2019-2020版数学新课标导学同步北师大必修1：第2章2.2.1

必
修
①
北 师 大A 版
返回导航
第二章 函 数
3．函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的定义域为_[_－__5_,5_]__，值域为__[－__2_,_3_]_.
[解析] 由图像可以看出，函数 y＝f(x)的自变量 x 的取值范围是－5≤x≤5，
数 学
因变量 y 的取值范围是－2≤y≤3，
必
修 ①
返回导航
第二章 函 数
1．下列关于函数与区间的说法正确的是( D ) A．函数定义域必不是空集，但值域可以是空集
B．函数定义域和值域确定后，其对应法则也就确定了
C．数集都能用区间表示
D．函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应
[解析] 函数的定义域和值域都是非空的数值，故A错；函数的定义域和对
数 学
数
学 必
超过9斤，则价钱不会低于0.6×9＝5.4(元)，不会出现5元1角的情况．故该顾客
修
① 认定店主骗人．
北
师
大A
版
返回导航
·
第二章 函 数
1．函数的概念
函数的 定义
设A，B是两个_非__空__数__集_，如果按某个对应法则f，对于集合A中的 任__何__一__个__数__x_____，在集合B中都存在__唯__一__确__定__的__数_____与之对应，那 么这种对应关系f叫作定义在集合A上的函数.
2．函数与自变量及因变量的表示符号无关．
数 学 必 修 ① 北 师 大A 版
返回导航
·
·
第二章 函 数
〔跟踪练习 2〕 与函数 y＝x＋1 相等的函数是( B ) A．y＝xx2－－11 B．y＝t＋1 C．y＝ x2＋2x＋1 D．y＝( x＋1)2
数 学 必 修 ① 北 师 大A 版
返回导航
第二章 函 数
①
北 师
[思路分析] 根据解析式的结构特点，列不等式组求解．
大A
版
返回导航
·
第二章 函 数
[规范解答] (1)①分母|x|－x≠0，即|x|≠x，所以 x<0.故函数的定义域为(－∞， 0)．
②4－x2≥0，即 x2≤4，所以－2≤x≤2，故函数的定义域为[－2,2]．
5－x≥0 ③解不等式组x－5≥0
(2)f(x)＝x－1(x≠0)，f(x)与 g(x)的定义域不同，因此是不同的函数．
(3)f(x)＝x1－－1x
x≥1 x<1 ，f(x)与 g(x)的定义域相同，对应关系相同，因此是相
同的函数．
数
学 必
(4)f(n)与 g(n)的对应关系不同，因此是不同的函数．
修
① 北
(5)f(x)与 g(t)的定义域相同，对应关系相同，自变量用不同字母表示，仍为同
北 师 大A 版
返回导航
·
第二章 函 数
(3)依题意，得x3＋－2x≥≠00 ，∴x≥－2 且 x≠3，
∴函数 f(x)＝ x＋2＋3－1 x的定义域是{x|x≥－2 且 x≠3}．
(4)依题意，得|3xx－＋27|＋≠20≥0 ，
解得 x≠－73.
数
学 必 修 ①
∴函数 f(x)＝
必
修
①
(5)f(x)＝x2－2x 与 g(t)＝t2－2t.
北
师
大A
版
返回导航
第二章 函 数
[思路分析] 对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意
等价变形，否则等号不成立．当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这
两个函数才是同一函数． [规范解答] (1)g(x)＝|2x＋1|，f(x)与 g(x)的对应关系不同，因此是不同的函数．
|x－2|＋2＋
3
3x1＋7的定义域为{x|x∈R，x≠－73}．
北
师
大A
版
返回导航
第二章 函 数
命题方向4 ⇨求函数的值域
典例 4 求下列函数的值域：
(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
(2)y＝ x＋1；
(3)y＝11－＋xx22；
(4)y＝－x2－2x＋3(－1≤x≤2)．
数 学
[规范解答] (1)不能构成集合A到B的函数，因为A中的元素0在B中没有元素
与之相对应．
(2)能构成集合A到B的函数，因为它满足函数的定义．
数
(3)不能构成集合A到B的函数，比如A中的元素－2在B中没有元素与之相对
学
必 修
应．
①
北
(4)不能构成集合A到B的函数，比如A中的元素4在B中有两个元素与之相对
A．x＝y2＋1
B．y＝2x2＋1
C．x－2y＝6
D．x＝ y
[解析] 很明显 B 中 y＝2x2＋1 是二次函数；C 中 y＝12x－3，可表示 y＝f(x)；
数 D 中 y＝x2，x≥0，可表示 y＝f(x)；A 中 y＝± x－1，y 不是 x 的函数．
学 必 修 ① 北 师 大A 版
返回导航
∴f(x)的定义域为[－5,5]，值域为[－2,3]．
北 师 大A 版
返回导航
·
第二章 函 数
4．(2019·江苏，4)函数 y＝ 7＋6x－x2的定义域是__[－__1_,_7_]_.
[解析] 要使函数 y＝ 7＋6x－x2有意义，应满足 7＋6x－x2≥0， ∴x2－6x－7≤0，∴(x－7)(x＋1)≤0， ∴－1≤x≤7， ∴函数 y＝ 7＋6x－x2的定义域是[－1,7]．
[思路分析] 求值域的方法很多：①利用解析式逐个求；②用直接法；③分离
必
修 ①
常数后，逐步求出；④利用二次函数求．
北 师 大A 版
返回导航
·
第二章 函 数
[规范解答] (1)将 x＝1,2,3,4,5 分别代入 y＝2x＋1，算得函数的值域为
{3,5,7,9,11}．
(2)∵ x≥0，∴ x＋1≥1，即函数的值域为[1，＋∞)．
·
·
第二章 函 数
命题方向2 ⇨相同函数的判断
典例 2 下列各组函数是否表示同一个函数？
(1)f(x)＝2x＋1 与 g(x)＝ 4x2＋4x＋1；
(2)f(x)＝x2－x x与 g(x)＝x－1；
(3)f(x)＝|x－1|与 g(x)＝x1－－1x
x≥1 ； x<1
数 学
(4)f(n)＝2n－1 与 g(n)＝2n＋1(n∈Z)；
·
第二章 函 数
[解析] (1)由xx－＋11≥≥00 得xx≥≥1－1 ，
∴x≥1.
故所求定义域为[1，＋∞)．
(2)由x|x＋|－1x≠>00
，得x≠－1 |x|>x
，
数 学
∴x≠－1 x<0
.
必
修
①
故函数的定义域为{x|x<0 且 x≠－1}．
师
大A 版
一函数．
返回导航
·
第二章 函 数
『规律总结』 1.根据解析式判断两个函数f(x)和g(x)是否是同一个函数的步 骤是：(1)先求函数f(x)和g(x)的定义域，如果定义域不同，那么它们不相同，如 果定义域相同，再执行下一步；(2)化简函数的解析式，如果化简后的函数解析 式相同，那么它们相同，否则它们不相同．
北 师 大A 版
数轴表示
返回导航
第二章 函 数
(2)特殊区间的表示
定义
R
{x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a}
符(号－∞_，__＋__∞__)_______ [a，＋∞) __(_a_，__＋__∞_)___ (－∞，a] _(－__∞__，__a_)_
·
数 学 必 修 ① 北 师 大A 版
(3)∵y＝11－ ＋xx22＝－1＋1＋2 x2，
∴函数的定义域为 R.
∵x2＋1≥1，∴0<1＋2 x2≤2.∴y∈(－1,1]．
∴函数的值域为(－1,1]．
数 学
(4)y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4.
数 学 必 修 ① 北 师 大A 版
返回导航
·
·
第二章 函 数
互动探究学案
数 学 必 修 ① 北 师 大A 版
返回导航
·
第二章 函 数
命题方向1 ⇨函数关系的判断
典例 1 判断下列对应关系能否构成集合 A 到 B 的函数？
(1)A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|；
(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2＋x；
应法则确定后，函数的值域也就确定了，故B错；数集不一定能用区间表示，故
必
修 ①
C错，选D．
北 师 大A 版
返回导航
·
·
第二章 函 数
2．函数符号y＝f(x)表示( C )
A．y等于f与x的乘积
B．f(x)一定是一个式子
C．y是x的函数
D．对于不同的x，y也不同
数 学
[解析] y＝f(x)表示y是x的函数．
师
大A 版
应．
返回导航
·
第二章 函 数
『规律总结』 检验两个变量之间是否具有函数关系的方法 (1)定义域和对应法则是否给出； (2)根据给出的对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能确定 唯一的函数值y.
数 学 必 修 ① 北 师 大A 版
返回导航
·
第二章 函 数
〔跟踪练习 1〕
下列式子不能表示函数 y＝f(x)的是( A )
数 学 必 修 ① 北 师 大A 版
返回导航
·
第二章 函 数
命题方向3 ⇨求函数的定义域
典例 3 (1)求下列函数的定义域：
①y＝|x|－1 x；
②y＝ 4－x2；
③y＝ 5－x＋ x－5－x2－1 9.
数
(2)将长为 a 的铁丝折成矩形，求矩形面积 y 关于边长 x 的解析式，并写出此
学
必 修
函数的定义域．
[解析] A 选项中函数 y＝xx2－－11的定义域为{x|x≠1}与 y＝x＋1 的定义域不同， 故 A 不正确；C 选项中函数 y＝ x2＋2x＋1＝ x＋12＝|x＋1|与 y＝x＋1 的对应法 则及值域不同，故 C 不正确；D 中 y＝( x＋1)2 的定义域、值域与 y＝x＋1 均不相 同故 D 不正确；B 中尽管自变量不一样，但定义域和对应法则均相同，故 B 正确．
数 学 必 修 ① 北 师 大A 版
返回导航
·
第二章 函 数
〔跟踪练习 3〕
求下列函数的定义域：
(1)y＝ x－1＋ x＋1； (2)y＝x|＋x|－1x0；
(3)f(x)＝ x＋2＋3－1 x；
数 学 必 修 ①
(4)f(x)＝ |x－2|＋2＋ 1 . 3 3x＋7
北 师 大A 版
返回导航
函数的 记法
从A到B的一个函数通常记为__f：__A__→__B_y_＝__f_(x_)_，__x_∈__A______.
数 函数的 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫__自__变__量__，_集__合__A___叫作函数y＝f(x)的定
学 必
定义域 义域．
修 ①
函数的
北 师
值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，集合__{_f_(x_)_|x_∈__A_}____叫作函数的值域.
(3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝ x；
数
(4)A＝N，B＝R，f：x→y＝± x.
学
必
修
①
北 师 大A 版
返回导航
第二章 函 数
[思路分析] 根据函数的定义，检验所给的对应关系是否满足以下几个条
件：
(1)A，B是否是非空数集；
(2)A中的每一个元素是否在B中都有与之对应的元素；
(3)A中的每一个元素在B中与之对应的元素是否是唯一的．
x2－9≠0
x≤5 ，得x≥5
x≠±3
.∴x＝5.
故函数的定义域是{5}．
(2)设矩形一边长为 x，则另一边长为12(a－2x)，
数 学 必 修
所以 y＝x·12(a－2x)＝－x2＋12ax.
①
北 师 大A
定义域为(0，a2)．
版
返回导航
·
·
第二章 函 数
『规律总结』 1.要使函数有意义应有： (1)分式的分母不为0； (2)偶次根下非负； (3)y＝x0中要求x≠0； (4)实际问题中函数的定义域，要考虑实际意义． 2．函数的定义域一定要用集合或区间形式表示．
新课标导学
数学
必修① ·北师大版
第二章 函数
第二章 函 数
§2 对函数的进一步认识
2.1 函数概念
数 学 必 修 ① 北 师 大A 版
返回导航
·
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
·
第二章 函 数
自主预习学案
数 学 必 修 ① 北 师 大A 版
返回导航
第二章 函 数
某人到一个水果店去买西瓜，价格表上写的是：6斤以下，每斤0.4元，6斤
以上9斤以下，每斤0.5元；9斤以上，每斤0.6元．此人挑了一个西瓜，称重后店
主说5元1角，1角就不要了，给5元吧．可这位聪明的顾客马上说，你不仅没少
要，反而多收了我的钱．当顾客讲出理由，店主只好承认了错误，照实收了
钱．同学们，你知道顾客是怎么晓得店主骗人的吗？
[答案] 如果西瓜不超过9斤，则价钱不会超过0.5×9＝4.5(元)；如果西瓜
大A
版
返回导航
·
·
第二章 函 数
2.区间的概念 (1)一般区间的表示(a，b为实数，且a<b)
定义 {x|a≤x≤b}
名称 闭区间
符号 _[_a_(_a_，__b_)_
数
{x|a≤x<b} 半开半闭区间 __[_a_，__b_) _
学
必
修 ①
{x|a<x≤b} 半开半闭区间 _(_a_，__b_]_