差错控制编码-卷积编码

在一个二进制分组码（ ）当中，包含k个信息位 个信息位， 在一个二进制分组码（n,k）当中，包含 个信息位，码组长度 个信息位有关， 为n，每个码组的（n-k）个校验位仅与本码组的 个信息位有关， ，每个码组的（ ）个校验位仅与本码组的k个信息位有关 而与其它码组无关。为了达到一定的纠错能力和编码效率（ 而与其它码组无关。为了达到一定的纠错能力和编码效率（ ＝ k/n），分组码的码组长度 通常都比较大。编译码时必须把整 ），分组码的码组长度 通常都比较大。 ）， Rc 分组码的码组长度n通常都比较大 个信息码组存储起来，由此产生的延时随着n的增加而线性增加 的增加而线性增加。 个信息码组存储起来，由此产生的延时随着 的增加而线性增加。
分组码有严格的代数结构但卷积码至今尚未找到如此严密的数学手段把纠错性能与码的结构十分有规律地联系起来通常使用近似的极大似然法目前大都采用计算机来搜索好码
3.2卷积码（Convolutional Code）的编码
一、线性码 传输序列是信息序列的线性变换。监督比特是对信息比特进行 线性运算得到。两类线性码： ①. 分组码（Block Code） 每一个信息比特组分别独立运算产生监督比特。每一组监督比 特固定的监督一个信息比特组，记为（n，k）码。 （n：码组长度；k：信息位长度）
（3）状态图（State Diagram） 卷积码的编码器是一种有限状态机，它的状态转移关系是有限 的。在上例（2，1，2）卷积码中，第3拍时的树图代表了所有 可能的状态转移关系。改画成以下的形式，称为状态图。
卷积码的编码过程只是在不同输入下的状态转移。因此，只要 知道编码器的当前状态和输入，编码器的输出和下一状态就被 确定了。 有时用另一种形式的状态转移图
b3
0 0 1 1
b2
0 1 0 1
状态 a b c d
（2）树图（Tree diagram）
编码器存贮单元（b3，b2）中的内容，用来表示编码器的状态。 在此共有4种状态，分别记为a，b，c，d。 以输入b1=0，编码器为a状态，b3 = b2 = 0为起点，随着输入 信息序列 I ( x ) (b1) 的延伸把编码器输出码组（c1 c2）的所有 可能状态排列起来就是表示了编码器所有可能输出的关系，称 为“树图”。它是研究卷积码的一个重要基础。 树图的说明： — 每一步代表一个编码节拍（一个编码周期）横线上的数 字表示在此时间完成编码后的输出码组（c1 ,c2） — 每一个结点（node）表示一个节拍的开始和结尾。结点 上注明的是一个节拍结束时编码器的状态。 — 每一节拍开始时，由于输入b1有两种可能（0或1），因 而有两种可能的编码输出。向上的分枝（branch）表示编 码器输入为0（b1 = 0）；向下的分枝表示编码器输出为1 （b1 = 1）。
树图是半无穷的，也是有规律性的，这种规律性表示了卷积码 的特征，是由有限状态机决定的。从此特定的（2，1，2）卷 积码树图可以看出：从第4拍开始，树图上的状态开始有规律 性的重复。因此，第3拍时的树图代表了编码器状态转移的基 本结构，即所有可能状态间的转移关系。表示了编码器的基本 工作状况。 在此树图上，从第4拍开始，编码器的工作就开始与第1拍的 输入信息b1无关了。即第4拍的上半步，与下半步完全相同， 不管第1拍是0还是1，第4拍的输出只由第2，3，4拍输入来 决定。——这完全是由于此（2，1，2）卷积码的约束长度 为3之故。 在一定的输入信息序列（I (x)）下，编码器的实际状态转 移轨迹称为编码器工作的路径（path），它是研究卷积码 译码的重要依据。
卷积码的纠错能力随着N的增加而增大，在编码器复杂程度相同 的情况下，卷积码的性能优于分组码。 码约束长度 对一组固定的监督比特，它监督所及的长度称为卷积码的约束 长度（Constraint length） 这N时间内的码元数目nN通常被称为这种码的约束长度 （以比特做单位）。 码约束（长）度N＝m＋1（以码组做单位，多用） 所以有m ＝ N -1 分组码有严格的代数结构， 分组码有严格的代数结构，但卷积码至今尚未找到如此严密的 数学手段，把纠错性能与码的结构十分有规律地联系起来， 数学手段，把纠错性能与码的结构十分有规律地联系起来，通 常使用近似的极大似然法，目前大都采用计算机来搜索好码。 目前大都采用计算机来搜索好码。 目前大都采用计算机来搜索好码 注意：有些文献中也用（n，k，N）来表示卷积码 码率Rate：k/n
二、卷积码的编码 一个简单的（2，1，2）卷积码（码率Rate：k/n=1/2， 约束长度N=2+1=3）
m=2：表示编码器中有2个存贮单元。编码器输出序列中的每 1位都以现在及过去的2个信息比特有关 。
（1）编码方程（线性变换）
（在 b1 到达的瞬间）
输出速率提高一倍
非系统码（non systematic code） 系统码：在输出序列中存在未经变换的原信息比特。 编码器是一个线性系统，输入为信息序列 u ，输出为 g 其冲激响应 c1对应 g1 = (111) ฀ → c2对应 g =(101) 2
实线表示编码器输入“0”，虚线表示输入“1”。 4个顶点表示编码器的4种状态。 箭头表示状态转移方向：出发箭头表示起始状态；到达箭头 表示到达状态。 转移线上的数字表示编码器输出（c1 c2）。
输入：1 1 0 1 0…… 输出: （3）格形图（Trellis Diagram） （格栅，篱笆） 把状态图延伸就得到格形图，它实际上是一种简洁的树图。
② 卷积码
为了减少这个延迟，提出卷积码。这种编码方式同样是把 个 为了减少这个延迟，提出卷积码。这种编码方式同样是把k个 信息比特编成n个比特 个比特， 通常很小， 信息比特编成 个比特，但k和n通常很小，特别适宜于以串行 和 通常很小 形式传输信息，减小了编码延时。 形式传输信息，减小了编码延时。 卷积码记为（n，k，m） 卷积码编码器把k比特信息段编成 比特的码组 但所编的n长 卷积码编码器把 比特信息段编成n比特的码组，但所编的 长 比特信息段编成 比特的码组， 码组不仅同当前的K比特信息段 还同前面（ － ） 比特信息段， 码组不仅同当前的 比特信息段，还同前面（N－1）段（码 有关联。编码过程中相互关联的码元为nN个 组）有关联。编码过程中相互关联的码元为 个。
→ → → →
→
→
→
编码器完成离散卷积
c1 = I ∗ g1 c2 = I ∗ g 2
→
→
由此可以得到卷积码的生成矩阵和监督矩阵。 编码过程： 令I ( x ) 输入前编码器状态为0。 例：I ( x ) = 1 1 0 1 0 0 0 下完成状态转移。 编码器状态：