欣宜市实验学校二零二一学年度初中毕业、升学统一考试数学试卷解析超详细 试题 2

黔西北州欣宜市实验学校二零二一学年度绝密*启用前
2021年中考试题数学
本套试卷分选择题和非选择题两局部，一共三大题28小题，一共6页，总分值是150分，考试用时120分钟本卷须知：
1.本套试卷一共6页，包含选择题〔第1题~第8题，一共8题〕、非选择题〔第9题~第28题，一共20题〕两局部。

本卷时间是为120分钟。

在在考试完毕之后以后，请将本套试卷和答题卡一起交回。

2．在答题之前,所有考生必须将本人的姓名、准考证号填写上在答题卡相应的位置上，同时必须在试卷的装订线内将本人的姓名、准考证号、毕业填写上好，在试卷第一面的右下角写好座位号。

3．所有的试题都必须在专用的“答题卡〞上答题，选择题需要用2B铅笔答题、非选择题在规定的正确位置用0.5毫米的黑色笔答题，在试卷或者草稿纸上答题无效。

4．如有作图需要，请需要用2B铅笔答题，并请加黑加粗，描写清楚。

一、选择题〔本大题一一共8小题，每一小题3分，一共24分，在每一小题给出的四个选项里面，恰有一个选项
是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答案卡相应的位置上。

〕
1．〔2021，1，3分〕－5的倒数是〔〕
A．－5 B．5 C．－1
5
D．
1
5
【分析】－5的分母可以看作是1，其倒数是原数的分子、分母颠倒位置，故其倒数是－1 5．
【答案】B
【涉及知识点】倒数
【点评】此题属于根底题，主要考察学生对倒数的概念的掌握，考察知识点单一，有利于进步此题的信度．【推荐指数】★
2．〔2021，2，3分〕以下计算正确的选项是〔〕
A.x4+x2=x6
B.x4－x2=x２
C.x4·x2=x8
D.(x4)2=x8
【分析】A,B选项,所以给的各项不是同类项,无法进展合并;C选项,同底数幂相乘,底数不变,指数相加,故不正确;D选项,根据幂的乘方,底数不变,指数相乘可知正确.
【答案】D
【涉及知识点】整式的运算
【点评】此题属于根底题，主要考察学生是否具有根底的运算才能,考察知识点单一，有利于进步此题的信度．【推荐指数】★
3．〔2021，3，3分〕如图,由几个一样小立方块所搭成的物体的俯视图是〔〕
【分析】从上面看,从左至右可以看到三列,第一列一个正方形,第二列一个正方形,第三列两个正方形．【答案】D
【涉及知识点】三视图
【点评】此题属于根底题，主要考察的是画三视图,有利用培养学生的抽象思维才能和空间才能．
【推荐指数】★★
4．〔2021，4，3分〕以下事件中,必然事件是〔〕
A．翻开电视,它正在播广告
B．掷两枚质地均匀的正方体骰子,点数之和一定大于6
C．早晨的太阳从升起
D．没有水分,种子发芽
【分析】A属于不确定事件;B属于不确定事件;C必然事件;D.不可能事件．
【答案】C
【涉及知识点】概率
【点评】此题考察了必然事件的概念,此类问题通常与生活实际结合在一起,所以要培养学生理解一些必要的生活常识．
【推荐指数】★★
5．〔2021，5，3分〕⊙O1，⊙O2的半径分别为5cm、8cm，且它们的圆心距为8cm,那么⊙O1和⊙O2的位置关系为〔〕A．外离B．相交C．相切D．内含
【分析】两圆的圆心距d=8cm,而8-3<d<8+3,故两圆的位置关系是相交.
【答案】B
【涉及知识点】圆与圆的位置关系
【点评】此题主要考察的是与圆有关的位置关系,解决此类问题的关键是抓住两圆的圆心距与两圆半径和或者差的关系进展比照．
【推荐指数】★★★
6．〔2021，6，3分〕一组数据3，4，x，6，8的平均数是5，那么这组数据的中位数是〔〕A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】由于3+4+x+6+8=5×5,解得x=4，所以这组数据的中位数是46
2
=5.
【答案】B
【涉及知识点】统计、平均数、中位数
【点评】此题将平均数、中位数这两个知识点有机结合在一起，利用平均数的概念确定未知数的值，然后根据中位数的计算方法，先将数据从小到大进展排列，然后确定中间一个数或者两个数的平均数就是这组数据的中位数.
【推荐指数】★★★
7．〔2021，7，3分〕在等边三角形、正方形、菱形和等腰梯形这四个图形中，是中心对称图形的个数是〔〕
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据中心对称图形的概念，绕某一点旋转180°能与自身重合，那么是中心对称图形，等边三角形不是中心对称图形，正方形是中心对称图形，菱形是中心对称图形，等腰梯形不是中心对称图形，故是中心对称图形的只有两个．
【答案】B
【涉及知识点】图形的变换
【点评】图形的变换也是中考常考察的知识点之一，解决此类问题时，主要抓住概念，根据概念结合图形的特点进展判断．
【推荐指数】★★
8．〔2021，8，3分〕电子跳蚤游戏盘是如下列图的△ABC，AB=6，AC=7，BC=8.假设跳蚤开场时在BC边的P0处,BP0=2.跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1(第1次落点)处,且CP1=CP0;第二步从P1跳到P2(第2次落点)处,且AP2=AP1;第三步从P2跳到BC边的P3(第3次落点)处,且AP3=AP2;……;跳蚤按上述规那么一直跳下去,第n次落点为P n(n为正整数)，那么点P2021与P2021之间的间隔为〔〕
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】．
【答案】C
【涉及知识点】规律探究
【点评】此题主要考察规律探究,通过给出的点来归纳出解决问题的方法,难度比较大．
【推荐指数】★★★★
二、填空题〔本大题一一共有10小题，每一小题3分，一共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写上在答题卡相应位置上〕
9．〔2021，9，3分〕16的算术平方根是_____.
【分析】因为42=16,所以16的算术平方根是4．
【答案】4
【涉及知识点】算术平方根
【点评】此题主要考察的是算术平方根的计算,根据一个正数的算术平方根是指它的正的平方根,可求其解．【推荐指数】★
10．〔2021，10，3分〕今年5月1日,世界贸易博览会正式对外开放,当日参观人数大约有204000人,204000用科学计数法表示为_____.
【分析】对于绝对值大于10的数,用科学记数法表示时,就是把它写成a×10n形式，其中1≤∣a∣<10,n的值是原数的整数位数减1,所以204000=×105.
【答案】×105
【涉及知识点】科学记数法
【点评】科学记数法是每年中考试卷中的必考问题，把一个数写成a×10n的形式〔其中1≤a＜10，n为整数，这种计数法称为科学记数法〕，其方法是〔1〕确定a，a是只有一位整数的数；〔2〕确定n；当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数〔含整数位数上的零〕．
【推荐指数】★★
11．〔2021，11，3分〕在函数y＝中，自变量x的取值范围是______.
【分析】由于分式的分母不能为0，x－2是分母，因此x－2≠0，解得x≠2．
【答案】x≠2
【涉及知识点】分式的意义
【点评】初中阶段涉及有意义的地方有三处，一是分式的分母不能为0，二是二次根式的被开方数必须是非负数，三是零指数的底数不能为零．
【推荐指数】★★★
12．〔2021，12，3分〕抛物线y＝2x2－bx＋3的对称轴是直线x＝1，那么b的值是______．【分析】由于－=1,解得b=4.
【答案】4
【涉及知识点】二次函数的性质
【点评】二次函数y＝ax2+bx＋c的对称轴是x=－,由此可以看问题转化成方程的问题进展求解．
【推荐指数】★★
13．〔2021，13，3分〕反比例函数的图象经过点〔－2，3〕，那么此反比例函数的关系式是__________．【分析】设反比例函数的关系式是y=,因为图象经过〔－2，3〕,所以3=,解得k=-6.
【答案】y=-
【涉及知识点】反比例函数
【点评】确定反比例函数的关系式时,只需设出反比例函数关系式,然后将一个点的坐标代入,即可确定的k 的值．
【推荐指数】★★
14．〔2021，14，3分〕如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后，得到线段AB′，那么点B′的坐标为__________．
【分析】先画出旋转后的图形,观察图形可知B′的坐标是〔4，2〕．
【答案】〔4，2〕
【涉及知识点】旋转,平面直角坐标系
【点评】中考对于旋转的考察,往往与平面直角坐标系结合在一起,这样可以拓宽学生的知识面．
【推荐指数】★★★
15．〔2021，15，3分〕如图，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，∠BOC＝70°，AD∥OC，那么∠AOD＝__________．【分析】因为AD∥OC，所以∠DAO＝∠BOC＝70°;因为OA＝OD,所以∠ADO＝∠DAO＝70°,然后利用三角形的内角和定理可求∠AOD＝40°．
【答案】40°
【涉及知识点】三角形的内角和,平行线
【点评】此题属于几何的综合小题目,题目虽然简单,但是考察的知识点比较多,有利于培养学生综合运用所学知识的才能．
【推荐指数】★★★
16．〔2021，16，3分〕如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，那么折痕BD的长为__________．
【分析】由勾股定理可求AB=10.通过折叠,有BCˊ＝BC＝6,故ACˊ＝AB－BCˊ＝4．设DC＝DC＝x,在Rt△ADC ˊ中,由勾股定理得x2+42=(8-x)2,解得x＝3,在Rt△BCD中,由勾股定理可求BD的值.
【答案】35
【涉及知识点】勾股定理,轴对称
【点评】要想确定直角三角形中边的长度,只需利用勾股定理进展求解，此题难度中等，只要细心，很容易拿分．
【推荐指数】★★★★
17.〔2021，17，3分〕一个圆锥的底面半径为4cm，将侧面展开后所得扇形的半径为
5cm，那么这个圆锥的侧面积等于_________cm2〔结果保存〕．
【分析】展开的扇形的弧长就是圆锥的底面周长,圆锥的侧面积就是展开的扇形的面积,所以圆
锥的侧面积为2
1×5×2π×4＝20π. 【答案】20π
【涉及知识点】与圆有关的计算,扇形的面积公式
【点评】解决此类问题的关键是搞清圆锥的侧面积与侧面展开图之间的关系，此题难度中等，只要细心，很容易拿分．
【推荐指数】★★★
18.〔2021，18，3分〕如图，在直角梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝4，
AB ＝5，BC ＝6，点P 是AB 上一个动点，当PC ＋PD 的和最小时，PB 的长为__________．
【分析】延长DA 到D ˊ,使DA ˊ=AD ,连结D ˊB ,交AB 于点P ,那么此时PC ＋PD 的和最小,由AD ∥BC 易知△APD ˊ∽△BPC ,所以
BP AP BC D A =',即BP
BP -=564,解得PB ＝3. 【答案】3 【涉及知识点】相似三角形,轴对称
【点评】解决此题的关键是确定点D 的对应点，确定对应点后,利用相似三角形对应边成比例来确定线段的长.此题难度中等，只要细心，很容易拿分．
【推荐指数】★★★★
三、解答题〔此题一共10个小题，一共96分，请在答题卡指定区域内答题，解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕
19．〔2021，19，8分〕〔1〕计算：(－1)2＋tan 60°－(π＋2021)0
〔2〕因式分解：m 3
－4m 【分析】问题(1),任何一个非零数的零次幂等于1;问题(2),因式分解时,先考虑提公因式法,然后再考虑公式法.
【答案】〔1〕原式=131-+
=3
〔2〕原式=m (m 2-4)
=m (m -2)(m +2)
【涉及知识点】实数,因式分解
【点评】此题主要考察的是实数的运算,以及因式分解,在进展实数的相关运算时,要掌握以下两点:一是任何一个非零数的零次幂等于1;二是任何一次非零数的-P 次幂都等于这个数的P 次幂的倒数..此题难度较小，只要细心，很容易拿分．
【推荐指数】★★
20.〔2021，20，8分〕解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧<--≤-12
13)34(2125x x x ，并把它的解集在数轴上表示出来． 【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集,其公一共局部就是不等式组的解集.
【答案】解不等式〔1〕得x ≥—2
解不等式〔2〕得x ＜1
∴原不等式组的解集为—2≤x ＜1
在数轴上表示为
【涉及知识点】不等式组
【点评】此题难度较小，主要考察不等式组的解法,需要注意的是在数轴上表示不等式组的解集时,有等号用实心点表示,无等号用空心圆圈来表示．
【推荐指数】★★★
21．〔2021，21，9分〕某为了理解600名初中毕业生体育考试成绩的情况〔总分值是
30分，得分为整数〕，从中随机抽取了局部学生的体育考试成绩，制成如以下列图所示的频数分布直方 图．成绩在～这一组的频率为，请答复以下问题：
〔1〕在这个问题中，总体是_____________________，样本容量是________；
〔2〕请补全成绩在～这一组的频数分布直方图；
〔3〕假设成绩在18分以上的为“合格〞，请估计该校初中毕业生中体育成绩为“合格〞的人数
【分析】总体是所要考察的对象的全体;样本容量是所抽取的样本中个体的数目.
【答案】〔1〕某校600名初中毕业生体育考试成绩情况的全体，50
〔2〕
〔3〕抽取的学生中，成绩合格的人数一共有50-3=47人 所以该校合格以上的人数为56460050
47=⨯ 【涉及知识点】统计频数分布直方图
【点评】此题难度较小，主要考察从频数直方图获取信息的才能,题目难度不大,比较容易得分．
【推荐指数】★★★
22.〔2021，22，8分〕在一个不透明的袋子中装有白色、黄色和蓝色三种颜色的小球，
这些球除颜色外都一样，其中白球有2个，蓝球有1个．现从中任意摸出一个小球是白球的概率 是．
〔1〕袋子中黄色小球有____________个；
〔2〕假设第一次任意摸出一个小球〔不放回〕，第二次再摸出一个小球，请用画树状图或者列 表格的方法求两次都摸出白球的概率．
【分析】问题
(1),可根据白球的概率确定袋子中球的总个数,即可求出黄球的个数，2÷
21-2-1=1;问题(2),画表格或者树状图时,注意第一次摸出小球后不放回．
【答案】(1)1 (2)解法一：用树状图分析如下
解法二：用列表法分析如下：
开场 白1 白2 黄 蓝
白2 黄 蓝 黄 蓝 白1 蓝 白1 白2 白1 白2 黄
∴P(两次都摸到白球)=
6
1122 . 【涉及知识点】概率
【点评】此题主要考察的是利用树状图或者表格求不确定事件发生的概率，属于根底题,难度不大,细心的话,容易得分．
【推荐指数】★★★★
23．〔2021，23，10分〕为了迎接烟花三月经贸旅游节，某方案由七年级〔1〕
班的3个小组〔每个小组人数都相等〕制作240面彩旗．后因一个小组另有任务，改由另外两个 小组完成制作彩旗的任务，这样这两个小组的每一名学生就要比原方案多做4面彩旗．假设每名 学生制作彩旗的面数相等，那么每个小组有多少学生？
【分析】此题中的等量关系:原方案每一名学生做彩旗的面数-改变方案后每一名学生做彩旗的面数=4． 【答案】
解：设每个小组有x 名学生 根据题意，得 解这个方程，得x =10 经检验：x =10是原方程的解 答：每个小组有10名学生. 【涉及知识点】分式方程的应用
【点评】此题主要考察的是利用分式方程解决实际问题,解决此类问题的关键是确定题目中的等量关系,容易
出错的地方是解分式方程后不进展检验．
24．〔2021，24，10分〕如图，四边形ABCD 是菱形，点G 是BC 延长线上一点，连接AG ，分别交BD 、CD 于点E 、F ，
连接CE ．
〔1〕求证：∠DAE ＝∠DCE ；
〔2〕当AE ＝2EF 时，判断FG 与EF 有何等量关系？并证明你的结论？
【分析】问题〔1〕,可通过证△ADE ≌△CDE 来说明∠DAE =∠DCE ;问题(2),利用相似三角形对应边成比例来确定线段之间的数量关系.
【答案】〔1〕证明：∵四边形ABCD 是菱形
∴∠ADE =∠CDE ，AD=CD ∵DE 是公一共边 ∴△ADE ≌△CDE 〔SAS 〕 ∴∠DAE =∠DCE
(2)FG=3EF
解法一：∵四边形ABCD 是菱形
∴AD ∥BC ，∠DAE =∠G ∵∠DAE =∠DCE ∴∠DCE =∠G ∵∠CEF =∠GEC ∴△ECF ∽△EGC ∴
EC
EG
EF EC = ∵△ADE ≌△CDE ∴EA=EC ∴
EC
EG
EF EA =
∵AE =2EF ∴EG =2EC =4EF ∴FG =3EF
解法二：∵四边形ABCD 是菱形
∴AB ∥CD ∴△ABE ∽△FDE ∴
2==EF
AE
DE BE 同理△BEG ∽△DEA ∴
2==DE
BE
EA EG ∴EG =2AE =4EF ∴FG =3EF
【涉及知识点】相似三角形,全等三角形,菱形
【点评】此题属于几何综合题,是中考的必考内容，具有一定的难度,要求学生在掌握根底知识的同时,学会灵敏运用．
【推荐指数】★★★★★
25．〔2021，25，10分〕如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真〞的宣传牌CD ．小明在
山坡的坡脚A 处测得宣传牌底部D 的仰角为60°，沿山坡向上走到B 处测得宣传牌顶部C 的仰角为45°．山坡AB 的坡度i ＝1:，AB ＝10米，AE ＝15米，求这块宣传牌CD 的高度．〔测角器的高度忽略不计，结果准确到0.1米．参考数据：，〕
【分析】过点B 作BF ⊥DE 于点F,BG ⊥AE 于点G .在Rt △ADE 中,利用三角函数可求DE 的长;根据山坡AB 的坡度可求AG 与EF 的长,即可确定BF 的长,由于∠CBF ＝45°，因此△BCF 是等腰直角三角形,可求CF =BG ,CD =CF +EF —
DE .
【答案】解：作BF ⊥DE 于点F ，BG ⊥AE 于点G 在Rt △ADE 中 ∵tan ∠ADE =
AE
DE
, ∴DE =AE ·tan ∠ADE=153 ∵山坡AB 的坡度i =1：3，AB =10
∴BG =5，AG =35
，
∴EF =BG =5，BF =AG +AE =35+15
∵∠CBF =45° ∴CF =BF =35
+15
∴CD =CF +EF —DE =20—10
3≈20—10×≈
答：这块宣传牌CD 的高度为． 【涉及知识点】解直角三角形
【点评】解直角三角形是每年中考的必考知识点之一，主要考察直角三角形的边角关系及其应用，难度一般不会很大，此题是根本概念的综合题，主要考察考生应用知识解决问题的才能，很容易上手，容易出错的地方是近似值的取舍．
【推荐指数】★★★★★
26．〔2021，26，10分〕如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的半圆O 交BC 于点D ，DE ⊥AC ，垂足为E ．
〔1〕求证：点D 是BC 的中点；
〔2〕判断DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； 〔3〕假设⊙O 的直径为9，cosB ＝，求DE 的长．
【分析】〔1〕连结AD ,利用直径所对的圆周角是直角,来说明AD ⊥BC ,由于△ABC 是等腰三角形,利用等腰三角形三线合一来说明AD 是BC 边上的中线;(2)连结OD ,通过证明DE ⊥OD 来说明DE 与⊙O 相切;(3)利用三角函数进展
求解.
【答案】〔1〕证明：连接AD
∵AB为半圆O的直径,
∴AD⊥BC
∵AB=AC
∴点D是BC的中点(2)解：相切
连接OD
∵BD=CD，OA=OB，
∴OD∥AC
∵DE⊥AC
∴DE⊥OD
∴DE与⊙O相切〔3〕∵AB为半圆O的直径
∴∠ADB=900
在Rt△ADB中
BD
∵cosB=
AD
∴BD=3
∵CD=3
在Rt△ADB中
CE
∴cosC=
CD
∴CE =1
【涉及知识点】圆的根本概念,直线与圆的位置关系
【点评】此题主要考察的是与圆有关的综合题,在说明两直线与圆的位置关系时,一般情况是相切,通过添加辅助线进展求解，这类问题解决起来有一定的难度,考生在掌握根底知识的同时,必须学会灵敏运用．
【推荐指数】★★★★★
27．〔2021，27，12分〕我国地区发生强烈地震以后，国家立即启动救灾预 案，积极展开向灾区运送救灾物资和对伤员的救治工作．机场和机场相距800千米，
甲、乙两机沿同一航线各自从、出发，相向而行．如图，线段AB 、CD 分别表示甲、乙 乙、两机离机场的间隔S 〔百千米〕和所用去的时间是t 〔小时〕之间的函数关系的图象〔注： 丙、为了方便计算，将平面直角坐标系中间隔S 的单位定为〔百千米〕〕．观察图象答复以下问题：
〔1〕乙机在甲机出发后几小时，才从机场出发？甲、乙两机的飞行速度每小时各为多少千米？ 〔2〕求甲、乙两机各自的S 与t 的函数关系式；
〔3〕甲、乙两机相遇时，乙机飞行了几小时？离机场多少千米？
【分析】〔1〕观察图象可知乙机在甲机出发后1小时，才从机场出发.甲机航行5小时行驶800千米,乙航行4小时行驶800千米,据此可求速度;(2)设出一次函数关系式,把图象上两个点的坐标代入即可求函数关系式;(3)联络求出的两个一次函数关系式,通过解方程组求出交点坐标,即可确定乙机飞行的时间是及乙飞机离机场的间隔．
【答案】解：〔１〕由图像可知乙机在甲机出发后1小时才从机场出发；甲机的速度＝5
800
＝160千米每小时，乙机的速度＝
4
800
＝200千米每小时； 〔2〕设甲机的函数关系式为S 甲=k 1t +b 1，因图像过点A 〔0，8〕和点B 〔5，0〕将两点坐标代入可得⎩⎨
⎧+==.
50,
8111b k b 解得⎪⎩⎪⎨⎧
==.
85811b －k ，得甲机的函数关系为S
甲
=5
8
-
t +8；设乙机的函数关系式为S 乙
=k 2t +b 2，因图像过点C 〔1，0〕
和点D 〔5，8〕将两点坐标代入可得⎩⎨⎧+=+=.58,02222b k b k 解得⎩⎨⎧==.22
2
2－b k 得乙机的函数关系式为S
乙
=2t －2；
〔3〕由⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=2285
8t S t S 解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
==9329
25t S 所以两机相遇时，乙飞机飞行了925小时；乙飞机离机场为8－
932=9
40
千米。

【涉及知识点】一次函数
【点评】此题属于一次函数的应用.由于今年来各地中考题不断降低难度，对于考生来说,比较容易得分． 【推荐指数】★★★★
28．〔2021，28，12分〕在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，CD 是斜边AB 上的高，点E 在斜边AB 上，过点
E 作直线与△ABC 的直角边相交于点
F ，设AE ＝x ，△AEF 的面积为y ．
〔1〕求线段AD 的长；
〔2〕假设EF ⊥AB ，当点E 在线段AB 上挪动时， ①求y 与x 的函数关系式〔写出自变量x 的取值范围〕 ②当x 取何值时，y 有最大值？并求其最大值；
〔3〕假设F 在直角边AC 上〔点F 与A 、C 两点均不重合〕，点E 在斜边AB 上挪动，试问：是否存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分？假设存在直线EF ，求出x 的值；假设不存在直线EF ，请说明理由．
【分析】问题(1),可利用勾股定理求出AB 的长,然后利用面积相等确定CD 的长,在Rt △ACD 中,再一次利用勾股定理可求AD 的长,或者者利用相似三角形对应边成比例来求AD 的长;问题(2),利用△AEF ∽△ADC 来确定y 与x 的函数关系式;问题(3),假设存在,由△AFG ∽△ACD 把问题转化成二次函数的问题进展求解.
【答案】解：〔1〕∵AC =3，BC =4
∴AB =5
∵
21AC ·BC =21
AB ·CD ， ∴CD =512，AD =5
9
〔2〕①当0＜x ≤5
9时 ∵EF ∥CD
∴△AEF ∽△ADC
∴
AD AE
CD EF =
即EF=34x
∴y =21·x ·34x =23
2x
当
5
9
＜x ≤5时 易得△BEF ∽△BDC ，同理可求EF =
4
3
〔5—x 〕 ∴y =21·x ·43〔5—x 〕=x x 815832+-≤
25
54 ②当0＜x ≤5
9
时，y 随x 的增大而增大.
y=232x ≤2554,即当x =59时，y 最大值为25
54 当59＜x ≤5时，32
75)25(838158322+--=+-=x x x y ∵08
3<-
∴当25=x 时，y 的最大值为3275
∵2554＜32
75 ∴当25=x 时，y 的最大值为32
75
〔3〕假设存在 当0＜x ≤5时，AF=6—x ∴0＜6—x ＜3 ∴3＜x ＜6 ∴3＜x ≤5
作FG ⊥AB 与点G 由△AFG ∽△ACD 可得
∴
CD FG AC AF =
，即FG =)6(5
4
x - ∴·21AEF =△S x ·)6(54x -=x x 512
522+-
∴x x 5
12522+-=3，即2x 2
-12x +5=0
解之得x 1=
2
6
6+，x 2=
2
6
6- ∵3＜x 1≤5
∴x 1=
2
66+符合题意
∵x 2=
2
6
3266-=-＜3
∴x 2不合题意，应舍去
∴存在这样的直线EF ，此时，x =
2
6
6+
【涉及知识点】相似三角形,二次函数
【点评】此题巧妙地将相似三角形,二次函数以及三角形面积等知识综合在一起，需要考生从前往后按顺序解
题，前面问题为后面问题的解决提供思路，是一道难度较大的综合题.
【推荐指数】★★★★★iu。