数学一轮复习课后限时集训48两条直线的位置关系含解析

课后限时集训(四十八）两条直线的位置关系
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一、选择题
1．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是（）A．平行B．垂直
C．相交但不垂直D．不能确定
C［直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0
的斜率k2＝－1
2,则k1≠k2，且k1k2≠－1.故选C。

]
2．已知过点A（－2,m)和B(m，4)的直线为l1，直线2x＋y －1＝0为l2,直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3,则实数m＋n 的值为（）
A．－10 B．－2
C．0 D．8
A[因为l1∥l2，所以k AB＝错误!＝－2.解得m＝－8。

又因为l2⊥l3，所以－错误!×(－2)＝－1,解得n＝－2,
所以m＋n＝－10。

]
3．经过两直线l1：2x－3y＋2＝0与l2:3x－4y－2＝0的交点,且平行于直线4x－2y＋7＝0的直线方程是(）
A．x－2y＋9＝0 B．4x－2y＋9＝0
C．2x－y－18＝0 D．x＋2y＋18＝0
C[由错误!解得错误!所以直线l1，l2的交点坐标是（14，10)．设与直线4x－2y＋7＝0平行的直线l的方程为4x－2y＋C＝
0(C≠7)．因为直线l过直线l1与l2的交点(14，10),所以C＝－36。

所以直线l的方程为4x－2y－36＝0,即2x－y－18＝0.故选C.] 4．若直线l1：x＋3y＋m＝0（m〉0)与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为10，则m＝（)
A．7 B．错误!
C．14 D．17
B[直线l1：x＋3y＋m＝0（m>0），即2x＋6y＋2m＝0，因为它与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为错误!，所以错误!＝错误!，求得m＝错误!。

]
5．一只虫子从点(0，0）出发，先爬行到直线l:x－y＋1＝0上的P点，再从P点出发爬行到点A(1,1），则虫子爬行的最短路程是(）
A．错误!B．2
C．3 D．4
B［点(0，0)关于直线l：x－y＋1＝0的对称点为（－1,1)，则最短路程为错误!＝2。

]
6．（多选）已知直线l1：mx＋(m－3)y＋1＝0，直线l2：(m＋
1)x＋my－1＝0，且l1⊥l2，则（)
A．直线l1恒过定点错误!
B．直线l2恒过定点(1,1）
C．m＝0或m＝1
D．m＝0或m＝－错误!
AC［由直线l1的方程可得，m(x＋y)＋(－3y＋1)＝0，由错误!解得错误!故直线l1恒过定点错误!,故选项A正确;由直线l2的方程可得,m(x＋y）＋（x－1）＝0，由错误!解得错误!故直线l2恒过定点(1，－1),故选项B不正确;因为直线l1:mx＋（m－3)y＋1＝0与直线l2:(m＋1)x＋my－1＝0垂直，所以m(m＋1）＋m(m－3）＝0,
即m(m－1）＝0，解得m＝0或m＝1，所以选项C正确，选项D错误．］
二、填空题
7．已知直线l1:mx＋3y＋3＝0，l2:x＋(m－2)y＋1＝0，则“m ＝3”是
“l1∥l2”的________条件．
既不充分也不必要［若l1∥l2，则错误!
∴m＝－1.
∴“m＝3”是“l1∥l2”的既不充分也不必要条件．］
8．已知点P(3，2)与点Q（1，4）关于直线l对称，则直线l
的方程为________．
x－y＋1＝0［因为k PQ＝错误!＝－1,故直线l的斜率为1，又线段PQ的中点为（2,3)，所以直线l的方程为x－y＋1＝0.] 9．若直线l1:x＋my＋6＝0与l2:(m－2）x＋3y＋2m＝0互相平行，则m的值为________,它们之间的距离为________．－1错误!［由题知,1×3＝m(m－2）且1×2m≠6(m－2），解得m＝－1，则l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋错误!＝0，则两平行线间的距离为d＝错误!＝错误!。

]
三、解答题
10．已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线的方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线的方程为x －2y－5＝0，求直线BC的方程．
[解]依题意知k AC＝－2,A(5,1)，所以直线AC的方程为2x＋y －11＝0，联立直线AC和直线CM的方程，得错误!所以C（4,3）．设B(x0，y0），AB的中点M为错误!，代入2x－y－5＝0,得2x0－y0－1＝0，所以错误!所以B（－1，－3)，所以k BC＝错误!,所以直线BC的方程为y－3＝错误!(x－4)，即6x－5y－9＝0。

11．一条光线经过点P(2,3)射在直线l：x＋y＋1＝0上，反射后经过点Q（1，1），求：
（1）入射光线所在直线的方程；
(2)这条光线从P到Q所经过的路线的长度．
［解]（1)设点Q′(x′,y′）为点Q关于直线l的对称点，QQ′交l于点M，∵k l＝－1，∴k QQ′＝1,
∴QQ′所在直线的方程为y－1＝1×（x－1),即x－y＝0。

由错误!解得错误!
∴交点M错误!，∴错误!
解得错误!∴Q′(－2，－2）．
设入射光线与l交于点N，则P，N，Q′三点共线，
又P(2，3），Q′(－2，－2)，
∴入射光线所在直线的方程为
错误!＝错误!,即5x－4y＋2＝0.
（2)｜PN|＋|NQ|＝｜PN｜＋｜NQ′|＝|PQ′|＝错误!＝错误!，
即这条光线从P到Q所经路线的长度为错误!.
1．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0，4),若其欧拉线的方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标是() A．(－4，0) B．(0,－4）
C．（4,0）D．（4,0)或（－4,0)
A［设C(m,n)，由重心坐标公式，得△ABC的重心为错误!，代入欧拉线方程得错误!－错误!＋2＝0，整理得m－n＋4＝0，①易得AB边的中点为(1,2），k AB＝错误!＝－2，AB的垂直平分线的方程为y－2＝错误!(x－1），即x－2y＋3＝0。

由错误!解得错误!∴△ABC的外心为（－1，1)，则(m＋1)2＋（n－1)2＝32＋12＝10，整理得m2＋n2＋2m－2n＝8.②
联立①②解得m＝－4，n＝0或m＝0，n＝4。

当m＝0，n ＝4时，点B，C重合,应舍去，∴顶点C的坐标是（－4,0）．故选A。

]
2．（2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋错误!(x〉0）上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是__________．
4[由y＝x＋错误!（x>0)，得y′＝1－错误!,
设斜率为－1的直线与曲线y＝x＋错误!(x〉0）切于（x0，x0＋错误!)（x0＞0)，由1－错误!＝－1,解得x0＝错误!（x0〉0)．
∴曲线y＝x＋4
x（x〉0)上，点P(错误!，3错误!)到直线x＋y＝0
的距离最小,最小值为错误!＝4。

]
3．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，
∠A的平分线所在直线的方程为y＝0.若点B的坐标为(1，2)，求：
(1）点A和点C的坐标；
（2)△ABC的面积．
[解](1）由方程组错误!
解得点A(－1,0）．
又直线AB的斜率为k AB＝1，
且x轴是∠A的平分线，
故直线AC的斜率为－1，所以AC所在的直线方程为y＝－(x ＋1)．
已知BC边上的高所在的直线方程为x－2y＋1＝0，
故直线BC的斜率为－2，故BC所在的直线方程为y－2＝－2(x－1）．
解方程组错误!得点C的坐标为(5，－6）．
（2）因为B(1，2)，C(5，－6），所以|BC|＝错误!＝4错误!，点A(－1，0)到直线BC：y－2＝－2（x－1)的距离为d＝错误!＝错误!，所以△ABC的面积为错误!×4错误!×错误!＝12。