中考自招数学知识点29：圆的进阶

圆的进阶
知识梳理：
1、圆周角定理：1）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半2）同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等3）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径4）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
2、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
3、弦切角定理：1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
4、相交弦定理：1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
5、切割线定理：1）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项2）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等例题精讲：
例1：如图，在平行四边形ABCD 中，34=AB ，32=AD ，AD BD ⊥，以BD 为直径的⊙O 交AB 于E ，交CD 于F F，则平行四边形ABCD 被⊙O 截得的阴影部分的面积为_______．
例2：如图，ABC ∆内接于⊙O ，AB 的延长线与过C 点的切线GC 相交于点D ，BE 与AC 相交于点F ，且CE CB =，求证：（1）BE ∥DG ；（2）FE BF CF BC ∙=-22．
O与⊙2O相交于A、B两点，经过A点的直线分别交⊙1O、⊙2O于C、D两例3：已知：如图（1），⊙1
点（C、D不与B重合），连结BD，过点C作BD的平行线交⊙1O于点E，连BE．
（1）求证：BE是⊙O2的切线；
（2）如图（2），若两圆圆心在公共弦AB的同侧，其他条件不变，判断BE和⊙O2的位置关系（不要求证明）．
同步练习（稍难）：
练习1：如图，⊙O 表示一个圆形工件，图中标注了有关尺寸，且4:1:=MA MB ，求工件半径的长.
练习2：如图，已知CP 为⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点C ，AB 切⊙O 于点D ，并
与CP 的延长线相交于点B ，又BP BD 2=．
求证：（1）PB CP 3=；（2）PC AC =．
练习3：如图，已知O 是线段AB 上一点，以OB 为半径的⊙O 交线段AB 于点C ，以线段OA 为直径的半圆交⊙O 于点D ，过点B 作AB 垂线与AD 的延长线交于点E ，连结CD ．若2=AC ，且AC 、AD 的长是关于x 的方程052
=+-kx x 的两个根．
（1）证明AE 切⊙O 于点D ；
（2）求线段EB 的长；
（3）求ADC ∠tan 的值．
参考答案
例1：答案：
π3315-解析：连结OE 、DE ．
∵BD AD ⊥，且34=AB ，32=AD ，
∴ 30=∠DBA ，且6=BD ．
∵BD 为直径，
∴ 90=∠DEB ．
∴330sin =∙= BD DE ，33=DE ．∴32
9=∆DEB S ．∵O 为BD 的中点，∴49=∆BOE S ．∵321==BD DO ， 60=∠DOE ，∴33215)(2-=∆--∆=EOB S S ADB S S 扇形阴影．例2：答案：证明略
解析：（1）∵BD 是⊙O 的切线，BPC 是⊙O 的割线，
∴
BC BP BD ∙=2．
∵BP BD 2=，∴BC BP BD ∙=24．
∴BC BP =4．∵PC BP BC +=，
∴BC BP BP +=4．∴BP PC 3=．
（2）连结DO ．
∵AB 切⊙O 于点D ，AC 切⊙O 于点C ，∴ 90=∠=∠ACB ODB ．
∵
B B ∠=∠，∴ODB ∆∽ACB ∆．∴2
142===BP BP BC BD AC DO ．∴DO AC 2=．∴DO PC 2=．∴PC AC =．例3：答案：仍是切线
解析：（1）连结AB ，作⊙2O 的直径BH ，连结AH ．
则
90=∠+∠H ABH ，ADB H ∠=∠，ECA EBA ∠=∠．∵
EC ∥BD ，∴
EBA ACE ADB ∠=∠=∠．∴
90=∠+∠ABH EBA ．即
90=∠EBH ．∴BE 是⊙2O 的切线．
（2）同理可知，BE 仍是⊙2O 的切线．
同步练习：
练习1：答案：10cm
解析：
把OM 向两方延长，分别交⊙O 于C 、D 两点．设⊙O 的半径为R ．
从图中知，cm AB 15=．
又4:1:=MA MB ，∴)(3151
cm MB =⨯=，cm MA 12=．
从图中知，8+=R CM ，8-=R MD ，
由相交弦定理，得MD CM BM AM ∙=∙．
∴)8)(8(312-+=⨯R R ．
解此方程，得10=R ．
故工件的半径长为10cm ．
练习2：答案：9
解析：由切割线定理，得PE PD PA ∙=2．
∴10=PA ．
∴10==PC PB ．
∵25=+=DE PD PE ，
∴6=DB ．
由相交弦定理，得BD BE BC AB ∙=∙．
∴9=AB ．
练习3：答案：1）证略2）54=BE 3）5
5
tan =∠ADC 解析：（1）连结OD ．
∵OA 是半圆的直径，∴ 90=∠ADO ．∴AE 切⊙O 于点D ．
（2）∵AC 、AD 的长是关于x 的方程0542=+-kx x 的两个根，且2=AC ，52=∙AD AC ，
∴54=AD ．∵AD 是⊙O 的切线，ACB 为割线，
∴AB AC AD ∙=2．又52=AD ，2=AC ，∴10=AB ．
则8=BC ，4=OB ．∵AB BE ⊥，
∴BE 切⊙O 于B ．
又AE 切⊙O 于点D ，∴DE BE =．
在ABE Rt ∆中，设x BE =，由勾股定理，得2221052(+=+x x ．
解此方程，得54=x ．
即BE 的长为54．
（3）连结BD ，有 90=∠CDB ．
∵AD 切⊙O 于D ，
∴ABD ADC ∠=∠，且BD CD
ABD ADC =∠=∠tan tan ．
在ADC ∆和ABD ∆中，A A ∠=∠，ABD ADC ∠=∠，
∴
ADC ∆∽ABD ∆．∴5
51052===AB AD CD ．∴55tan =∠ADC ．。