天津市武清区2024届高一数学第二学期期末教学质量检测试题含解析

天津市武清区2024届高一数学第二学期期末教学质量检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则
（ ） A ．
B ．2
C ．3
D ．
2．化简()1111
2
32
240,0a b a b a b ⎛⎫⎛⎫÷>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
结果为（ ） A ．a B ．b C ．a
b
D ．
b a
3．已知点(2,3),(3,2)A B ---，直线l 方程为10kx y k -++-=，且直线l 与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围为（ ）
A ．3
4
k ≥
或 4k ≤- B ．34k ≥或 14
k ≤- C ．3
44
k -≤≤
D ．
3
44
k ≤≤ 4．若平面α∥平面β，直线l ⊂平面α，直线n ⊂平面β，则直线l 与直线n 的位置关系是（ ） A ．平行 B ．异面 C ．相交
D ．平行或异面
5．已知5a =，3b =，且12a b ⋅=-，则向量a 在向量b 上的投影等于（ ） A ．-4
B ．4
C ．125
-
D ．
125
6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．
8
π B ．
4
π C ．
2
π D ．π
7．若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为（ ） A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
8．过点（1，0）且与直线210x y -+=垂直的直线方程是（ ）
A ．210x y ＝
B ．210x y ＝
C ．210x y +-＝
D ．220x y ＝
9．将一个总体分为甲、乙、丙三层，其个体数之比为5:3:2，若用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，则应从丙层中抽取的个体数为（ ） A ．20
B ．40
C ．60
D ．100
10．一支田径队有男运动员 560 人，女运动员 420 人，为了解运动员的健康情况，从男运动员中任意抽取 16 人，从女生中任意抽取 12 人进行调查．这种抽样方法是（ ） A ．简单随机抽样法 B ．抽签法 C ．随机数表法
D ．分层抽样法
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．在边长为2的正三角形ABC 内任取一点P ，则使点P 到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．
12．已知(1,1)a =-，(2,1)b =-，(1,2)c =，若a b c λμ=+，则
λ
μ
=__________． 13．已知无穷等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，且13lim 1n n q q a →∞
+-⎫ ⎪⎝⎭
=⎛，则首项1a 的取值范围是________．
14．已知α，β为锐角，且(1tan )(1tan )2αβ--=，则αβ+=__________． 15．求374与238的最大公约数结果用5．进制．．
表示为_________.
16．如图甲是第七届国际数学教育大会（简称7ICME -）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中
11223781OA A A A A A A =====，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记
12,,
,
n OA OA OA ⋅的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为n a =_____．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，π
3
BAD ∠=，PAD △是等边三角形，F 为AD 的中点，PA BF ⊥.
（Ⅰ）求证：PB AD ⊥；
（Ⅱ）若3CB CE =，能否在棱PC 上找到一点G ，使平面DEG ⊥平面ABCD ?若存在，求CG 的长.
18．在如图所示的直角梯形ABCD 中，
12AD BC AB AD AB AD BC ⊥===，，，∥，求该梯形绕上底边AD 所在直线旋转
一周所形成几何体的表面积和体积.
19．已知三棱锥P ABC -的体积为1.在侧棱PA 上取一点1A ，使111
2
AA A P =，然后在1PA 上取一点2A ，使12212A A A P =，继续在2PA 上取一点3A ，使2331
2
A A A P =，
……按上述步骤，依次得到点123n A A A A 、、、…、，记三棱锥
12n P A BC P A BC P A BC ---、……、的体积依次构成数列{}n a ，数列{}n b 的前n
项和()32
n n n S +=
.
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）记n n n c a b =⋅，n T 为数列{}n c 的前n 项和，若不等式()
2
820n a n nT -+≥对一切
*n N ∈恒成立，求实数a 的取值范围.
20．已知数列{}n a 前n 项和2111
22
n S n n =+（*n N ∈）
，数列{}n b 等差，且满足311b =，前9项和为153.
（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）设3
(211)(21)
n n n c a b =
--，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T 及使不等式
2019
n k
T <
对一切*n N ∈都成立的最小正整数k 的值； （3）设**
21()
()2()
n
n
a n l l N f n
b n l l N ⎧=-∈=⎨
=∈⎩，问是否存在*m N ∈，使得(15)5()f m f m +=成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由. 21．已知平面向量(1,)a x =，(23,)()b x x x =+-∈N ． （1）若a 与b 垂直，求x ； （2）若//a b ，求a b -．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、A 【解题分析】 利用正弦定理，可直接求出的值.
【题目详解】 在
中，由正弦定理得
，所以
，
故选：A. 【题目点拨】
本题考查利用正弦定理求边，要记得正弦定理所适用的基本类型，考查计算能力，属于基础题。

2、A 【解题分析】
根据指数幂运算法则进行化简即可. 【题目详解】
11
1131113111
2
32
2424242244
a b a b a b a b a b a --⎛⎫⎛⎫÷=÷== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 本题正确选项：A 【题目点拨】
本题考查指数幂的运算，属于基础题. 3、A 【解题分析】
先求出线段AB 的方程，得出()51332x y y =---≤≤-，在直线l 的方程中得到
1
1
y k x -=
-，将513x y =--代入k 的表达式，利用不等式的性质求出k 的取值范围． 【题目详解】
易求得线段AB 的方程为()513032x y y ++=-≤≤-，得513x y =--，
由直线l 的方程得()1195141115
51514514514
y y y y k x y y y +----===-=----++ ()
11955514y =-++，
当1435y -≤<-时，15140y -≤+<，此时，
()119455514k y =-+≤-+； 当1425
y -<≤-时，05144y <+≤，此时，()1193555144k y =-+≥+． 因此，实数k 的取值范围是4k ≤-或3
4
k ≥，故选A ． 【题目点拨】
本题考查斜率取值范围的计算，可以利用数形结合思想，观察倾斜角的变化得出斜率的取值范围，也可以利用参变量分离，得出斜率的表达式，利用不等式的性质得出斜率的取值范围，考查计算能力，属于中等题． 4、D 【解题分析】
由面面平行的定义，可得两直线无公共点，可得所求结论． 【题目详解】
平面α∥平面β，可得两平面α，β无公共点，
即有直线l 与直线n 也无公共点，可得它们异面或平行， 故选：D ． 【题目点拨】
本题考查空间线线的位置关系，考查面面平行的定义，属于基础题． 5、A 【解题分析】
根据公式，向量a 在向量b 上的投影等于a b
b
⋅，计算求得结果.
【题目详解】
向量a 在向量b 上的投影等于
12
43a b b
⋅-==-. 故选A.
【题目点拨】
本题考查了向量的投影公式，只需记住公式代入即可，属于基础题型. 6、D 【解题分析】
由几何体的三视图得该几何体是一个底面半径1r =，高2h =的扣在平面上的半圆柱，由此能求出该几何体的体积 【题目详解】 由几何体的三视图得：
该几何体是一个底面半径1r =，高2h =的放在平面上的半圆柱，如图， 故该几何体的体积为：21
122
V ππ=⨯⨯⨯= 故选：D
【题目点拨】
本题考查几何体的体积的求法，考查几何体的三视图等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题． 7、B 【解题分析】
正四棱锥P ABCD - ，连接底面对角线AC ，在PAC ∆中，PAC ∠为侧棱与地面所成角，通过边的关系得到答案. 【题目详解】
正四棱锥P ABCD - ，连接底面对角线AC ，2AC =，易知PAC ∆为等腰直角三
角形.
AC 中点为O ，又正四棱锥知：PO ⊥底面ABCD
即PAC ∠ 为所求角为4
π
，答案为B 【题目点拨】
本题考查了线面夹角的计算，意在考察学生的计算能力和空间想象力. 8、D 【解题分析】
设出直线方程，代入点()1,0求得直线方程. 【题目详解】
依题意设所求直线方程为20x y c ++=，代入点()1,0得20,2c c +==-，故所求直线方程为220x y +-=，故选D. 【题目点拨】
本小题主要考查两条直线垂直的知识，考查直线方程的求法，属于基础题. 9、B 【解题分析】
求出丙层所占的比例，然后求出丙层中抽取的个体数 【题目详解】
因为甲、乙、丙三层，其个体数之比为5:3:2，所以丙层所占的比例为2
0.2532
=++，
所以应从丙层中抽取的个体数为0.220040⨯=，故本题选B. 【题目点拨】
本题考查了分层抽样中某一层抽取的个体数的问题，考查了数学运算能力. 10、D 【解题分析】
若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样 【题目详解】
总体由男生和女生组成，比例为560：420＝4：1，所抽取的比例也是16：12＝4：1． 故选D ． 【题目点拨】
本小题主要考查抽样方法，当总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，属基本题．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、
6
【解题分析】
以A,B,C 为圆心,以1为半径作圆,与△ABC 交出三个扇形,当P 落在其内时符合要求,
∴P==.
12、-3
【解题分析】 由a b c λμ=+可知
()()()()11?211222，，，，λμλμλμ-=-+=+-+ 2121
λμλμ+=-⎧∴⎨-+=⎩，解得35λ=-，15μ=
3λ
μ
∴
=- 13、[)()2,33,4
【解题分析】
根据极限存在得出()
(]1,00,1q ∈-，对q 分10q -<<、01q <<和1q =三种情况
讨论得出1a 与q 之间的关系，可得出1a 的取值范围. 【题目详解】 由于13lim 1n n q q a →∞
+-⎫
⎪⎝⎭
=⎛，则()(]1,00,1q ∈-.
①当10q -<<时，则1133lim 1n n q q q a a →∞⎛⎫ =⎪+⎝⎭
+-=，()132,3a q ∴=+∈； ②当01q <<时，则11
33lim 1n n q q
q a a →∞⎛⎫
=⎪+⎝⎭+-=，()133,4a q ∴=+∈；
③当1q =时，11
3lim 114n n q q a a →∞
⎛⎫ ⎪⎝=⎭+--=，解得12a =. 综上所述：首项1a 的取值范围是[)()2,33,4，故答案为：[)()2,33,4.
【题目点拨】
本题考查极限的应用，要结合极限的定义得出公比的取值范围，同时要对公比的取值范围进行分类讨论，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
14、
34
π 【解题分析】
由题意求得tan tan tan tan 1αβαβ+=-，再利用两角和的正切公式求得tan()αβ+的值，可得αβ+ 的值． 【题目详解】
α，β为锐角，且(1tan )(1tan )2αβ--=，即tan tan tan tan 1αβαβ+=-，
tan tan tan()11tan tan αβ
αβαβ
+∴+=
=--．
再结合(0,)αβπ+∈，则34
αβπ+=
， 故答案为
34
π． 【题目点拨】
本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题． 15、(5)114 【解题分析】
根据最大公约数的公式可求得两个数的最大公约数，再由除k 取余法即可将进制进行转换.
【题目详解】
374与238的最大公约数求法如下：
3742381136÷=⋅⋅⋅， 2381361102÷=⋅⋅⋅， 136102134÷=⋅⋅⋅， 102343÷=，
所以两个数的最大公约数为34. 由除k 取余法可得：
534
564 511 01
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
所以将34化为5进制后为(5)114，
故答案为：(5)114. 【题目点拨】
本题考查了最大公约数的求法，除k 取余法进行进制转化的应用，属于基础题.
16 【解题分析】
由图可知1122378...1OA A A A A A A =====，由勾股定理可得22
11n n a a -=+,利用等差
数列的通项公式求解即可. 【题目详解】
根据图形1122378...1OA A A A A A A =====， 因为122378...OA A OA A OA A ∆∆∆、都是直角三角形，
2211n n a a -∴=+,
2n a ∴是以1为首项，以1为公差的等差数列，
()2111n a n n ∴=+-⨯=，
n a ∴=.
【题目点拨】
本题主要考查归纳推理的应用，等差数列的定义与通项公式，以及数形结合思想的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于与中档题.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（Ⅰ）见解析；
（Ⅱ）CG =
【解题分析】
（Ⅰ）连接PF ,根据三角形性质可得PF AD ⊥,由底面菱形的线段角度关系可证明
BF AD ⊥,即证明AD ⊥平面PBF ,从而证明PB AD ⊥.
（Ⅱ）易证平面ABCD ⊥平面PAD ,连接CF 交DE 于点H ,过H 作HG PF 交PC
于G ,即可证明GH ⊥平面ABCD ,在三角形 【题目详解】
（Ⅰ）证明：连接PF ,PAD △是等边三角形,F 为AD 的中点,所以PF AD ⊥；
又底面ABCD 是菱形,π3
BAD ∠=, 所以BF AD ⊥,PF BF F ⋂=,
所以AD ⊥平面PBF ,
PB ⊂平面PBF ,所以PB AD ⊥.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知BF AD ⊥,BF PA ⊥,AD PA A ⋂= 所以BF ⊥平面PAD ,又BF ⊂平面ABCD 即平面ABCD ⊥平面PAD 平面ABCD
平面PAD AD =,又PF AD ⊥,所以PF ⊥平面ABCD
连接CF 交DE 于点H ,过H 作HG PF 交PC 于G ,如下图所示:
所以GH ⊥平面ABCD ,又GH ⊂平面DEG 所以平面DEG ⊥平面ABCD 因为3CB CE =,所以
23CG CH CE GP HF DF ===,即2
5
CG CP = 在等边三角形PAD △中,可得22213PF =-
在菱形ABCD 中,由余弦定理可得CF =2cos1207=
在Rt PFC △中,可得PC ==
所以25CG CP =
=
【题目点拨】
本题考查了直线与平面垂直的判定方法,平面与平面垂直的判定及性质的应用,余弦定理在解三角形中的用法,属于中档题.
18、表面积为(5π+，体积为
53
π
． 【解题分析】
直角梯形ABCD 绕它的上底（较短的底）所在直线旋转一周形成的几何体是圆柱里面挖去一个圆锥，由此可计算表面积和体积． 【题目详解】
如图直角梯形ABCD 绕上底边AD 所在直线旋转一周所形成几何体是以BC 为母线的圆柱挖去以CD 为母线的圆锥．
由题意CD =
，
∴221211(5S ππππ=⨯⨯+⨯+⨯=+，
2215
121133
V πππ=⨯⨯-⨯⨯⨯=．
【题目点拨】
本题考查旋转体的表面积和体积，解题关键是确定该旋转体是由哪些基本几何体组合成的．
19、（1）2
()3n
n a =．1n b n =+；（2）88(,][,)99
-∞-+∞．
【解题分析】
（1）由三棱锥的体积公式可得{}n a 是等比数列，从而可求得其通项公式，利用
1n n n b S S -=-可求得n b ，但要注意1b ；
（2）用错位相减法求得n T ，化简不等式(
)
2
820n a n nT -+≥，分离参数，转化为求函数的最值． 【题目详解】
（1）由题意112n n n A A A P -=
，∴12
3n n PA PA -=，123
PA PA = 三棱锥12n P A BC P A BC P A BC ---、……、的体积就是三棱锥
12,,,n A PBC A PBC A PBC ---的体积，它们都以PBC ∆为底面，因此它们的体积
比等于它们高的比，即12,,
n A A A 到平面PBC 的距离之比，又12,,
n A A A 都在直线
PA 上，
所以点12,,
n A A A 到平面PBC 的距离之比就等于棱长12,,,n A P A P A P 的比，
∴1123n n n n a PA a PA --==，1P ABC V -=，11123
P A BC P ABC PA a V V PA --==
=， ∴2
()3
n
n a =．
()
32
n n n S +=
，则112b S ==， 2n ≥时，1(3)(1)(2)
122
n n n n n n n b S S n -+-+=-=
-=+，1b 也适合． ∴1n b n =+．
（2）由（1）2(1)()3
n
n c n =+，
2222
23()(1)()333
n n T n =⨯+⨯+++⨯，
212222
2()()(1)()3333
n n n T n n +=⨯++⨯++⨯， 两式相减得：
2311222222()()()(1)()333333
n n n T n +=⨯++++-+⨯122[1()]223
3(1)()23313
n n n +-=+-+⨯- 182
(4)()33
n n +=-+⨯， ∴1
283(4)()3
n n T n +=-+⨯．
不等式()2820n a n nT -+≥为2
12163(4)()03
n a n n +-+⨯≥，即
212
163(4)()3n a n n +≥+⨯，
设1
2(4)()3
n n c n n +=+⨯，
则
21
122
(1)(5)()(4)()33
n n n n c c n n n n +++-=++⨯-+⨯223
()[(1)(5)(4)]32
n n n n n +=++-+ 2
2210()32
n n +-=⋅
， ∴当3n ≤时，{}n c 递增，当4n ≥，{}n c 递减，4c 是{}n c 中的最大项，5
42
32()3
c =⋅． 不等式2
1
2163(4)()
3
n a n n +≥+⨯对*n N ∈恒成立，
则2
5
216332()3
a ≥⨯⨯，∴89a ≥
或89
a ≤-． 故a 的范围是8
8(,][,)99
-∞-+∞． 【题目点拨】
本题考查棱锥的体积，考查等比数列的通项公式，考查由n S 求通项n a ，考查错位相减法求和，考查不等式恒成立问题．考查数列的单调性，难度较大．对学生的运算求解能力要求较高．在由1n n n a S S -=-求n a 时要注意1a 需另外求解，证明数列单调性时可以有数列的前后项作差或作商比较．
20、（1）5n a n =+，32n b n =+；（2）21
n n
T n =+，min 1010k =；（3）11. 【解题分析】
（1）由数列的前n 项和结合1(2)n n n a S S n -=-求得数列{}n a 的通项公式，再由
2120n n n b b b ++-+=，可得{}n b 为等差数列，由已知求出公差，代入等差数列的通项
公式得答案；
（2）把数列{}n a ，{}n b 的通项公式代入3
(211)(21)
n n n c a b =--，然后利用裂项相消
法求和，可得使不等式2019
n k
T <
对一切n 都成立的最小正整数k 的值； （3）分m 为偶数和奇数分类分析得答案． 【题目详解】 解：（1）由2111
22
n S n n =
+． 故当2n 时，22
1111111()[(1)(1)]52222
n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+．
1n =时，116a S ==，而当1n =时，56n +=，
*5()n a n n N ∴=+∈，
又2120n n n b b b ++-+=，即211n n n n b b b b +++-=- *
()n N ∈，
{}n b ∴为等差数列，于是
379()
1532b b +=． 而311b =，故723b =，2311
373
d -=
=-， 因此，33(3)32n b b n n =+-=+，即*32()n b n n N =+∈； （2）3
(211)(21)
n n n c a b =--
3
[2(5)11][(2(32)1]
n n =
+-+-
1111
()(21)(21)22121
n n n n =
=--+-+．
121111111111[(1)()()()](1)233557212122121
n n n
T c c c n n n n ∴=++⋯+=-+-+-+⋯+-=-=
-+++．
易知n T 单调递增，由2019
n k T <
，得2019n k T >，而1
2n T →，故1009.5k ，
1010min k ∴=； （3）**
5,(21,)
()32,(2,).
n n l l N f n n n l l N ⎧+=-∈=⎨+=∈⎩， ①当m 为奇数时，15m +为偶数．
此时(15)3(15)2347f m m m +=++=+，5()5(5)525f m m m =+=+，
347525m m ∴+=+，11m =．
②当m 为偶数时，15m +为奇数．
此时(15)15520f m m m +=++=+，5()5(32)1510f m m m =+=+．
201510m m ∴+=+， *5
7
m N =∉（舍去）．
综上，存在唯一正整数11m =，使得(15)5()f m f m +=成立． 【题目点拨】
本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，考查数列的函数特性，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题． 21、（1）3x =；（2）2a b -= 【解题分析】
(1)根据垂直数量积为0求解即可.
(2)根据平行的公式求解x ,再计算||a b -即可. 【题目详解】
解：（1）由已知得,1(23)()0x x x ⋅++-=,解得3x =或1x =-． 因为x N ∈,所以3x =．
（2）若//a b ,则1()(23)0x x x ⋅--⋅+=,所以0x =或2x =-． 因为x N ∈,所以0x =．所以(2,0)a b -=-,所以||2a b -=． 【题目点拨】
本题主要考查了向量垂直与平行的运用以及模长的计算,属于基础题型.。