭圆E ：()
222166
x y a a +=>的左、右焦点分别为()12,0F -，(
)
2
2,0F .
（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；
（Ⅱ）过点1F 的直线l 与椭圆E 相交于M ，N 两点，求2F MN ∆内切圆面积的最大值.
【答案】（Ⅰ）22
186x y +=（Ⅱ）max 98
S π=
【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据焦点坐标可得2c =
,,a b c 可求方程；
（Ⅱ）2F MN ∆内切圆面积的最大时，2F MN ∆的面积最大，结合2F MN ∆的面积目标式，求出最大值即可.
【详解】解：（Ⅰ）由已知椭圆的左、右焦点分别为()
12,0F -，)
22,0F ，∴2c =由2
2
2
628a b c =+=+=，∴椭圆C 的标准方程为：22
186
x y +=.
（Ⅱ）令l ：2x my =-()11,M x y ，()22,N x y ，
2218
6x my x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，∴(
)22
34180m y +--=， 由>0∆，即(
)
2
2
7272340m m ++>，∴m R ∈，
则122
34
y y m +=
+，1221834y y m ⋅=-+， 设2F MN ∆的内切圆半径为R ，
(
)2221
2F MN S MN MF NF R ∆=
++⋅=，
又21212121
2
F MN
S F F y y y ∆=⋅-=-，
∴12y =-，即：124R y y =-， ∵
12y y -=
=
=
令t =1t
≥
，得：
123y y t t
-=
=
+，
令()13f t t t
=+，知()f t 在[
)1,+∞上是单调递增函数， ∴()()14f t f
≥=
，∴12
max
4
y y -=
=，()max 4R
=， max R =
2F MN ∆内切圆面积max 98S π=.
【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解和最值问题，最值问题一般是把目标式求出，结合目标式特点选用合适的方法求解，侧重考查数学运算的核心素养.。