第24.1讲 波的能流

dE p
1 2
A sin [ ( t
2 2 2 2 2 2
x u
d E k d E p A sin [ ( t
周期性变化
比较单一谐振子的能量
Ek Ep 1 2 1 2
1 2 kA
2
m A sin ( t )
2 2 2
m A co s ( t )
谐振子能量和简谐波能量的差异之二 以弦上的横波为例：
波形顶端形变最小几乎为零，故此处弹性势能 最小─零值。同时，因该处介质元已达偏离平衡位 置最大点，速度为零，即动能最小；而在平衡点， 波形斜率最大，故而势能最大，过平衡点时动能也 是最大。
若将一软绳（弹性媒质）划分为多个小单元（体积元）
各体积元产生不同程度的弹性形变， 具有弹性势能 E p 上 下 形变最小 振速 v 最小 抖 动 形变最大 振速 v 最大
例题2 ： 一电磁波以 5 kw 的功率发射电磁波， 求离波源 50 km 处电磁波的强度和平均能 量密度。(球面波) 解： 已知
P 5 10
2
3 6
4 5 0 1 0 1 .5 9 1 0 3 10
8 7
1 .5 9 1 0
7
t 时刻波形
波的能量
未起振的体积元
具有振动动能 E k 各体积元以变化的振动速率 v 上下振动，
二、弹性体中波的能量和能量密度
在 x 处取一体积元 dV 质量为 dm dV 体积元内媒质质元动能为
dEk 1 2
A sin [ (t
2 2 2
x u
) ]dV
体积元内媒质质点的弹性势能为
2 2
1 2
u A2 S2T
2 2
S2 4r
2 2
A1r1 A2r2
r2
振幅与离波源的距离成反比 如果距波源单位距离的振幅为 A 则距波源 r 处的振幅为 A / r 由于振动的相位随距离的增加而落后的关系， 与平面波类似，
y r
r1
球面简谐波的波函数：
A cos[ ( t r u ) ]
2 2 2
交替变化 相位差π/ 2 总能量守恒
E Ek E p
谐振子能量和简谐波能量的差异之一
波动过程中，弹性介质质元不是孤立的， 它们与相邻质点间有相互作用。作用过程中， 吞吐能量，形成能量的传递。 可证明，能量沿行波方向传递。 a b c
a 对 b 作正功，b 对 a 作负功同时对 c 作正功
)
2
dE p
1 y 2 T (ds dx ) T ( ) dx 2 x
按虎克定律， T k x
y x
则 T x
张力的变化正比于长度的变化，
因此，只要
(ds dx )
是一级小量(微振动)，
即 T 的变化就是二级小量， 所以可以略去 T 的变化，视其为恒量。
y x A

u
sin [ ( t
x u
)]
T u
2
而
∴
u
dE p 1 2
T /
2 2
即
2
d x A sin [ ( t
x u
)]
dE k
1 2
A sin [ ( t
2 2 2
x u
) ]d x
同步变化
) ]d x x u ) ]d x
2 2 2
x u
) ]
平均能量密度： 一个周期内能量密度的平均值。
w 1 T

t T t
w dt
1


x x
w dx
1 2
A
2
2
有人在能量方面做过计算：
大量观众欢呼足球射入球门时的吼声， 差不多相当于烧一杯咖啡的热量。
三、波的能流和能流密度
能流: 单位时间内通过介质中 某一垂直截面的能量。
11.4 波的能量、能流
波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振 动能量的传播。 波的确是携带能量的。海啸过后，海岸边的民 房、设施遭到严重破坏，远离地震中心的地区，也 遭到地震波的冲击，造成生命、财产的损失……。 下面我们对波的能量作定量分析
y
一、弦线上波的能量 先研究原长为dx的元段ds具有 的能量 1 1 2 2 dE k dm v dxv 动能
w /m
2
w
I u

5 .3 0 1 0
16
J/m
3
dE p 1 2
A sin [ (t
2 2 2
x u
) ]dV
体积元内媒质质点的总能量为：
dE dE k dE p A sin [ (t
2 2 2
x u
) ]dV
能量密度：
w dE dV
单位体积介质中所具有的波的能量。
A sin [ ( t
弦在波动过程中，质元的势能只能是弦被拉伸 时的弹性势能，它可由弹性力的功度量。因而此式 的物理意义是弹性质元因振动而偏离平衡位置所具 有的弹性势能。
这个表达式还意味着，我们假定弦线形变是微 小的，因而张力 T 可视为恒量，这种假定合理吗?
考察∶
因为
ds
dx dy
2
2

1 (
dy dx
) dx
2
按泰勒级数展开 略去高阶小量
1 y 2 （1 ( ) ） d x 2 x
dE p T (ds dx )
T( 1 (
dy dx
) dx dx )
2
1 y 2 T ( ) dx 2 x
由此式看，长度 d x 的变化 d s d x 正比于 (
y x
P w u S
u
S
u
平均能流： 在一个周期内能流的平均值。
P wuS
wuS
单位：瓦特
平均能流密度（波强）：单位时间，通过垂直于波 传播方向的单位面积的平 均能量。
I P S
wu
1 2
A u
2 2
单位：瓦特/平方米
例题1 ： 求证，在均匀不吸收能量的媒质中传播 的平面波在行进方向上振幅不变，球面波的 振幅与离波源的距离成反比。
2 2
y
ds
由 y ( x , t ) A co s[ ( t
x u
)]
x
元段ds的振动速度 所以
v
y t
1 2
A sin [ ( t
x u
)]
x u
dE k
d x A sin [ ( t
2 2 2
)]
势能
dE p T (ds dx )
证明：
对平面波
u
在一个周期 T 内通过S1和S2面的能量应该相等
I1 S1T I 2 S2T ,
S1
S2
S1 S2 S
1 2
u A S1T
2 2 1
1 2
2 u 2 A2 S 2T
所以,平面波振幅相等。 A1 A2
对球面波：
S1 4r1 ;
2
1 2
u A1 S1T