专题 阿氏圆问题

专题09阿氏圆问题
模型建立：已知平面上两点A、B
，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由
古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．
阿氏圆基本解法：构造三角形相似．
模型解读：
如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上的动点，已知r＝k·OB．连接PA、PB，则当“PA＋k·PB”的值最小时，P
点的位置如何确定？
解题策略
经典例题
【例1】（2021·全国·九年级专题练习）如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为
，求：
2，点P为圆上一动点，连接AP，BP
①AP+12BP，
②2AP+BP，
③13AP+BP，
④AP+3BP的最小值．
【例2】（2022·广东惠州·一模）如图1，抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为−1,0，抛物线的对称轴是直线x=32．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16，若存在，求出点P 的坐标若不存在，请说明理由；
(3)如图2，过点B作BF⊥BC F，以点C为圆心，2为半径作⊙C，点Q为⊙C上的一个
+FQ的最小值．
【例3】（2019秋•山西期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
已知平面上两点A、B，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．
阿氏圆基本解法：构造三角形相似．
【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面内一动
点，且OP＝r，设＝k，求PC+kPD的最小值．
阿氏圆的关键解题步骤：
第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；
第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．
解：在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，
又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．
任务：
（1）将以上解答过程补充完整．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为△ABC内一动点，满足CD＝2，利用
（1）中的结论，请直接写出AD+BD的最小值．
【例4】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△OAB的顶点O，A，B均在格点上，点E在OA上，且点E也在格点上．
（I）的值为；
（Ⅱ）是以点O为圆心，2为半径的一段圆弧．在如图所示的网格中，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，
旋转角为α（0°＜α＜90°）连接E'A，E'B，当E'A+E'B的值最小时，请用无刻度的直尺画出点E′，并简要说明点E'的位置是如何找到的（不要求证明）．
培优训练
一．填空题（共13小题）
1．（2022•南召县开学）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点
P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则的最小值为．
2．（2021秋•龙凤区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以点C为圆心，3为半径做⊙C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是⊙C上一个动点，则PA+PB的最小值为．
3．（2022春•长顺县月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上
的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为．
4．（2021秋•梁溪区校级期中）如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A （0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为．
5．（2021•碑林区校级模拟）如图，在△ABC中，BC＝6，∠BAC＝60°，则2AB+AC的最大值为．
6．（2020•武汉模拟）【新知探究】新定义：平面内两定点A，B，所有满足＝k（k为定值）的P点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”
【问题解决】如图，在△ABC中，CB＝4，AB＝2AC，则△ABC面积的最大值为．
7．（2020秋•天宁区校级月考）如图，已知菱形ABCD的边长为8，∠B＝60°，圆B的半径为4，点P是圆B
上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为．
8．（2020•溧阳市一模）如图，在⊙O中，点A、点B在⊙O上，∠AOB＝90°，OA＝6，点C在OA上，且OC＝2AC，点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值为．
9．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC的中点，以B为圆心，BE为半径作⊙B，点P是⊙B上一动点，
连接PD、PC，则PD+PC的最小值为．
10．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，C是OA的中点，D是OB上一点，OD＝5，P是上一动
点，则PC+PD的最小值为．
11．如图所示的平面直角坐标系中，A（0，4），B（4，0），P是第一象限内一动点，OP＝2，连接AP、BP，则BP+的最小值是．
12．如图所示，∠ACB＝60°，半径为2的圆O内切于∠ACB．P为圆O上一动点，过点P作PM、PN分别垂直于∠ACB的两边，垂足为M、N，则PM+2PN的取值范围为．
13．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则PA+PB的最小值为．
二．解答题
14．（2022•从化区一模）已知，AB⊙O的直径，AB＝，AC＝BC．
（1）求弦BC的长；
（2）若点D是AB下方⊙O上的动点（不与点A，B重合），以CD为边，作正方形CDEF，如图1所示，若M 是DF的中点，N是BC的中点，求证：线段MN的长为定值；
（3）如图2，点P是动点，且AP＝2，连接CP，PB，一动点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度沿线段CP 匀速运动到点P，再以每秒1个单位的速度沿线段PB匀速运动到点B，到达点B后停止运动，求点Q的运动时间t的最小值．
15．（2021•渝中区校级自主招生）如图，在△ABC与△DEF中，∠ACB＝∠EDF＝90°，BC＝AC，ED＝FD，点D在AB上．
（1）如图1，若点F在AC的延长线上，连接AE，探究线段AF、AE、AD之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，若点D与点A重合，且AC＝3，DE＝4，将△DEF绕点D旋转，连接BF，点G为BF的中点，
连接CG，在旋转的过程中，求CG+BG的最小值；
（3）如图3，若点D为AB的中点，连接BF、CE交于点M，CE交AB于点N，且BC：DE：ME＝7：9：10，
请直接写出的值．
16．（2021•九龙坡区校级模拟）在△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝AB．若点D为AC上一点，连接BD，将BD绕点B顺时针旋转90°得到BE，连接CE，交AB于点F．
（1）如图1，若∠ABE＝75°，BD＝4，求AC的长；
（2）如图2，点G为BC的中点，连接FG交BD于点H．若∠ABD＝30°，猜想线段DC与线段HG的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，若AB＝4，D为AC的中点，将△ABD绕点B旋转得△A′BD′，连接A′C、A′D，当A′
D+A′C最小时，求S△A′BC．
17．（2021•沙坪坝区校级模拟）如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，△ADE为等边三角形．
（1）若点E为BD的中点，AD＝4，CD＝5，求△BCE的面积；
（2）如图2，若BC＝CD，点F为CD的中点，求证：AB＝2AF；
（3）如图3，若AB∥CD，∠BAD＝90°，点P为四边形ABCD内一点，且∠APD＝90°，连接BP，取BP的
中点Q，连接CQ．当AB＝6，AD＝4，tan∠ABC＝2时，求CQ+BQ的最小值．
18．（2021·全国·九年级专题练习）如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝2，连接AF，BD
（1）求证：△BDC≌△AFC
（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD的值；
（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD的最小值．
19．（2022·四川·隆昌市蓝天育才学校一模）问题提出：如图①，在Rt△ABC中，∠C=90∘，CB=4，CA=6，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求AP+12BP的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP，在CB上取一点D，使CD=1，则CD CP=CP CB=12．又∠PCD=∠BCP，所以△PCD∽△BCP．所以PD BP=CD CP=12．
所以PD=12PB，所以AP+12BP=AP+PD．
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+12BP的最小值为________；
（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求13AP+BP的最小值；
（3）拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，∠COD=90∘，OC=6，OA=3，OB=5，P是CD 上一点，求2PA+PB 的最小值．
20．（2019·山东·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B
（1）求抛物线解析式及B点坐标；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；
（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+12PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．
21．（2018·广西柳州·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(3，0)，B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，且OB=3OA=3OC，∠OAC的平分线AD交y轴于点D，过点A且垂直于AD的直线l交y轴于点E，点P是x轴下方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，交直线AD于点H．（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P的横坐标为m，当FH=HP时，求m的值；
（3）当直线PF为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，12HC为半径作⊙H，点Q为⊙H上的一个动点，求14AQ+EQ 的最小值．。