实际问题与二元一次方程组应用题归纳(整理)

实际问题与二元一次方程组应用题归纳
(整理)
实际问题与二元一次方程组题型归纳
知识点一：列方程组解应用题的基本思想
解应用题时，我们需要把“未知”转化为“已知”，这就是列方程组解应用题的基本思想。

关键在于找出已知量和未知量之间的联系，确定相等关系。

一般情况下，如果有几个未知数，就需要列出几个方程，确保方程两边表示的是同类量，同类量的单位要统一，方程两边的数值要相等。

知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系
1.行程问题：
1) 追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。

这类问题比较直观，可以画线段，用图便
于理解与分析。

其等量关系式是：两者的行程差等于开始时两者相距的路程。

2) 相遇问题：相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。

这类问题也比较直观，因此也可以画线XXX帮助理解与分析。

这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和等于总路程。

3) 航行问题：船在静水中的速度加水速等于船的顺水速度；船在静水中的速度减水速等于船的逆水速度；顺水速度减逆水速度等于2倍的水速。

需要注意的是，飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。

2.工程问题：工作效率乘以工作时间等于工作量。

3.商品销售利润问题：
1) 利润等于售价减去成本（进价）；
2) 利率等于利润除以成本（进价）；
3) 利润等于成本（进价）乘以利润率；
4) 标价等于成本（进价）乘以（1加上利润率）；
5) 实际售价等于标价乘以打折率。

需要注意的是，“商品利润等于售价减去成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。

打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。

（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）
4.储蓄问题：
1) 基本概念
本金：顾客存入银行的钱叫做本金。

利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。

本息和：本金与利息的和叫做本息和。

期数：存入银行的时间叫做期数。

利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。

利息税：利息的税款叫做利息税。

2) 基本关系式
利息等于本金乘以利率乘以期数；
本息和等于本金加上利息，也就是本金乘以（1加上利率乘以期数）；
利息税等于利息乘以利息税率，也就是本金乘以利率乘以期数乘以利息税率；
税后利息等于利息乘以（1减去利息税率）；
年利率等于月利率乘以12.
需要注意的是，免税利息等于利息。

5.配套问题：
解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例等于每一套各部分之间的比例。

6.增长率问题：
1.解决增长和减少问题时，我们可以使用以下等量关系式：原量×(1＋增长率)＝增长后的量；原量×(1－减少率)＝减少后
的量。

例如，如果一件商品原价为100元，现在涨价了20%，那么现在的价格就是100×(1+0.2)=120元。

如果原价为100元，现在打折了30%，那么现在的价格就是100×(1-0.3)=70元。

2.和差倍分问题的基本等量关系是：较大量＝较小量＋多
余量，总量＝倍数×倍量。

例如，如果两个数的和为12，差为
4，那么这两个数分别是4和8.如果一个数比另一个数大6倍，它们的和为35，那么这两个数分别是5和30.
3.在数字问题中，我们需要正确掌握自然数、奇数、偶数
等有关概念、特征及其表示。

例如，当n为整数时，奇数可表示为2n+1(或2n-1)，偶数可表示为2n等。

另外，两位数的基
本等量关系式为：两位数=十位数字×10+个位数字。

4.在浓度问题中，我们可以使用以下等量关系式：溶液质
量×浓度=溶质质量。

例如，如果一瓶药水中含有5克的药物，溶解在100毫升的水中，那么这个药水的浓度就是
5÷100=0.05克/毫升。

5.解决几何问题时，我们需要掌握有关几何图形的性质、
周长、面积等计算公式。

例如，矩形的周长是两个相邻边的长度之和的两倍，面积是长乘以宽。

另外，圆的周长是直径乘以π，面积是半径的平方乘以π。

6.在年龄问题中，关键是抓住两人年龄的增长数是相等的，两人的年龄差是永远不会变的。

例如，如果两个人的年龄差为
10岁，现在他们的年龄增加了5岁，那么他们的年龄差仍然是10岁。

7.在优化方案问题中，我们需要从几种方案中选择最佳方案，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。

注意：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点，比较几种方案得出最佳方案。

8.列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步。

首先，通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数。

然后，找出能够表示题意两个相等关系。

接着，根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组。

解这个方程组，求出两个未知数的值。

最后，在对求得的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案。

在列方程组解应用题时，需要注意单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列方程组与解方程组时不要带单位。

此外，列方程组解应用题一定要注意检验。

1.甲、乙两地相距160千米。

一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇。

相遇后，拖拉机
继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机。

这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？
解析：设汽车速度为x千米/小时，拖拉机速度为y千米/
小时。

根据题意，可以列出以下两个方程：
160 = 1.33x + 1.33y。

（1小时20分 = 1.33小时）
x = 2(y - x)。

（汽车追上拖拉机时，拖拉机已经行驶了
1.5小时）
将第二个方程代入第一个方程，解得y = 40，x = 30.因此，汽车行驶了1.5 + 0.5 = 2小时，行驶了60千米；拖拉机行驶
了1.5小时，行驶了60千米。

变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行。

如果甲比
乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果
XXX比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇。

甲、乙两人每小时各走多少千米？
解析：设甲、乙两人的速度分别为x、y千米/小时。

根据题意，可以列出以下两个方程：
36 = 2x + 2.5y
36 = 3x + y
解得x = 6，y = 12.因此，甲每小时走6千米，乙每小时走12千米。

变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时。

求船在静水中的速度和水流速度。

解析：设船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y 千米/小时。

根据题意，可以列出以下两个方程：
280 = 14(x + y)
280 = 20(x - y)
解得x = 15，y = 5.因此，船在静水中的速度为15千米/小时，水流速度为5千米/小时。

2.一家商店要进行装修。

若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元。

问：(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲
组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？
解析：设甲、乙两组每天的工作效率分别为x、y。

根据
题意，可以列出以下两个方程：
8(x + y) = 3520
6x + 12y + 8y = 3480
解得x = 80，y = 70.因此，甲、乙两组工作一天，商店应
分别付160元、140元。

对于第二个问题，可以计算出甲组单独完成需要的费用为960元，乙组单独完成需要的费用为1680元。

因此，商店应
该选择甲组单独完成，这样可以节约720元。

变式】XXX家准备装修一套新住房。

若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元。

若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，XXX家应选甲公司还是乙公司？请说明理由。

解析：设甲、乙两个公司每周的工作效率分别为x、y。

根据题意，可以列出以下两个方程：
6(x + y) = 5.2万
4x + 9y = 4.8万
解得x = 1.2万/周，y = 0.4万/周。

因此，甲公司单独完成需要的费用为7.2万元，乙公司单独完成需要的费用为16万元。

显然，XXX家应该选择甲公司单独完成，这样可以节约8.8万元。

3.有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%，乙商品的利润率为4%，共可获利46元。

价格调整后，甲商品的利润
率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元。

则两件商
品的进价分别是多少元？
解析：设甲、乙两件商品的进价分别为x、y元。

根据题意，可以列出以下两个方程：
0.05x + 0.04y = 46
0.04x + 0.05y = 44
解得x = 400，y = 600.因此，甲商品的进价为400元，乙
商品的进价为600元。

变式1】（2011湖南衡阳）XXX去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利元。

其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元。

XXX去年甲、乙两种蔬菜各种植
了多少亩？
解析：设甲、乙两种蔬菜分别种植了x、y亩。

根据题意，可以列出以下两个方程：
2000x + XXX
x + y = 10
解得x = 6，y = 4.因此，甲种蔬菜种植了6亩，乙种蔬菜
种植了4亩。

变式2】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完
后共获利6万元，其进价和售价如下表：
进价（元/件）售价（元/件）
A 1200 1380
B 1000 1200
注：获利=售价—进价）求该商场购进A、B两种商品各
多少件。

解析：设A、B两种商品分别购进了x、y件。

根据题意，可以列出以下两个方程：
1380x + 1200y =
180x + 200y = 6000
解得x = 20，y = 10.因此，商场购进了20件A商品和10件B商品。

XXX的妈妈为了筹备XXX上高中的费用，分别以教育储蓄和一年定期存款两种方式在银行共存了2000元钱。

教育储蓄的年利率为2.25%，没有利息所得税；一年定期存款的年利率也为2.25%，一年后可取出2042.75元。

问这两种储蓄各存了多少钱？
XXX以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息43.92元。

已知两种储蓄年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（提示：公民应缴利息所得税=利息金额×20%）
XXX的爸爸为了筹备她上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱。

第一种方式是一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数相同，银行利率为年息2.25%。

第二种方式是三年期整存整取，银行年利率为2.70%。

三年后同
时取出共得利息303.75元（不计利息税）。

问XXX的爸爸两种存款各存入了多少元？
某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只。

现计划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗）。

应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？
现有190张铁皮可以做盒子，每张铁皮可以做8个盒身或22个盒底。

一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子。

问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？
某工厂有60名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品。

每人每天可以生产螺栓14个或螺母20个。

应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套？
一张方桌由1个桌面和4条桌腿组成。

如果1立方米木料可以做桌面50个，或做桌腿300条。

现有5立方米的木料，
那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好配成方桌？能配多少张方桌？
某工厂去年的利润（总产值减去总支出）为200万元。

今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%。

今
年的利润为780万元。

问去年的总产值、总支出各是多少万元？如果条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元？
9.（2011年北京市东城区中考一模试题）一瓶药水中，含有甲醛和甲酸两种物质，甲醛的质量分数为30%，甲酸的质
量分数为10%．现需要用这瓶药水制备一种新药，要求甲醛
的质量分数为20%．现准备取出一定量的药水，加入一定量
的水，使得甲醛的质量分数降为20%．问需要加入多少毫升
的水？
13
变式1】某化工厂有两种浓度分别为20%和30%的盐水，现需要制备一种浓度为25%的盐水，需要从这两种盐水中各
取多少升混合在一起？（假设混合后的盐水总量为10升）变式2】某药厂生产一种药品，需要将浓度为40%的溶液
加水稀释，使得浓度变为30%．现有100毫升浓度为40%的
溶液，问需要加入多少毫升的水？
变式3】某食品厂需要制作一种酱油，现有浓度为40%的
酱油100千克，需要加入一定量的水，使得浓度变为
30%．问需要加入多少千克的水？
9.现有甲、乙两种酒精溶液，甲种酒精与水的比为3∶7，乙种酒精与水的比为4∶1，需要得到酒精与水的比为3∶2的
酒精溶液50kg，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？
设甲、乙两种酒精溶液分别取x、y kg，则有以下方程组：
3x/10 + 4y/5 = 3/5 * 50 (酒精的总量)
7x/10 + y/5 = 2/5 * 50 (水的总量)
化XXX：
6x + 16y = 180
14x + 2y = 140
解得：
x = 4
y = 20
因此，甲、乙两种酒精溶液应分别取4kg和20kg。

变式1：需要配制浓度为45%的盐水12kg，现有10%和85%的盐水，问各需多少？
设10%盐水x kg，85%盐水y kg，则有以下方程组：
0.1x + 0.85y = 5.4 (盐的总量)
x + y = 12 (盐水的总量)
解得：
x = 6
y = 6
因此，需要取6kg的10%盐水和6kg的85%盐水。

变式2：一种浓度为35%的新农药，需要稀释到1.75%才
能最有效地治虫，问需要加多少水，用多少千克浓度为35%
的农药才能配成800kg的农药？
设需要加水x kg，用35%农药y kg，则有以下方程组：
0.35y = 0.0175 * 800 (酒精的总量)
y + x = 800 (农药的总量)
解得：
x = 640
y = 40
因此，需要加640kg的水，用40kg的浓度为35%的农药。

10.用8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方
形地砖的长和宽分别是a和b，求长和宽分别为多少？
设长方形地砖的长和宽分别为x和y，则有以下方程组：
2x + 2y = 8a (周长)
xy = 8ab (面积)
化XXX：
x + y = 4a
xy = 8ab
解得：
x = 2a + 2b
y = 2a - 2b
因此，长和宽分别为2a+2b和2a-2b。

变式1：用长为48厘米的铁丝弯成一个矩形，将长边剪掉3厘米，补到短边上去后得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？
设矩形的长和宽分别为x和y，则有以下方程组：
2x + 2y = 48 (周长)
x*y = A (矩形面积)
化XXX：
x + y = 24
x*y = A
剪掉3厘米后，长和宽分别变为x-1和y+1，补到短边上后得到的正方形面积为(x-1)^2，因此，正方形的面积比矩形面积大：
x-1)^2 - A = x^2 - 2x + 1 - A = (x-1)*(x-1-A/y)
解得：
x = 13
y = 11
因此，矩形的长和宽分别为13cm和11cm，正方形的面积比矩形面积大2cm^2.
变式2：一块矩形草坪的长比宽的2倍多10m，它的周长是132m，则长和宽分别为多少？
设矩形草坪的长和宽分别为x和y，则有以下方程组：
2x + 2y = 132 (周长)
x = 2y + 10 (长比宽的2倍多10m)
化XXX：
x + y = 66
x = 2y + 10
解得：
x = 48
y = 18
因此，长和宽分别为48m和18m。

11.父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，求现在父亲和儿子的年龄各是多少？
设儿子的年龄为x，则父亲的年龄为5x，6年后他们的年龄分别为x+6和5x+6，因此有以下方程组：
5x = XXX's age
x+6 = son's age + 6
5x+6 = 3*(x+6)
化XXX：
4x = 12
x = 3
解得：
XXX 15
son's age = 3
因此，现在父亲的年龄是15岁，儿子的年龄是3岁。

变式1：XXX今年的年龄是他爷爷的五分之一，12年后他的年龄变成爷爷的三分之一，求XXX今年的年龄。

设XXX今年的年龄为x，则爷爷的年龄为5x，12年后他们的年龄分别为x+12和5x+12，因此有以下方程组：
5x = XXX's age
x+12 = 1/3*(5x+12)
化XXX：
15x = 108
x = 7.2
因此，XXX今年的年龄是7岁（近似值）。

12.一家农工商公司收获了140吨绿色蔬菜，需要在15天
内全部销售或加工完毕。

如果直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润为4500元；经精加工后销售，每
吨利润为7500元。

该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜
进行粗加工，每天可以加工16吨；如果进行细加工，每天可
加工6吨。

但两种加工方式不能同时进行。

你认为选择哪种方案获利最多？为什么？
设直接销售x吨，粗加工y吨，精加工z吨，则有以下方
程组：
x + y + z = 140 (蔬菜的总量)
y/16 + z/6 <= 15 (加工时间的限制)
1000x + 4500y + 7500z = profit (总利润)
化XXX：
y + z <= 960
100x + 450y + 750z = profit
根据线性规划的思想，我们可以画出下面的图形：
其中，红色线段表示加工时间的限制，绿色线段表示蔬菜的总量限制，蓝色线段表示利润的等值线。

图形的顶点分别是(0.0.140)，(0.80.80)，(60.80.0)，(60.0.80)，(100.0.40)，
(0.0.140/3)，(0.140/16.740/3)，(140.0.0)。

我们可以计算出每个顶点的利润：
0.0.140)：0元
0.80.80)：元
60.80.0)：元
60.0.80)：元
100.0.40)：元
0.0.140/3)：.67元
0.140/16.740/3)：元
140.0.0)：元
因此，选择方案三（60吨粗加工，80吨精加工）可以获
得最大利润，为元。

举一反三：
变式1：某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。

商场拨款
的总额和购买的电视机数量必须全部用完，且商场要求购买的电视机中甲、乙、丙三种型号的比例为3∶4∶3.问各型号电视机应该购买多少台？
设甲、乙、丙三种型号的电视机分别购买x、y、z台，则有以下方程组：
x + y + z = 50 (电视机的总数)
1500x + 2100y + 2500z = (总价值)
x/y = 3/4.y/z = 4/3 (型号比例)
化XXX：
x = 9
y = 12
z = 9
因此，甲、乙、丙三种型号的电视机应该购买9台、12台、9台。

商场进货方案分析：商场共购进50台电视机，用去9万元。

假设甲型电视机进价为x元，乙型电视机进价为y元。

则可以列出以下方程组：
50x + 50y =
其中，x和y均为正整数。

为了使商场获利最大，需要让利润最大化。

因此，需要计算出每种电视机的售价和利润，然后选择进货方案，使得总利润最大。

获利最大方案分析：商场可以选择两种进货方案，分别是购进7件A种纪念品和8件B种纪念品，或者购进10件A种纪念品和6件B种纪念品。

假设A种纪念品的进价为x元，B 种纪念品的进价为y元。

则可以列出以下方程组：
7x + 8y = 380
10x + 6y = 380
其中，x和y均为正整数。

为了使总获利最大，需要计算出每种纪念品的售价和利润，然后选择进货方案，使得总利润最大。

商店准备用不超过900元购进40件纪念品，且要求总获利不低于216元。

因此，还需要计算出每种纪念品的售价和销售数量，以确定最优进货方案。