无约束优化模型

（1）问题分析：利润即取决于销量 和（单件）价格 ，
也依赖于产量和（单件）成本。按市场规律，甲的价格 p1固然会随其销量x1增长而降低，同时会随乙销量x2增长 而降低，乙的价格p2 也遵循同样的规律。
（2）假设：简单地假设价格与销量成线性关系
p1 = b1－a11 x1 －a12 x2 ，b1 ，a 11 ，a12 > ０， a11 >a 12
使(得 Q iai 之 L k i)2最 . 小 优 .
q=[0.72,0.78,0.84,0.73,0.72,0.83,0.81,0.93,0.96,1 .00,1.05,1.18,1.29,1.30,1.30,1.42,1.50,1.52,1.4 6,1.60,1.69,1.81,1.93,1.95,2.01,2.00,2.09,1.96, 2.20,2.12,2.16,2.08,2.24,2.56,2.34,2.45,2.58];
p2 =b2－ a21 x1 － a 22 x2 ， b2 ， a 21 ， a22 >０ ， a 22 > a 21
假设甲，乙成本为其产量的负指数关系,设甲， 乙成本为q1，q2（单位成本）即：
q1r1e1x1 c1,r1,1,c10 q2r2e2x2 c2,r2,2,c20
（3）目标函数：
z ( x1, x2 ) ( p1 q1 ) x1 ( p2 q2 ) x2 3
优缺点：初始阶段f下降较快，但在接近最优解x* 时下降变慢，（想想为什么？）
(2)牛顿法 : 将f (xk1)在xk点作泰勒展开 , 保留到二阶项可得 : 迭代公式 : xk 1 xk 2 f (xk )1f (xk ) (12) 优点 : 在接近最优解时具有二 阶收敛性 . 缺点 : 2 f (xk )可能无逆 ,可能不正定 , 方向不一定是下降方向 . (3) : 拟牛顿法改进的牛顿法 : 常用 常见的方法有 : BFGS 方法; DFP 方法. 优点 : 迭优收敛 (二阶 ).
使 : f ( x k1) f ( x k )
(3 )如果 x k 1符合给定的迭代终止原
则,
迭代停止 , 最优解 x* x k 1 ; 否则转 ( 2 ).
3：迭代法求x*的方向选择不同导致的不同算法。
不考虑步长，不妨设：
ak 1, (1)最速下(降 梯法 度)法 :[负梯度方向就降 是方 最:向 速下 用泰勒展开 ] 可证 迭代公式 :xk为 1xk f(xk)(11)
的最优解，初始值选为(-1.9,2),比较算法的优劣。
四：产销量模型和经济增长模型的求解。
1：产销量模型的求解
（1）：分析：
求maxz(x1,x2),转化为m 求inz(x1,x2);
先求初始:先 值忽略成,并 本令p1, p2中较小系数 0. 为
求z1 b1a11x1x1b2 a22x2x2的驻点 ,
(3):输出结果： x=20.2413 -0.2420 即 r= 20.2413 k=-0.2420
3:优化程序中控制参数options的设置：
例：opt(1)=1表示有中间结果； opt(1)=0，缺省，表示无中间结果； opt(1)=-1表示给出警告信息。 Opt(2),……，opt(18).
无约束优化模型
0：引言
1: 最优化意义：
自然界许多事情均按最 经济（优化）方向进行 的。 例：光走的路程沿所花时 间最短的方向行进（由 此可行光的折射，反射 定理）
第一次：无约束 优化 模型
一：问题
1：产销量安排： 某厂生产一种产品有甲，乙两个牌号，
讨论在产销平衡 的情况下如何确定各自的产量，使总的 利润最大，所谓产销产销平衡指工厂的产量等于市场上 的销量。
2: fminu及leastsq的基本用法:
例1：
求解 min( x2 / a y2 / b), a b 2.
To MATLAB limin.m [x,y]=1.0e-009 *
-0.3469 -0.3469 本题精确结果为x=y=0.
例2：用下面一组数据拟合c(t)=re kt 的系数r,k.
法 , 割线法 .
或者插值方法
: 对 f ( x k d k ) 采帮用二次
插值函数 f ( x k d k ) q ( ) a 2 b c
其中 a , b , c 可求 q ( 0 ) f ( x k ), q ' ( 0 ) f ( x k ) T d k ,
q ( ) f ( x k d k ) 确定 , 而 的最优值取 q ( ) 达到
x= fm in(‘f’,x0)
x= fm inu(‘f’,x0) x= fm ins(‘f’,x0)
x= le astsq (‘f’,x0) x= curve(‘f’,x0) x= con str (‘f’,x0)
.m 文 件 function f= f(x)
function f= f(x) function f= f(x) function f= f(x)
即: QK, L GY L,Y K (4)
L
B：产值随资金，劳动力的增长而增加，但是 增长得越来越慢，根据这个假设选择（4）式 中函数G的形式，常用的函数是
G(Y) ay,0 1a 0常数(5)
(5)代入(4)得
Q(K,L) aKL1,0 1(6)
这就是经济学著名的布柯道格拉斯生产函. 数 其更一般的形式为
(5）：如果加一个条件 限制：两个牌号的产量和不能超过常 值，比如100，那么问题变成在在条件x1+x2100下，化。
2：经济增长模型：
（0）问题：增加生产，发展经济所依靠的主要因素有： 增加资金，增加劳动力以及技术革新。
研究国民经济产值与这些因素 的数量关系时，由于
即2ba111, 2ba222作为初.值
（2）：编程计算： A:生成函数 to MATLAB canxiao.m
赋初始值：x0=[50,70]; x=fminu(‘canxiao’,x0); z=-canxiao(x) to MATLAB canxiaoml.m 得到：x=23.9025 62.4977 z=6.4135e+003 任务：自己编一个优化程序。并求解产销问题。
k=[0.95,0.96,0.99,0.96,0.93,0.86,0.82,0.92,0.92,1 .00,1.04,1.06,1.16,1.22,1.27,1.37,1.44,1.53,1.5 7,2.05,2.51,2.63,2.74,2.82,3.24,3.24,3.61,4.10, 4.36,4.77,4.75,4.54,4.54,4.58,4.58,4.58,4.54];
t 0.25 , 0.5 , 1 , 1.5, 2 , 3 , 4 , 6 , 8 c 19.21, 18.15 , 15.36, 14.10, 12.89, 9.32, 7.45, 5.24, 3.01 解：（1）建立ct.m文件计算函数值：
（2）给r,k赋初值： x0=[10,0.5]; x=leastsq(‘ct’,x0); toMATLAB ctmingl.m
二：无约束优化的基本方法。 介绍求解无约束优化模型的基本原理
和方法，将（1）重新写成：
minf (x),xx1Rn(8) xn
一般f为非线性函数，（8）式常称为无约束非线性规划。
一般求f的极值点，是局部最优解，全部最优解只能从局
部最优解比较而得，所谓最优解均指局部最优解。
1：最优解条件：
fx1
fu n ctio n [f,g]= f(x)
x=lp(c,A ,b)
x= qp(H ,c,A ,b)
x= m inm ax(‘f’, x 0)
x= fze ro(‘f’,x0)
x= fsolve(‘f’,x0)
F u n ctio n [f,g]= f(x) function f= f(x)
function f= f(x)
最小的
min
b . 2a
三：MATLAB优化工具箱：
1： MATLAB优化工具箱的主要功能： 本节主要介绍fminu及leastsq的用法
问题
模型
无约束极小
M inf(x),x∈ R
（非线形规划）
n
M inf(x),x∈ R
非 线 形 最 小 二 乘 M inf’(x)f(x)
约束极小 （非线形规划）
技术水平不像资金，劳动力那样容易定量化，作为初步的 模型，可认为技术水平不变，只讨论产值与资金，劳动力 之间的关系;在资本主义初期，这模型应该有意义.目的寻 求产值与资金，劳动力之间的关系。
（1）：假设变量：设Q，K，L分别表示产值，资金劳动
力，求Q（K，L）。
（2）建模：
A：产值依赖于每个劳动力的投资强度，并且与劳动 力数量成正比（G表示某一函数）
(4) : 如果 b1 100 , a11 1, a12 0.1 b2 280 , a21 0.2, a22 2
r1 30 , 1 0.015 , c1 20 r2 100 , 2 0.02 , c2 30
求 x1, x2使总利润最大 .这就是无约束优化题 . (用之前二元函数求驻点 时, 要求解非线性方程组 )
（3）求驻点：对实际有意义的点，我们只需求f（x*）= 0
的点，即驻点即可。但f（x*）= 0 常是非线性方程组，难求。 需用 数值算法。
2：求驻点的算法 ：迭代法：
(1)选初始解 x 0 .
( 2 )对于第 k 次迭代解 x k , 确定搜索方向
并在此方向确定搜索步
长ak R,
d
k
R
k 1
令 x k 1 x k a k d k
4min2abqdxfqdxfqxfqcbacbaqdxfdxffibonaccidxfadkkktkkkkkkkkkk????最小的达到的最优值取而确定可求其中插值函数采帮用二次对或者插值方法割线法法求函数极值的牛顿切线法法常见方法有称为一维搜索是一个一维优化问题实际上求步长确定后搜索方向线性搜索定迭代法中搜索步长的确??三
记f
(x)
f x2
fxn
记2 f (x) ( fxixj )nxn称为Hessian矩阵.
必要条件：如果x=x*为（8）的最优解{极 值点）
f（x*）= 0 ……（9）（满足此式 的点称为驻点）
充分条件：
如果 f(x*)0且2(x*正 ) （负 ） (定 10) X*为极小（大.(用 ）多 值元 点函数的证 泰） 勒展
其中[fiminu的]opt(6)=0（缺省）:拟牛顿法BFGS公式； opt(6)=1:拟牛顿法DFP公式； opt(6)=2:最速下降法。（控制搜索方向）
其中[fiminu的]opt(7)=0 （缺省）:混合二次，三次多项式插值； opt(7)=1：三次插值。（控制步长的一维搜索）。
任务：用三种不同算法求f(x,y)= 10 (y0 x2)2(1x)2
l=[0.78,0.81,0.85,0.77,0.72,0.84,0.81,0.89,0.91,1 .00,1.05,1.08,1.18,1.22,1.17,1.30,1.39,1.47,1.3 1,1.43,1.58,1.59,1.66,1.68,1.65,1.62,1.86,1.93, 1.96,1.95,1.90,1.58,1.67,1.82,1.60,1.61,1.64];
4 : 迭代法中搜索步长的确
定 线性搜索 .
(1 ) 搜索方向 d k 确定后 , 求步长 a k , 实际上
是一个一维优化问题
min f ( x k d k ) (13 )
称为一维搜索 .
( 2 ) 常见方法有 : 0 .618 法 , Fibonacci 法 ,
求函数极值的牛顿切线
线形规划
n
M inf(x),x∈ Ｒ s.t.g(x)≤ 0
M in c’x s.t.A x≤ b
二次规划
M inx’H x/2+ c’x s.t. A x ≤ b
极小极大
非线形方程近似 解
M in(m axf(x)) s.t. g(x)≤ 0
f(x)= 0, x ∈ R
n
f(x)=0, x∈ R
基本程序名
Q(K,L) aKL ,0 , 1(7)
（3）估计参数（即是优化模型 ）：（7）式中，，a
要由经济统计数据确定。现有美国马萨诸塞州1890— 1926年上述三个经济指数的统计数据。 常用方法：对（7）式取对数线性二乘法估计，，a ； 或直接对（7）式非线性拟合估计 ，，a 。 所谓式直接对（7）式非线性拟合估计 ，，a ，就是选 取，，a 。
2;经济增长模型：
（1）待拟合系数记作c=(a,,),计算如下：
A: 定义函数to matlab pp1.m B:赋初始值：c(0)=[1,1,1]; C:计算c; D: 计算误差平方和y。[to matlab pp1ml.m (2):结果：c=1.0316 0.3609 0.4398