镇江市七年级下学期期末数学试题题

镇江市七年级下学期期末数学试题题 一、选择题 1．下列数或式：3(2)-，6
1
()3-，25- ，0，21m +在数轴上所对应的点一定在原点右边的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．宁波港处于“一带一路”和长江经济带交汇点，地理位置得天独厚．全年货物吞吐量达
9.2亿吨，晋升为全球首个“9亿吨”大港，并连续8年蝉联世界第一宝座.其中9.2亿用科学记数法表示正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．如图，已知,,A O B 在一条直线上，1∠是锐角，则1∠的余角是（ ）
A ．1212
∠-∠ B ．132122∠-∠ C ．12()12∠-∠ D ．21∠-∠
4．已知线段 AB ＝10cm ，直线 AB 上有一点 C ，且 BC ＝4cm ，M 是线段 AC 的中点，则 AM 的长（ ）
A ．7cm
B ．3cm
C ．3cm 或 7cm
D ．7cm 或 9cm 5．若x=﹣
13，y=4，则代数式3x+y ﹣3xy 的值为（ ） A ．﹣7
B ．﹣1
C ．9
D ．7 6．如图，∠ABC=∠ACB ，AD 、BD 、CD 分别平分△ABC 的外角∠EAC 、内角∠ABC 、外角
∠ACF ，以下结论：
①AD ∥BC ；②∠ACB=2∠ADB ；③∠ADC+∠ABD=90°；④∠BDC=∠BAC ；其中正确的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．方程3x +2＝8的解是（ ）
A ．3
B ．103
C ．2
D ．12
8．如果+5米表示一个物体向东运动5米，那么-3米表示( )．
A ．向西走3米
B ．向北走3米
C ．向东走3米
D ．向南走3米
9．下列方程的变形正确的有（ ）
A ．360x -=，变形为36x =
B ．533x x +=-，变形为42x =
C ．2123
x -=，变形为232x -= D ．21x =，变形为2x = 10．已知a ﹣b=﹣1，则3b ﹣3a ﹣（a ﹣b ）3的值是（ ） A ．﹣4 B ．﹣2
C ．4
D ．2 11．如果2|2|(1)0a b ++-=，那么()
2020a b +的值是（ ） A ．2019-
B ．2019
C ．1-
D ．1 12．如图为一无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），可知该无盖长方体的容积为
（ ）
A ．8
B ．12
C ．18
D ．20
二、填空题
13．从一个n 边形的同一个顶点出发，分别连结这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割为6个三角形，则n 的值是___________．
14．一个商店把某件商品按进价提高20%作为定价，可是总卖不出去；后来按定价减价20%出售，很快卖掉，结果这次生意亏了4元．那么这件商品的进价是________元．
15．已知a ，b 是正整数，且a 5b <<，则22a b -的最大值是______．
16．建筑工人在砌墙时，为了使砌的墙是直的，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的细线绳作参照线.这样做的依据是：____________________________；
17．如图,某海域有三个小岛A,B,O,在小岛O 处观测到小岛A 在它北偏东61°的方向上,观测到小岛B 在它南偏东38°的方向上,则∠AOB 的度数是__________°.
18．小何买了5本笔记本，10支圆珠笔，设笔记本的单价为a 元，圆珠笔的单价为b 元，则小何共花费_____元（用含a ，b 的代数式表示）．
19．在数轴上，与表示-3的点的距离为4的点所表示的数为__________________．
20．化简：2x+1﹣（x+1）＝_____．
21．已知二元一次方程2x-3y=5的一组解为
x a
y b
=
⎧
⎨
=
⎩
，则2a-3b+3=______.
22．小康家里养了8头猪，质量分别为：104，98.5，96，91.8，102.5，100.7，103，95.5（单位：kg），每头猪超过100kg的千克数记作正数，不足100kg的千克数记作负数．那么98.5对应的数记为_____．
23．单项式
()2
6
a bc
-的系数为______，次数为______.
24．比较大小：﹣8_____﹣9（填“＞”、“＝”或“＜“）．
三、解答题
25．如图，已知∠1=∠2，∠BAC=∠DEC，试判断AD与FG的位置关系，并说明理由.
26．在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼，小龙在全校随机抽取一部分同学就“我最喜爱的体育项目”进行了一次抽样调查，下面是他通过收集的数据绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答以下问题：
(1)小龙共抽取______名学生；
(2)补全条形统计图；
(3)在扇形统计图中，“其他”部分对应的圆心角的度数是_______；
(4)若全校共2100名学生，请你估算“立定跳远”部分的学生人数.
27．如图，O为直线AB上的一点，∠AOC＝48°24′，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°．（1）求∠BOD的度数；
（2）OE是∠BOC的平分线吗？为什么？
28．O为数轴的原点，点A、B在数轴上表示的数分别为a、b，且满足（a﹣20）2+|b+10|
＝0．
（1）写出a、b的值；
（2）P是A右侧数轴上的一点，M是AP的中点．设P表示的数为x，求点M、B之间的距离；
（3）若点C从原点出发以3个单位/秒的速度向点A运动，同时点D从原点出发以2个单位/秒的速度向点B运动，当到达A点或B点后立即以原来的速度向相反的方向运动，直到C点到达B点或D点到达A点时运动停止，求几秒后C、D两点相距5个单位长度？29．如图，以点O为端点按顺时针方向依次作射线OA、OB、OC、OD.
（1）若∠AOC、∠BOD都是直角，∠BOC＝60°，求∠AOB和∠DOC的度数.
（2）若∠BOD＝100°，∠AOC＝110°，且∠AOD＝∠BOC+70°，求∠COD的度数.
（3）若∠AOC＝∠BOD＝α，当α为多少度时，∠AOD和∠BOC互余？并说明理由. 30．甲乙两站相距450km，一列慢车从甲站开出，每小时行驶65km，一列快车从乙站开出，每小时行驶85km.
（1）两车同时开出，相向而行，那么两车行驶多少小时相遇？
（2）两车同时开出，同向而行，慢车在前，多少小时快车追上慢车？
（3）快车先开30min，两车相向而行，慢车行驶多少小时两车相遇？
四、压轴题
31．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）
（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置：
（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求PQ
AB
的值．
（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有
1
CD AB
2
，此时C点停止运动，
D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN
的值不变；②MN
AB
的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并
求值．
32．如图，直线l上有A、B两点，点O是线段AB上的一点，且OA=10cm，OB=5cm．
（1）若点C 是线段 AB 的中点，求线段CO 的长．
（2）若动点 P 、Q 分别从 A 、B 同时出发，向右运动，点P 的速度为4c m/s ，点Q 的速度为3c m/s ，设运动时间为 x 秒，
①当 x =__________秒时，PQ =1cm ；
②若点M 从点O 以7c m/s 的速度与P 、Q 两点同时向右运动，是否存在常数m ，使得4PM +3OQ ﹣mOM 为定值，若存在请求出m 值以及这个定值；若不存在，请说明理由．
（3）若有两条射线 OC 、OD 均从射线OA 同时绕点O 顺时针方向旋转，OC 旋转的速度为6度/秒，OD 旋转的速度为2度/秒.当OC 与OD 第一次重合时，OC 、OD 同时停止旋转，设旋转时间为t 秒，当t 为何值时，射线 OC ⊥OD ？
33．如图，12cm AB =，点C 是线段AB 上的一点，2BC AC =.动点P 从点A 出发，以3cm /s 的速度向右运动，到达点B 后立即返回，以3cm /s 的速度向左运动；动点Q 从点C 出发，以1cm/s 的速度向右运动. 设它们同时出发，运动时间为s t . 当点P 与点Q 第二次重合时，P Q 、两点停止运动.
（1）求AC ，BC ；
（2）当t 为何值时，AP PQ =；
（3）当t 为何值时，P 与Q 第一次相遇；
（4）当t 为何值时，1cm PQ =.
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
点在原点的右边，则这个数一定是正数，根据演要求判断几个数即可得到答案.
【详解】
()32-=-8，613⎛⎫- ⎪⎝⎭=1719，25-=-25 ，0，21m +≥1 在原点右边的数有6
13⎛⎫- ⎪⎝⎭
和 21m +≥1 故选B
【点睛】 此题重点考察学生对数轴上的点的认识，抓住点在数轴的右边是解题的关键. 2．A
解析：A
【解析】
因为科学记数法的表达形式为:,所以9.2亿用科学记数法表示为:
,故选A. 点睛:本题主要考查科学记数法的表达形式,解决本题的关键是要熟练掌握科学记数法的表
达形式. 3．C
解析：C
【解析】
【分析】
由图知：∠1和∠2互补，可得∠1+∠2=180°，即
12（∠1+∠2）=90°①；而∠1的余角为90°-∠1②，可将①中的90°所表示的
12（∠1+∠2）代入②中，即可求得结果． 【详解】
解：由图知：∠1+∠2=180°，
∴12
（∠1+∠2）=90°， ∴90°-∠1=
12（∠1+∠2）-∠1=12（∠2-∠1）． 故选：C ．
【点睛】
此题综合考查余角与补角，难点在于将∠1+∠2=180°进行适当的变形，从而与∠1的余角产生联系．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
应考虑到A 、B 、C 三点之间的位置关系的多种可能，即点C 在点A 与B 之间或点C 在点B 的右侧两种情况进行分类讨论．
①如图1所示，当点C在点A与B之间时，
∵线段AB=10cm，BC=4cm，
∴AC=10-4=6cm．
∵M是线段AC的中点，
∴AM=1
2
AC=3cm，
②如图2，当点C在点B的右侧时，∵BC=4cm，
∴AC=14cm
M是线段AC的中点，
∴AM=1
2
AC=7cm．
综上所述，线段AM的长为3cm或7cm．
故选C．
【点睛】
本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．5．D
解析：D
【解析】
【分析】
将x与y的值代入原式即可求出答案．
【详解】
当x=﹣1
3
，y=4，
∴原式=﹣1+4+4=7
故选D．
【点睛】
本题考查代数式求值，解题的关键是熟练运用有理数运算法则，本题属于基础题型．6．C
解析：C
【解析】
①∵AD平分△ABC的外角∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC，
∵∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，
②由(1)可知AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABC=2∠ADB，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=2∠ADB，
故②正确．
③在△ADC中,∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB
∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，∴∠ADC+∠ABD=90°
∴∠ADC=90°−∠ABD，
故③正确；
④∵∠BAC+∠ABC=∠ACF，
∴1
2
∠BAC+
1
2
∠ABC=
1
2
∠ACF，
∵∠BDC+∠DBC=1
2
∠ACF，
∴1
2
∠BAC+
1
2
∠ABC=∠BDC+∠DBC，
∵∠DBC=1
2
∠ABC，
∴1
2
∠BAC=∠BDC，即∠BDC=
1
2
∠BAC.
故④错误．
故选C.
点睛：本题主要考查了三角形的内角和，平行线的判定和性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是正确找各角的关系.
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
移项、合并后，化系数为1，即可解方程．
解：移项、合并得，36x =，
化系数为1得：2x =，
故选：C ．
【点睛】
本题考查一元一次方程的解；熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
8．A
解析：A
【解析】
∵+5米表示一个物体向东运动5米，
∴-3米表示向西走3米，
故选A.
9．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据等式的基本性质对各项进行判断后即可解答.
【详解】
选项A ，由360x -=变形可得36x =，选项A 正确；
选项B ，由 533x x +=-变形可得42x =-，选项B 错误；
选项C ，由2123
x -=变形可得236x -=，选项C 错误； 选项D ，由21x =，变形为x =
12，选项D 错误. 故选A.
【点睛】
本题考查了等式的基本性质，熟练运用等式的基本性质对等式进行变形是解决问题的关键. 10．C
解析：C
【解析】
【分析】
由题意可知3b-3a-（a-b ）3=3（b-a ）-（a-b ）3，因此可以将a-b=-1整体代入即可．
【详解】
3b-3a-（a-b ）3=3（b-a ）-（a-b ）3=-3（a-b ）-（a-b ）3=3-（-1）
=4；
故选C ．
【点睛】
代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，利用“整体代入法”求代数式的值．
解析：D
【解析】
【分析】
根据非负数的性质可求得a ，b 的值，然后代入即可得出答案.
【详解】
解：因为2|2|(1)0a b ++-=，
所以a +2=0，b -1=0，
所以a =-2，b =1，
所以()
2020a b +=(-2+1)2020=(-1)2020=1.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了非负数的性质——绝对值和偶次方，根据几个非负数的和为零，则这几个数均为零求出a ，b 的值是解决此题的关键. 12．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据观察、计算可得长方体的长、宽、高，根据长方体的体积公式，可得答案．
【详解】
解：由图可知长方体的高是1，宽是3-1=2，长是6-2=4，
长方体的容积是4×2×1=8，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了几何体的展开图.能判断出该几何体为长方体的展开图，并能根据展开图求得长方体的长、宽、高是解题关键.
二、填空题
13．8
【解析】
【分析】
根据从一个n 边形的某个顶点出发，可以引（n-3）条对角线，把n 边形分为（n-
2）的三角形作答．
【详解】
设多边形有n 条边，
则n−2=6，
解得n=8.
故答案为8.
【点
解析：8
【解析】
【分析】
根据从一个n边形的某个顶点出发，可以引（n-3）条对角线，把n边形分为（n-2）的三角形作答．
【详解】
设多边形有n条边，
则n−2=6，
解得n=8.
故答案为8.
【点睛】
此题考查多边形的对角线，解题关键在于掌握计算公式.
14．100
【解析】
根据题意可得关于x的方程，求解可得商品的进价．
解：根据题意：设未知进价为x，
可得：x•（1+20%）•（1-20%）=96
解得：x=100；
解析：100
【解析】
根据题意可得关于x的方程，求解可得商品的进价．
解：根据题意：设未知进价为x，
可得：x•（1+20%）•（1-20%）=96
解得：x=100；
15．-5
【解析】
【分析】
根据题意确定出a的最大值，b的最小值，即可求出所求．
【详解】
解：，
，
，，
则原式，
故答案为
【点睛】
本题考查估算无理数的大小，熟练掌握估算的方法是解本题的关键．
解析：-5
【解析】
【分析】
根据题意确定出a的最大值，b的最小值，即可求出所求．
【详解】
<<，
解：459
∴<<，
23
=，
a2
∴=，b3
=-=-，
则原式495
-
故答案为5
【点睛】
本题考查估算无理数的大小，熟练掌握估算的方法是解本题的关键．
16．两点确定一条直线．
【解析】
【分析】
根据两点确定一条直线解析即可．
【详解】
建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释应是：两点确定一条直
解析：两点确定一条直线．
【解析】
【分析】
根据两点确定一条直线解析即可．
【详解】
建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释应是：两点确定一条直线．
故答案为：两点确定一条直线．
【点睛】
考核知识点：两点确定一条直线．理解课本基本公理即可.
17．81
【解析】
【分析】
根据方位角的表示可知，∠AOB=180°-61°-38°计算即可得出结果．
【详解】
根据题意可知，OA表示北偏东61°方向的一条射线，OB表示南偏东38°方向的一条射线，
解析：81
【解析】
【分析】
根据方位角的表示可知，∠AOB=180°-61°-38°计算即可得出结果．
【详解】
根据题意可知，OA 表示北偏东61°方向的一条射线，OB 表示南偏东38°方向的一条射线， ∴∠AOB=180°-61°-38°=81°，
故答案为：81．
【点睛】
本题考查了方位角及其计算，掌握方位角的概念是解题的关键．
18．（5a+10b ）．
【解析】
【分析】
由题意得等量关系：小何总花费本笔记本的花费支圆珠笔的花费，再代入相应数据可得答案．
【详解】
解：小何总花费：，
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了列代数
解析：（5a +10b ）．
【解析】
【分析】
由题意得等量关系：小何总花费5=本笔记本的花费10+支圆珠笔的花费，再代入相应数据可得答案．
【详解】
解：小何总花费：510a b +，
故答案为：(510)a b +．
【点睛】
此题主要考查了列代数式，关键是正确理解题意，找出题目中的数量关系．
19．1或-7
【解析】
【分析】
设这个数为x ，利用数轴上两点间的距离公式可得|x-(-3)|=4，解出x 即可.
【详解】
设这个数为x ，由题意得|x-(-3)|=4，所以x+3=4或x+3=-4，
解
解析：1或-7
【解析】
【分析】
设这个数为x，利用数轴上两点间的距离公式可得|x-(-3)|=4，解出x即可.
【详解】
设这个数为x，由题意得|x-(-3)|=4，所以x+3=4或x+3=-4，
解得x=1或-7.
【点睛】
本题考查数轴的应用，使用两点间的距离公式列出方程是解题的关键.
20．x
【解析】
【分析】
首先去括号，然后再合并同类项即可．
【详解】
解：原式＝2x+1﹣x﹣1＝x，
故答案为：x．
【点睛】
此题主要考查了整式的加减，解题的关键是正确掌握去括号法则．
解析：x
【解析】
【分析】
首先去括号，然后再合并同类项即可．
【详解】
解：原式＝2x+1﹣x﹣1＝x，
故答案为：x．
【点睛】
此题主要考查了整式的加减，解题的关键是正确掌握去括号法则．
21．8
【解析】
【分析】
根据二元一次方程解的定义可得2a-3b=5，继而整体代入即可求得答案. 【详解】
把代入方程2x-3y=5得
2a-3b=5，
所以2a-3b+3=5+3=8，
故答案为：8
解析：8
【解析】
【分析】
根据二元一次方程解的定义可得2a-3b=5，继而整体代入即可求得答案.【详解】
把
x a
y b
=
⎧
⎨
=
⎩
代入方程2x-3y=5得
2a-3b=5，
所以2a-3b+3=5+3=8，
故答案为：8.
【点睛】
本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，熟练掌握二元一次方程解的定义以及整体代入思想是解题的关键.
22．5．
【解析】
【分析】
利用有理数的减法运算即可求得答案．
【详解】
解：每头猪超过100kg的千克数记作正数，不足100kg的千克数记作负数．那么9 8.5对应的数记为﹣1.5．
故答案为：﹣1.
解析：5．
【解析】
【分析】
利用有理数的减法运算即可求得答案．
【详解】
解：每头猪超过100kg的千克数记作正数，不足100kg的千克数记作负数．那么98.5对应的数记为﹣1.5．
故答案为：﹣1.5．
【点睛】
本题考查了“正数”和“负数”..解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．依据这一点可以简化数的求和计算．
23．【解析】
【分析】
根据定义：单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和；单项式的系数是单项式中的数字因数，即可得解.
【详解】
单项式的系数为；次数为2+1+1=4；
故答案为；4.
【点睛】
此
解析：1
6
-
【解析】
【分析】
根据定义：单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和；单项式的系数是单项式中的数字因数，即可得解.
【详解】
单项式
()2
6
a bc
-的系数为
1
6
-；次数为2+1+1=4；
故答案为
1
6 -；4.
【点睛】
此题主要考查对单项式系数和次数的理解，熟练掌握，即可解题.
24．＞．
【解析】
【分析】
先求出两个数的绝对值，再根据绝对值大的反而小进行比较.
【详解】
∵|﹣8|＝8，|﹣9|＝9，8＜9，
∴﹣8＞﹣9．
故答案是：＞．
【点睛】
考查简单的有理数比较大小
解析：＞．
【解析】
【分析】
先求出两个数的绝对值，再根据绝对值大的反而小进行比较.
【详解】
∵|﹣8|＝8，|﹣9|＝9，8＜9，
∴﹣8＞﹣9．
故答案是：＞．
【点睛】
考查简单的有理数比较大小，比较两个负数的大小的解题关键是绝对值大的反而小．三、解答题
25．AD//FG，理由见解析.
【解析】
【分析】
由∠BAC=∠DEC，根据同位角相等，两直线平行可得AB//DE，继而可得∠BAD=∠2，由等量代换可得∠1=∠BAD，再根据同位角相等，两直线平行即可求得答案.
【详解】
AD//FG，理由如下：
∵∠BAC=∠DEC，
∴AB//DE，
∴∠BAD=∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BAD，
∴AD//FG.
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定方法与性质定理是解题的关键. 26．(1)50；(2)补图见解析；(3)72°；(4)672人.
【解析】
【分析】
(1)画出统计图,根据跳绳的人数除以占的百分比即可得出抽取的学生总数;
(2)根据总学生数,求出踢毽子与其他的人数,补全条形统计图即可
(3)根据其他占的百分比乘以360°即可得到结果
(4)由立定跳远的百分比,乘以2100即可得到结果
【详解】
(1)根据题意得:15÷30%=50(名)
则共抽取50名学生
(2)根据题意得:踢毽子人数为50×18%=9(名),其
他人数为50×(1-30%-18%-32%)=10名,
补全条形统计图,如图所示
(3)根据题意得:360°×20%=72°
则“其他"部分对应的圆心角的度数是72°;
(4)根据题意得'立定跳远"部分的学生有
2100×32%=672(名)
【点睛】
此题考查条形统计图，用样本估计总体和扇形统计图，看懂图中数据是解题关键
27．（1）155°48′；（2）OE 是∠BOC 的平分线，理由详见解析
【解析】
【分析】
（1）利用角平分线的性质得出11224122
AOC ∠=∠=∠=︒'，由∠BOD 与1∠互为邻补角即可求得答案；
（2）分别求出3∠、4∠的度数，结合角平分线的定义得出答案．
【详解】
解：（1）4824AOC ∠=︒'，OD 平分AOC ，
11224122
AOC ∴∠=∠=∠=︒'， 1801180241215548BOD ∴∠=︒-∠=︒-︒'=︒'；
（2）OE 是BOC ∠的平分线．理由如下：
2390DOE ∠=∠+∠=︒，22412∠=︒'，
39024126548∴∠=︒-︒'=︒'，
415548BOD DOE ∠=∠+∠=︒'，
415548906548∴∠=︒'-︒=︒'，
346548∴∠=∠=︒'，
OE ∴是BOC ∠的平分线．
【点睛】
此题主要考查了角平分线的定义，正确得出各角的度数是解题关键．
28．（1）a ＝20，b ＝﹣10；（2）20+
2x ；（3）1秒、11秒或13秒后，C 、D 两点相距5个单位长度
【解析】
【分析】
（1）利用绝对值及偶次方的非负性，可求出a ，b 的值；
（2）由点A ，P 表示的数可找出点M 表示的数，再结合点B 表示的数可求出点M 、B 之间的距离；
（3）当0≤t≤203时，点C 表示的数为3t ，当203＜t≤503
时，点C 表示的数为20﹣3（t ﹣203
）＝40﹣3t ；当0≤t≤5时，点D 表示的数为﹣2t ，当5＜t≤20时，点D 表示的数为﹣10+2（t ﹣5）＝2t ﹣20．分0≤t≤5，5＜t≤
203及203＜t≤503
，三种情况，利用CD ＝5可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵（a﹣20）2+|b+10|＝0，
∴a﹣20＝0，b+10＝0，
∴a＝20，b＝﹣10．
（2）∵设P表示的数为x，点A表示的数为20，M是AP的中点．
∴点M表示的数为20
2
x
+
．
又∵点B表示的数为﹣10，
∴BM＝20
2
x
+
﹣（﹣10）＝20+
2
x
．
（3）当0≤t≤20
3
时，点C表示的数为3t；
当20
3
＜t≤
50
3
时，点C表示的数为：20﹣3（t﹣
20
3
）＝40﹣3t；
当0≤t≤5时，点D表示的数为﹣2t；
当5＜t≤20时，点D表示的数为：﹣10+2（t﹣5）＝2t﹣20．当0≤t≤5时，CD＝3t﹣（﹣2t）＝5，
解得：t＝1；
当5＜t≤20
3
时，CD＝3t﹣（2t﹣20）＝5，
解得：t＝﹣15（舍去）；
当20
3
＜t≤
50
3
时，CD＝|40﹣3t﹣（2t﹣20）|＝5，
即60﹣5t＝5或60﹣5t＝﹣5，
解得：t＝11或t＝13．
答：1秒、11秒或13秒后，C、D两点相距5个单位长度．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值及偶次方的非负性，解题的关键是：（1）利用绝对值及偶次方的非负性，求出a，b的值；（2）根据各点之间的关系，用含x的代数式表示出BM的长；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
29．（1）∠AOB=30°，∠DOC=30°；（2）∠COD=30°；（3）当α=45°时，∠AOD与∠BOC 互余．
【解析】
【分析】
（1）根据互余的意义，即可求出答案；
（2）设出未知数，利用题目条件，表示出∠AOB、∠BOC，进而列方程求解即可；
（3）利用角度的和与差，反推得出结论，再利用互余得出答案．
【详解】
（1）∵∠AOC=90°，∠BOD=90°，∠BOC=60°，
∴∠AOB=∠AOC﹣∠BOC=90°﹣60°=30°，
∠DOC=∠BOD﹣∠BOC=90°﹣60°=30°；
（2）设∠COD=x°，则∠BOC=100°﹣x°．
∵∠AOC=110°，
∴∠AOB=110°﹣(100°﹣x°)=x°+10°．
∵∠AOD=∠BOC+70°，
∴100°+10°+x°=100°﹣x°+70°，
解得：x=30，
即∠COD=30°；
（3）当α=45°时，∠AOD与∠BOC互余．理由如下：
要使∠AOD与∠BOC互余，即∠AOD+∠BOC=90°，
∴∠AOB+∠BOC+∠COD+∠BOC=90°，
即∠AOC+∠BOD=90°．
∵∠AOC=∠BOD=α，
∴∠AOC=∠BOD=45°，
即α=45°，
∴当α=45°时，∠AOD与∠BOC互余．
【点睛】
本题考查了互为余角的意义，通过图形直观得出角度的和或差，以及各个角之间的关系是得出正确答案的前提．
30．（1）两车行驶3小时相遇；（2）行驶22.5小时快车追上慢车；（3）慢车行驶163 60
小时两车相遇.
【解析】
【分析】
（1）设两车行驶t1小时相遇，根据相遇时两车行驶路程之和为450km建立方程求解；（2）设t2小时快车追上慢车，快车比慢车多行驶450km建立方程求解；
（3）设慢车行驶t3小时两车相遇，根据两车行驶路程之和为450km建立方程求解．【详解】
解：（1）设两车行驶t1小时相遇，依题意得
65t1+85t1=450
解得：t1=3
因此，那么两车行驶3小时相遇.
（2）设t2小时快车追上慢车，依题意得 85t2-65t2=450
解得：t2=22.5
因此，行驶22.5小时快车追上慢车
（3）设慢车行驶t3小时两车相遇，依题意得30分钟=0.5小时
85×0.5+85t3+65t3=450
解得：t3=163 60
因此，慢车行驶163
60
小时两车相遇.
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握行程问题中的等量关系是解题的关键．四、压轴题
31．（1）点P在线段AB上的1
3
处；（2）
1
3
；（3）②MN
AB
的值不变.
【解析】
【分析】
（1）根据C、D的运动速度知BD=2PC，再由已知条件PD=2AC求得PB=2AP，所以点P在
线段AB上的1
3
处；
（2）由题设画出图示，根据AQ-BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ；然后求得AP=BQ，从而求得PQ 与AB的关系；
（3）当点C停止运动时，有CD＝1
2
AB，从而求得CM与AB的数量关系；然后求得以AB
表示的PM与PN的值，所以MN＝PN−PM＝
1
12
AB．
【详解】
解：（1）由题意：BD=2PC
∵PD=2AC，
∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP.
∴点P在线段AB上的1
3
处；
（2）如图：
∵AQ-BQ=PQ，∴AQ=PQ+BQ，∵AQ=AP+PQ，∴AP=BQ，
∴PQ=1
3 AB，
∴
1
3
PQ
AB
=
（3）②MN
AB
的值不变.
理由：如图，
当点C停止运动时，有CD=
1
2
AB，
∴CM=
1
4
AB，
∴PM=CM-CP=
1
4
AB-5，
∵PD=
2
3
AB-10，
∴PN=
12
23
（AB-10）=
1
3
AB-5，
∴MN=PN-PM=
1
12
AB，
当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变，
所以
1
1
12
12
AB
MN
AB AB
==.
【点睛】
本题考查了比较线段的长短．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
32．（1）CO=2.5；（2）①14和16 ；②定值55，理由见解析；（3）t=22.5和67.5
【解析】
【分析】
（1）先求出线段AB的长，然后根据线段中点的定义解答即可；
（2）①由PQ=1，得到|15-（4x-3x）|=1，解方程即可；
②先表示出PM、OQ、OM的长，代入4PM+3OQ﹣mOM得到55+（21-7m）x，要使
4PM+3OQ﹣mOM为定值，则21-7m=0，解方程即可；
（3）分两种情况讨论，画出图形，根据图形列出方程，解方程即可．
【详解】
（1）∵OA=10cm，OB=5cm，∴AB=OA+OB=15cm．
∵点C是线段AB的中点，∴AC=AB=7.5cm，∴CO=AO-AC=10-7.5=2.5（cm）．
（2）①∵PQ=1，∴|15-（4x-3x）|=1，∴|15-x|=1，∴15-x=±1，解得：x=14或16．
②∵PM =10+7x -4x =10+3x ，OQ =5+3x ，OM =7x ，∴4PM +3OQ ﹣
mOM =4（10+3x ）+3（5+3x ）-7mx =55+（21-7m ）x ，要使4PM +3OQ ﹣mOM 为定值，则21-7m =0，解得：m =3，此时定值为55．
（3）分两种情况讨论：①如图1，根据题意得：6t -2t =90，解得：t =22.5；
②如图2，根据题意得：6t +90=360+2t ，解得：t =67.5．
综上所述：当t =22.5秒和67.5秒时，射线 OC ⊥OD ．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键是分类讨论．
33．（1）AC=4cm, BC=8cm ；(2)当45
t =时，AP PQ =；(3)当2t =时，P 与Q 第一次相遇；(4)3519
1cm.224t PQ =当为，，时， 【解析】
【分析】
（1）由于AB=12cm ，点C 是线段AB 上的一点，BC=2AC ，则AC+BC=3AC=AB=12cm ，依此即可求解；
（2）分别表示出AP 、PQ ，然后根据等量关系AP=PQ 列出方程求解即可；
（3）当P 与Q 第一次相遇时由AP AC CQ =+得到关于t 的方程，求解即可； （4）分相遇前、相遇后以及到达B 点返回后相距1cm 四种情况列出方程求解即可．
【详解】
（1）AC=4cm, BC=8cm. (2) 当AP PQ =时，AP 3t,PQ AC AP CQ 43t t ==-+=-+,
即3t 43t t =-+,解得4t 5=
. 所以当4t 5
=时，AP PQ =. (3) 当P 与Q 第一次相遇时，AP AC CQ =+,即3t 4t =+,解得t 2=.
所以当t 2=时，P 与Q 第一次相遇.
(4)()()P,Q 1cm,4t 3t 13t 4t 1+-=-+=因为点相距的路程为所以或，
35t t 22
解得或==， P B P,Q 1cm 当到达点后时立即返回，点相距的路程为，
193t 4t 1122,t 4
+++=⨯=则解得， 3519t PQ 1cm.224
所以当为，，时，= 【点睛】
此题考查一元一次方程的实际运用，掌握行程问题中的基本数量关系以及分类讨论思想是解决问题的关键．。