托勒密定理[1]

利用托勒密定理解竞赛题
托勒密定理是平面几何中的一个重要定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边的关系。

本文通过近年来的各类竞赛题，阐述其重要作用。

一、托勒密定理及其逆定理
1．托勒密定理：圆内接四边形两组对边乘积之和，
等于两条对角线的乘积。

已知：四边形ABCD 内接于圆，如图，求证：
AB·CD+BC·AD=AC·BD 证明：在∠BAD 内作∠BAE =∠CAD ，交BD 于E 。

因∠ABE=∠ACD ，所以△ABE ∽△ACD ，从而AB·CD =AC·BE ①；易证△ADE ∽△ACB ，所以BC·AD=AC·DE
②；①+②得AB·CD+BC·AD=AC·BD 。

2．托勒密定理的逆定理：如果凸四边形两组对边的积的和，等于两对角线的积，此四边形必内接于圆。

已知四边形ABCD 满足AB·CD+BC·AD=AC·BD ，求
证：A 、B 、C 、D 四点共圆。

证明：构造相似三角形，即取点E ，使∠BCE =∠ACD ，且∠CBE =∠CAD ，则△CBE ∽△CAD 。

所以BC·AD=AC·BE ①；又CD
CA CE CB =，∠BCA =∠ECD ，所以△BCA ∽△ECD 。

AB·CD =AC·DE ②；①+②得AB·CD+BC·AD=AC·（BE+DE ）。

显然有BE+DE≥DB 。

于是AB·CD+BC·AD≥AC·DB 。

等号当且仅当E 在BD 上成立，结合已知条件得到此时等号成立，这时∠CBD =∠CAD ，即A 、B 、C 、D 四点共圆。

由上述证明，我们得到：
3．托勒密定理的推广：在四边形ABCD 中，恒有AB·CD+BC·AD≥AC·DB ，当且仅当四边形ABCD 内接于圆时等号成立。

二、应用
托勒密定理以其简介而优美的形式著称，在有关圆内接四边形问题及证四点共圆时有其独特的功效。

（1）证线段的和、差关系。

例1．在△ABC 中，AB<AC<BC ，D 点在BC 上，E
点在BA 的延长线上，且BD=BE=AC ，△BDE 的外接圆
与△ABC 的外接圆交于F 点，求证：BF=AF+CF 。

证明：连接EF ，DF ，因∠ACF=∠ABF=∠EDF ，
∠DEF =∠FBD =∠CAF ，所以△AFC ∽△EFD 。

于是m CF DF AC DE AF EF ===，即EF=m·AF ，DE=m·AC ，DF=m·CF 。

由托勒密定理知DF ·DE=BD ·EF +BE ·DF 。

D
又AC=BE=BD ，分别代入上式，故BF=AF+CF 。

（2）求最值
例2.已知圆周被其上二定点A 、B （A ≠B ）分成两端狐，试指出弧上的动点P 在其中指定一段弧的哪个位置时，
P A+PB 取最大值？证明你的结论并求出这个最大值。

证明：取劣弧AB 的中点C （C 与P 在AB 两侧），由
托勒密定理知AC·PB+BC·P A=AB·PC 。

因AC=BC ，所以AC （PB+P A ）=PC·AB ，即PB+P A=AC
AB ·PC 。

显然AB ，AC 均为定值，只需PC 最大，因C 为定点，
必然PC 为最大弦，即PC 为直径时，PB+P A 取最大值，于是P A=PB ，PB+P A=AC
AB ·2R 。

若记∠APB=α，易知P A+PB 的最大值AB ∂-=cos 12。

（3）证四点共圆
例3．已知D 为正△ABC 。

的∠ABC 内一点，且
DA=DB+DC ，求证：A ，B ，C ，D 四点共圆。

证明：由△ABC 为正三角形，得AB=BC=CA 。

因
DA=DB+DC ，所以
BC·AD=BC·DB+BC·DC=AC·DB+AB·DC ，由托勒密逆定理
得A ，B ，C ，D 四点共圆。

（4）解方程 例4．若a ≥b ≥c ＞0，且a ＜b +c ，解方程ax b x c c x b =-+-2222。

解：由题意得以a ，b ，c 为边可作一个三角形，如图所示。

设AB=c ，BC=a ，CA=b 。

分别作AC 、AB 的垂线，它们交于D 点，于是ABDC 内接于圆。

由托勒密定理得AC·BD+AB·CD=AD·BC ，即AD a b AD c c AD b •=-+-2222所以原方程与上式同解，只需求AD 。

在△ABC 中，AD CAB a =∠sin ，CAB bc S ABC ∠=∆sin 2
1，而))()((c s b s a s s S ABC ---=∆，其中)(21c b a s ++=，∴))()((2c s b s a s s abc AD ---=为原方程的根。

（5）证定值问题
例5．如图，圆O 外接于正方形ABCD ，P 为弧AD 上的任意一点，求证
B C
PB
PC PA +为定值。

证明：连PC ，P A ，设正方形边长为a ，由托勒密定理得AC·PB=AP·BC+AB·PC ，即2·PB=a·AP+a·PC ，∴2=+PB
PC PA 。

（6）证不等关系
例6．设1C ，2C 是同心圆，2C 的半径是1C 半径的2倍，四边形4321A A A A 内接于1C ，将14A A 延长交圆2C 于1B ，21A A 延长交圆2C 于2B ，32A A 交圆2C 于3B ，43A A 延长交圆2C 于4B ，试证：四边形4321B B B B 的周长≥2×四边形4321A A A A 的周长，并请确定等号成立的条件。

证明：在四边形211B B OA 中，由托勒密定理的推广，得112211B A OB B B OA •+•≥211B A OB •。

因OA OB OB 221==，于是11212B A B B +≥
)(22221B A A A +。

① 同理22322B A B B +≥)(23332B A A A +。

② 33432B A B B +≥)(23343B A A A +。

③
44142B A B B +≥)(21114B A A A +。

④ 相加，得14433221B B B B B B B B +++≥)(214433221A A A A A A A A +++
①式等号成立当且仅当211B B OA 内接于圆成立，可得2141A A A A =，同理有4332A A A A =，1443A A A A =，即4321A A A A 是正方形，从而4321B B B B 为正方形。

A C P。