[13][ch6][地图投影概述&正形投影]

ds 2 (dx) 2 (dy) 2 m2 ( ) 2 dS r [(dq) 2 (dl) 2 ]
Conformal projection from ellipsoid x a plane to x dx q dq l dl x f1 (q, l ) x F1 ( B, L) y y y f 2 ( q, l ) y F2 ( B, L) dy dq dl 2、公式推导(柯西-黎曼微分方程) q l ds 2 (dx) 2 (dy) 2 ds2 (dx) 2 (dy) 2 m2 ( ) 2 m2 2 dS r [(dq) 2 (dl) 2 ] dS ( MdB) 2 (rdL) 2
2、特点
在微小范围内投影的长度比m 与方向无关，但随点位而 改变。 ab
6.2.椭球面到平面的正形投影 投影函数
二、正形投影条件
大地坐标 (B,L)
Conformal projection from ellipsoid to a plane x F1 ( B, L) y F2 ( B, L)
推算 平差
推算 平差 平面坐标 （X，Y）
水平坐标
大地坐标 （L，B）
6.1.地图投影概述
Introduction of map projection
N P
Q
O
几何法示意图
6.1.地图投影概述
Introduction of map projection
1、投影的意义(Significance of projection)
6、投影的分类（classification of projection） 等角投影（正形投影） a b
用途：基本地形图，航海图，航空图……
等积投影 a b 1
用途：行政区划图，经济图……
任意投影 a b且a b 1
用途：要求不太严格的地图，普通地图，交通图……
主要及重点内容
椭球面
x A' O'
α
B'
P ' y
投影平面
6.1.地图投影概述
Introduction of map projection x a 数值的含义？ y b ξ
A O
长度变形
r m 1, m为长度比
α
B
P
η
方向变形
( ),从主方向量算
t an
地图投影的定义 投影变形 地图投影的分类
后续内容
6.2 椭球面到平面的 正形投影 6.3 高斯-克吕格投影
6.2.椭球面到平面的正形投影
一、正形投影 1、定义
Conformal projection from ellipsoid to a plane
在微小区域内，椭球面图形投影后保持形状不变，也就是 说，投影到平面上的微小图形与椭球面上的微小图形相似。
tan
椭球面
tan
y b x a
x A' O'
α
B'
P ' y
b tan a
投影平面
6.1.地图投影概述 sin( ) tan tan Introduction of mapprojection
方向变形
cos cos sin( ) tan tan ξ cos cos
长度变形 方向或角度变形
面积变形
变形在所难免！
6.1.地图投影概述
Introduction of map projection
5、投影变形（projection deformation）
dS 2 (MdB) 2 (rdL) 2 ds 2 (dx) 2 (dy) 2
一般情况下，会随点位和方向变化 长度比
控制地形测图 简化计算
2、投影的定义(Definition of projection)
在大地测量中，所谓地图投影，就是将椭球面上的元素，按照一定 的数学规则归算到平面上。椭球面元素包括点的大地坐标、大地线的方 向和长度以及大地方位角等，其中点的坐标是关键。因为点的位置确定 后，两点间大地线的方位和距离自然就确定了。
α
B
P
η
椭球面
x A' O'
α
B'
P ' y
投影平面
6.1.地图投影概述
方向变形
b Introduction of map projection tan tan a tan 0 tan( 90 ξ 0 ) cot 0
( ),从主方向量算
投影平面
6.1.地图投影概述
Introduction of mapsin( ) projection
a b sin( ) ab 角度变形即角度的两边方向变形之差
角度变形
u u u, u为椭球面角度， 为相应投影平面角度 u
令
u 2 1 , u 2 1
ξ A O
变形椭圆（deformation ellipse）
OA P: OB x OA P : y OB
α
B
P
η
设主方向的长度比分别为a和b： OA OA a x a OB y b b OB x2 y2 2 2 1 2 2 1 a b
E cos2 A 2 F sin A cos A G sin 2 A m2 r2
E (dq) 2 2F (dq)(dl) G(dl) 2 m2 r 2 [(dq) 2 (dl) 2 ]
sin( ) a b sin( ) ab
A O
α
B
P
η
椭球面
最大方向变形：0 0 90 / 270
sin( 0 0 ) a b ab
x A' O' y
a b t an 0 , t an 0 b a
过椭球面上某点，通
常有两条互相正交的曲线，
它们在平面上的投影曲线 也是互相正交的，这样两 条曲线所在地方向叫主方 向。因为长度比在主方向
K' I1 ' I' O' I O K1'
上有极值存在，所以也可
说，长度比极值所在的方 向称为主方向。
6.1.地图投影概述
Introduction of map projection
a b umax 2 arcsin ab
6.1.地图投影概述
Introduction of map projection
ξ A
面积变形
面积比P：椭球面上一无限小的
α
B
P
η
O
图形，投影到平面上的面积与原
椭球面图形面积之比的极限。
P
椭球面
ab ab
x A'
面积变形：
α
B'
P ' y
m lim (
PP 0 1
(Length ratio)
P' P ' 1 ) PP 1
m ds dS
(dx) 2 (dy) 2 m2 ( MdB) 2 (rdL) 2
6.1.地图投影概述
Introduction of map projection
K
I1 K1
主方向（main direction）
A O
( ),从主方向量算
b tan tan a a b t an t an t an a ab t an t an t an a
a b sin( ) sin( ) ab
按创始人的姓名：如墨卡托、高斯投影等
等角投影（正形投影）
投影前后，角度不发生变形 投影前后，方向不发生变形
ab
椭球面某点的长度比为一常数，不随方向而变
6.1.地图投影概述
面积变形 Introduction of map projection
P 1 ab 1
6、投影的分类（classification of projection）
6.2.椭球面到平面的正形投影 2 2 2 2
二、正形投影条件
2、公式推导(柯西-黎曼微分方程)
dS (MdB) (ellipsoid dq) 2a plane rdL) r [( to (dl ) 2 ] Conformal projection from
ds2 (dx) 2 (dy) 2 m2 2 dS ( MdB) 2 (rdL) 2
ξ
变形椭圆（deformation ellipse）
在一定点上，长度比一般随 方向而变化的。如果以定点为中 心，以长度比的数值为向径，构 成以两个主方向为轴，以两个长 度比极值为长短半径的椭圆，这
A O
α
B
P
η
椭球面
x A' O'
个椭圆称为变形椭圆。
α
B'
P ' y
投影平面
6.1.地图投影概述
Introduction of map projection
第十三讲
地图投影概述
椭球面上的大地坐标
平面上的大地坐标
内容回顾
Review
确定水平坐标的流程
水平方向 垂直角 地面距离 天文经纬度 天文方位角
已知坐标 （L，B） 水平方向 大地线长 大地方位角
已知坐标 （X，Y） 水平方向 平面距离 平面方位角
布设水平 观测 地面上观 归算 椭球面上 归算 高斯平面 的元素 控制网 测元素 的元素