最新-九年级数学上册 18你能证明它们吗 导学案北师大

1.1你能证明它们吗
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、 等腰三角形的性质定理及推论；
2、 等腰三角形的判定定理及推论.
【重点难点】
1、 等腰三角形的性质定理及推论；
2、 等腰三角形的判定定理及推论.
3、 反证法
知识概览图
新课导引 如下图所示，很多古代建筑以及我们居住的一些房屋的屋顶都是人字形梁架．
【问题探究】上面叙述的人字形梁架是由哪些图形组成的呢?它们有哪些性质?
教材精华
知识点1 等腰三角形的性质定理
等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(简述为等边对等角)． 用符号语言表示为：如图1－1所示，在△ABC 中，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ． 定理的证明：
取BC 的中点D ，连接AD ． ∵(),()()AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩
已知中点定义，公共边，∴△ABD ≌△ACD (SSS)．
∴∠B ＝∠C (全等三角形的对应角相等)．
定理的作用：证明同一个三角形中的两个内角相等．
拓展 等腰三角形还具有其他性质．
(1)等腰直角三角形的两个底角相等，都等于45°．
(2)等腰三角形的底角只能是锐角，不能是钝角或直角，但顶角可以是锐角、钝角或直角．
(3)等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2
b ＜a ． (4)等腰三角形的三角关系：设顶角为∠A ，底角为∠B ，∠C ，则∠A ＝180°－∠B －∠C ＝180°－2∠B ＝180°－2∠C ．
知识点2 等腰三角形的性质定理的推论
推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”)．
(1)用符号语言表示为：如图1－3所示，
①在△ABC 中，∵AB ＝AC ，∠1＝∠2，∴AD ⊥BC ．BD ＝DC ；
②在△ABC 中，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠1＝∠2，BD ＝DC ；
③在△ABC 中，∵AB ＝AC ，BD ＝DC ，∴∠1＝∠2，AD ⊥BC ．
(2)推论1的证明．
①在△ABC 中，∵AB ＝AC ，∠1＝∠2，AD ＝AD ，
∴△ABD ≌△ACD (SAS)．
∴BD ＝DC ，∠ADB ＝∠ADC ＝90°．∴AD ⊥BC ．
②在△ABC 中，∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°．
∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ．又AD ＝AD ，∴Rt △ADB ≌Rt △ADC (AAS)．
∴∠1＝∠2，BD ＝CD ．
③在△ABC 中，∵AB ＝AC ，AD ＝AD ，BD ＝CD ，
∴△ABD ≌△ACD (SSS)
∴∠1＝∠2，∠ADB ＝∠ADC ＝90°，∴AD ⊥BC .
(3)推论1的作用：证明角相等、线段相等或垂直.
推论2：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°．
(1)用符号语言表示为：如图1－4所示，
在△ABC 中，∵AB ＝BC ＝AC ，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°．
(2)推论2的证明：
∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ．
∵AB ＝BC ，∴∠A ＝∠C ．
∴∠A ＝∠B ＝∠C ．
又∵∠A +∠B +∠C ＝180°，即3∠A ＝180°，
∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°．
知识点3 等腰三角形的判定定理
等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简述为等角对等边)．
用符号语言表示为：如图1－6所示，在△ABC 中，
∵∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC
判定定理的证明：如图1－6所示．
过A 作AD ⊥BC 于D ，则∠ADB ＝∠ADC ＝90°．
∵∠B ＝∠C ，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD (AAS)，
∴AB ＝AC ．
√判定定理的作用：证明同一个三角形中的边相等．
拓展 如图1－6所示，在△ABC 中，
(1)如果AD ⊥BC ，∠1＝∠2，那么AB ＝AC ；
(2)如果AD ⊥BC ，BD ＝DC ，那么AB ＝AC ；
(3)如果∠1－∠2，BD ＝DC ，那么AB ＝AC ．
知识点4 等腰三角形的判定定理的推论
推论1．
(1)推论1的内容：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
(2)用符号语言表示为：如图1－8所示，在△ABC 中，∵AB ＝AC ，∠A ＝60°(或∠B ＝60°或∠C ＝60°)，∴AB ＝AC ＝BC ．
(3)推论1的证明：
在△ABC 中，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ．
又∵∠A ＝60°，∴∠B ＝∠C ＝01802
A -∠＝60° ∴A
B ＝A
C ＝BC ．
(或∵∠B ＝60°，∴∠A ＝180°－2∠B ＝60°．∴AB ＝AC ＝BC ．或∵∠C ＝60°，∴∠A ＝180°－2∠C ＝60°．∴AB ＝AC ＝BC ．)
√推论2．
(1)推论2的内容：三个角都相等的三角形是等边三角形．
(2)用符号语言表示为：如图1－8所示，在△ABC 中，∵∠A ＝∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC ＝BC ．
(3)推论2的证明：
在△ABC 中，∵∠A ＝∠B ，∴BC ＝AC (等角对等边)．
又∵∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC (等角对等边)．∴AB ＝AC ＝BC ．
(4)推论1和推论2的作用：证明一个三角形是等边三角形．
拓展 判定一个三角形是等边三角形主要有以下三种方法：
(1)根据等边三角形的定义，证明三条边相等；
(2)根据推论1，证明两条边相等，有一个角是60°；
(3)根据推论2，证明三个角都相等．
√推论3．
(1)推论3的内容：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。

，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
(2)用符号语言表示为：如图1－9所示，在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，∠A ＝30°，
∴BC ＝2
1AB ．
(3)推论3的作用：证明一条线段是另一条线段的一半或2倍．
知识点5 反证法
先假设命题的结论不成立，然后从假设出发，推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而否定假设，证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．
拓展 反证法是一种常用的间接证明方法，用反证法的一般步骤是：
(1)假设命题不成立；
(2)从假设出发推导出矛盾；
(3)否定假设，从而肯定命题的结论．
规律方法小结
1．转化思想：在等腰三角形的性质定理和判定定理的证明过程中，都是通过构造全等三角形，转化为全等得以证明的．
2．类比思想：采用类比思想，把等腰三角形的性质和判定对照着学习．
3．用反证法进行证明时，注意推理的规范性和逻辑的严密性，不能忽略任何一种可能的情况．
探究交流
想一想：还有其他方法证明等腰三角形的性质定理吗？
解析 有，作等腰三角形ABC 的顶角平分线AD ，如图1－2所示.
∵⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠=,)(),(21,)(公共边角平分线定义
已知AD AD AC AB ∴△ABD ≌△ACD (SAS).
∴∠B ＝∠C (全等三角形的对应角相等)
课堂检测
基础知识应用题
1、如图1－10所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ＝
32AC ，AE ＝3
2AB ．求证BD ＝CE ．
2、如图1－12所示，已知点D ，E 在△ABC 的边BC 上，AB ＝AC ，AD ＝AE ．求证BD ＝CE ．
3、如图1－13所示，已知∠CAE是△ABC的一个外角，∠1＝∠2，AD∥BC，
求证△ABC是等腰三角形．
综合应用题
4、下面是数学课堂的一个学习片段，阅读后，回答问题．
学习等腰三角形的有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：已知等腰三角形ABC的∠A等于30°，求其余两角．
同学们经过片刻的思考与交流后，李明同学举手说：“其余两角是30°和120°．”王华同学说：“其余两角是75°和75°．”还有一些同学也提出了不同的看法……
假如你也在课堂上，你的意见如何?为什么?
探索创新题
5、已知等边三角形ABC和点P，设点P到△ABC三边AB，AC，BC的距离分别是h1，h2，h3，△ABC的高为h，若点P在边BC上，如图1－17(1)所示，此时h3＝0，可得结论：h1+h2+h3＝h．
请直接应用上述信息解决下列问题：
点P在△ABC内，如图1－17(2)所示．点P在△ABC外，如图1－17(3)所示，这两种情况时，上述结论是否还成立?若成立，请给出证明；若不成立，h1，h2，h3与h之间又有怎样的关系?请写出你的猜想，不需证明．
体验中考
1、已知等腰三角形ABC的周长为10．若设腰长为x，则x的取值范围是．
2、如图1－20所示，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BE＝CF，∠B＝∠1．求证AC＝DF(要求：写出证明过程中的重要依据)．
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、证法1：∵AB ＝AC ，AD ＝32AC ，AE ＝3
2AB (已知)， ∴AD ＝AE ．
在△ABD 和△ACE 中，
∵⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠=,)(),(),(已证公共角已知AE AD A A AC AB
∴△ABD ≌△ACE (SAS)，
∴BD ＝CE (全等三角形的对应边相等)．
证法2：∵AB ＝AC (已知)，
∴∠ABC ＝∠ACB (等边对等角)．
∵AD ＝
32AC ，AE ＝3
2AB ， ∴CD ＝31AC ，BE ＝31AB ， ∴CD ＝BE (等量代换)．
在△DBC 和△ECB 中，
∵⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠=,)(),(),(公共边已证已证BC CB EBC DCB BE CD
∴△DBC ≌△ECB (SAS)，
∴BD ＝CE (全等三角形的对应边相等)．
【解题策略】认真观察BD 边和CE 边所在的三角形，寻找三角形全等的条件．
2、
分析 本题考查等腰三角形的性质定理及其推论的应用．要证明线段BD ＝CE ，可以证
明△ABD≌△ACE．由已知AB＝AC，AD＝AE，所以只要证明∠BAD＝∠CAE即可，这可由“等边对等角”得出∠ADE＝∠AED，∠B＝∠C来证明．本题还可以运用“三线合一”的性质作辅助线(高AF)来证明．
证法1：∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED(等边对等角)，
∴∠ADE－∠B＝∠AED－∠C，
即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)．
∴BD＝CE．
证法2：过A作AF⊥BC，垂足为F，则AF⊥DE．
∵AB＝AC，AD＝AE，AF⊥BC，AF⊥DE，
∴BF＝CF，DF＝EF(等腰三角形“三线合一”)．
∴BF－DF＝CF－EF，即BD＝CE．
规律·方法作等腰三角形底边上的高(或顶角平分线、底边上的中线)，从而运用等腰三角形“三线合一”的性质进行解答，这是引辅助线的常见方法，在学习过程中要注意积累，并灵活运用．
3、分析本题考查等腰三角形的判定定理的应用．要证明△ABC是等腰三角形，需证明∠B＝∠C，这可利用已知条件得出．
证明：∵AD∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠C．
又∵∠1＝∠2，∴∠B＝∠C．
∴△ABC是等腰三角形(有两个角相等的三角形是等腰三角形)．【解题策略】判定等腰三角形的方法有：
(1)根据定义“有两边相等的三角形是等腰三角形”．
(2)运用等腰三角形的判定定理“等角对等边”．
4、分析本题考查等腰三角形的性质的应用，题中的三角形是等腰三角形，所以它的两个底角相等．由于∠A＝30°＜90°，所以∠A可能是顶角，也可能是底角，故需分类讨论另两个角的度数．解答时要考虑全面，不要遗漏或忽略任何一种情况.
解：上述两名同学回答的都不全面，应该是：其余两角的大小是75°和75°或30°和120°．理由如下：
①当∠A是顶角时，设底角为α，则30°+α+α＝180°，解得α＝75°.
∴其余两角分别是75°和75°．
②当∠A是底角时，设顶角是β，
则30°+30°+β＝180°，解得β＝120°．
∴其余两角分别是30°和120°．
综上，其余两角为75°和75°或30°和120°．
规律·方法在解答有关等腰三角形的问题时．要注意分类讨论思想的应用.
5、分析对于图(2)结论仍然成立，对于图(3)结论不成立，此时h1+h2－h3＝h.
解：当点P 在△ABC 内时，结论仍成立，证明如下：
过点P 作NQ ∥BC ，分别交AB ，AC ，AM 于N ，Q ，K ，
由题意得h 1+h 2＝AK ，
易证KM ＝PF ＝h 3．
∴h 1+h 2+h 3＝AK +KM ＝h .
当点P 在△ABC 外时，结论不成立，它们的关系应是h 1+h 2－h 3＝h ．
体验中考
1、分析 底边长为10－2x ，显然10－2x ＞0，∴x ＜5．∵三角形两边之和大于第三边，∴x +x ＞10－2x ，∴x ＞
25．故2
5＜x ＜5． 2、分析 由SAS 可知△ABC ≌△DEF ，则AC ＝DF ．
证明：∵BE ＝CF ，
∴BE +EC ＝EC +CF ，即BC ＝EF ．
在△ABC 和△DEF 中，∵⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠=,,1,EF BC B DE AB
∴△ABC ≌△DEF (SAS)，
∴AC ＝DF (全等三角形的对应边相等)。