孤立奇点的分类探究

孤立奇点的分类探究
李佳霖
（海南大学应用科技学院，海南儋州571737）
摘要：孤立奇点是解析函数的奇点中非常重要的一种，通过在该点处洛朗级数展开式的形式，可以研究解析函数的各种性质。

结合留数理论，即不同孤立奇点的留数公式，计算复变函数中的积分问题。

本文主要介绍解析函数孤立奇点分类的两种判别方法，加以应用。

关键字：解析函数；孤立奇点；可去奇点；极点；本性奇点
中图分类号：G642.4文献标志码：A文章编号：1674-9324（2015）17-0166-02
在一些理论和实际问题中，经常会遇到一些函
数，它在某点的一个领域内除去该点外处处解析，这
种点在计算留数等问题时非常有用，这就促使我们去
研究解析函数的孤立奇点，并找到判别是孤立奇点三
种分类的哪一种。

孤立奇点是解析函数的奇点中最简单且最重要
的一种类型。

以解析函数的洛朗展式为工具，我们能
够在孤立奇点的去心邻域内充分研究一个解析函数
的各种性质。

Def1f（z）在z
0处不解析，但在z
的某一去心邻域
0<z-z0<δ内处处解析，则称z
为f（z）的孤立奇点。

例如，函数f（z）=
z-1
z（z2+1）
，有三个孤立奇点，分别为z=0，i和-i。

在孤立奇点z=z
的去心邻域内，函数f（z）可展
开为洛朗级数f（z）=
∞
n=-∞
∑C n z-z0
()n。

展式中非负幂部
分
∞
n=0
∑C n z-z0
()n为f（z）在z0的解析部分（又称为正则部
分）。

而负幂部分
∞
n=1
∑C-n z-z0
()-n为f（z）在z0的主要部分。

下面将指出由它来决定（z）的奇点性质，并由此对孤立奇点进行分类：
Def2设z
为函数f（z）的孤立奇点，
（1）如果f（z）在z
的主要部分所有项都等于0，则
z=z
0为f（z）的可去奇点。

（2）如果f（z）在z
的主要部分所有项只含有限项
数，则z=z
为f（z）的极点。

若f（z）在z
的洛朗级数为f z()=
C
-m
z-z
()m+…+C0+C1z-z0+…，称z=z0为f（z）的m阶极点。

特
殊地，m=1时，称为简单极点。

（3）如果f（z）在z
的主要部分有无穷多项，则z=z
为f（z）的本性奇点。

如何判别孤立奇点的类型呢？
一、定义法
根据孤立奇点的定义，只需将函数f（z）在z
处洛朗
级数展开，找出负幂次项的个数。

例如，0分别是
sinz
z
，
sinz
z2
及e
1
z的可去奇点，简单
极点及本性奇点。

常用于在z=0洛朗级数展开的函数：
1）e z=1+
z
1！
+
z2
2！
+…
z n
n！
+…z<+∞
2）sinz=z-
z3
3！
+
z5
5！
-
z7
7！
+…（-1）n
z2n+1
（2n+1）！
+…
z<+∞
3）cosz=1-
z2
2！
+
z4
4！
+…+（-1）n
z2n
（2n）！
+…
z<+∞
二、极限法
设z=z
为f（z）的孤立奇点，可由以下极限值判别出
孤立奇点的分类。

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lim z →z 0
f z ()=
0∞
不存在且不为∞
⎧⎩
⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐
z=z 0为可去奇点z=z 0为极点z=z 0为本性奇点
注：（1）求解极限通常用洛必达法则；（2）极限法判别极点不能说明阶数。

现说明极点阶数的确定方法：Th1
z=z 0为f （z ）的m 阶极点⇔f （z ）可表示成如下
形式：f （z ）=
φ（z ）
z-z 0()
m
，其中φ（z ）是在z-z 0<δ内的解
析函数，
且φz 0()≠0。

若f （z ）=φ（z ）ψ（z ）
，且z=z 0为φ（z ）的m 阶零点，z=z 0为
ψ（z ）的n 阶零点，即f （z ）=z-z 0()m
φ1（z ）
z-z 0()n
ψ1（z ）
=z-z 0()m-n
Q
（z ），
1）当m ≥n 时，z 0为f （z ）可去奇点；2）当m<n 时，z 0为f （z ）的n-m 阶极点。

Th2
z=z 0为f （z ）
的m 阶极点⇔z=z 0是1
f （z ）
的m 阶零点。

例1
说明f （z ）=e z
-（1+z ）z
4
的奇点类型解（方法一）f （z ）在z=0的去心领域内的洛朗级数展开为
f （z ）=
1z
4
1+z+12！z 2+…(
)
-（1+z ） []
=12！z
2+13！z +14！+1
5！
z+…（0<z <∞）其中负幂次项有限个，z=0为极点，且负幂次项最高次幂为2，z=0为二阶极点。

（方法二）
lim z →0
e z -（1+z ）z 4=lim z →0e z -14z 3=lim z →0
e
z
12z
2=∞根据极限值，z=0为极点。

又由于z=0是z 4
的四阶零点，z=0为e z
-（1+z ）的二阶零点，故z=0是f （z ）的二阶极点。

例2判断函数f （z ）=e 1
z
的奇点的类型
解（极限法）z=0是f （z ）的奇点，考察极限lim z →0
f （z ）。

由lim x →0+
y=0
f （
z ）=lim x →0-
y=0
e 1x
=+∞；lim x →0-
y=0
f （z ）=lim x →0-
y=0
e 1x
=0，可知，lim z →0
f （z ）不存在且不为∞。

因此，z=0是f （z ）的本性奇点。

例3研究函数e 1
z-1
的孤立奇点的类型
解
因为函数e
1z-1
在全复平面除点z=1的区域上
为解析，所以z=1是它的唯一的孤立奇点。

将e 1z-1
在0<
z-1<+∞展开为洛朗级数（见上常用公式），得到e 1z-1
=1+
1z-1+12！（z-1）2+…+1
n ！（z-1）
n +…，该级数有无限多个负次幂项，所以是本性奇点。

孤立奇点在解析函数中的应用非常广泛，通常用于留数的计算、留数定理、留数在计算定积分中的应用。

其中，留数定理在理论上与实际问题中都具有重要意义。

参考文献：
[1]李红，谢松法.复变函数与积分变换（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2008.
[2]钟玉泉.复变函数论（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1988.
[3]曾长雄.关于复合函数的孤立奇点与残数计算[J].中国校外教育，2009，（S3）.
[4]余家荣.复变函数[M].北京：高等教育出版社，1992.[5]冯丽萍.孤立奇点的判别[J].科技信息，2011，（35）.
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