福建省永安市第三中学2019届高三上学期期中考试数学(理)试题答案

永安三中2018-2019学年高三上学期期中考试
理科数学试卷答案
一、选择题
A B D A C
B B A D
C C B
二、填空题三、解答题
17、答：（1）设等差数列{}n a 的公差为d，因为37a =，5726a a +=，所以有112721026
a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d ==，所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =2n +2n .（2）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以
b n
所以n T
18、解：(1)由已知有f(x)=m ⇀·n ⇀+1=3sin x 2cos x 2−cos
2x 2+1=
x −12cos 2x +12=sin (x −π6)+12
，令2kπ−π2≤x −π6≤2kπ+π2,k ∈Z ，
得2kπ−π3≤x ≤2kπ+2π3,k ∈Z ，
所以所求递增区间为[2kπ−π3,≤2kπ+
2π3],k ∈Z;(2)因为x ∈[0,π]，
所以x −π6∈[−π6,5π
6]，
()3813()314()2415()()
1,16-∞-
得，f(x)=sin (x −π6)+12∈[0,32]
又关于x 的方程f(x)=a 在区间[0,π]上有实数解，
所以实数a 的取值范围为[0,32]．
19、(Ⅰ)解：∵1+122<32，1+122+132<53，1+122+132+142<74，
∴一般性结论：1+122+132+…+1n 2<
2n−1n ;
(Ⅱ)证明：①n =2时，左=1+122<32=右，猜想成立；
②假设n =k(k ∈N ∗,k 2)时猜想成立，即1+122+132+⋯+1k 2<
2k−1k ,则当n =k +1时，1+1
22+1
32+⋯+1
k 2+1
(k+1)2<2k−1k +1
(k+1)2=2k 3+3k 2+k−1k(k+1)2
<2k 3+3k 2+k
k(k+1)2=k(2k+1)(k+1)
k(k+1)2=2k+1
k+1，
即n =k +1时，猜想也成立．
综上：由①②可知，猜想成立．
20、解：（1）∵2cos cos c b B a A
-=，所以(2)cos cos c b A a B -⋅=⋅，∵sin sin sin a b c A B C
==，∴(2sin sin )cos sin cos C B A A B -⋅=⋅．∴2sin cos sin cos sin cos C A B A A B ⋅-⋅=⋅．∴2sin cos sin()sin C A A B C ⋅=+=．在△ABC 中，sin 0C ≠．∴1cos 2A =，3
A π∠=．
43111(3)(3)(,2cos 2,3)2(222222222=
∆===+-+≥-+=∴=+-+=-+=∴=∠∆ABC S ABC a c b c b c b bc c b a c b bc c b A bc c b a A 为等边三角形，即取到最小值时，当且仅当又 π21、
(Ⅰ)解:当1a =-时，()f x =e x x -+,则
()11x f x e '=-+.…………………………………1分
令()0f x '=，得0x =.
当0x <时,()0f x '<;当0x >时,
()0f x '>.……………………………………………………2分∴函数()f x 在区间(),0-∞上单调递减,在区间()0,+∞上单调递增.………………………………3分
∴当0x =时,函数()f x 取得最小值,其值为
()01f =.……………………………………………4分
（Ⅱ）由(Ⅰ)得：1x e x ≥+恒成
立．………………………………………………………………………5分()()()()1ln 1ln ++≥⇒+++≥+⇒≥-m x e ax m x ax e x g x f x x ①当1ln()1x x m +≥++恒成立时，即x m e x ≤-恒成立时，条件必然满足．……………………6分
设()x G x e x =-，则()'1x G x e =-，在区间()0,∞-上，()'0G x <，()G x 是减函数，在区间()0+∞，上，()'0G x >，()G x 是增函数，即()G x 最小值为()01G =．于是当1m ≤时，条件满
足．………………………………………………………………………………9分
②当1m >时，()01f =，()0ln 11g m =+>即()()00f g <，条件不满足． (11)
分
综上所述，m 的取值范围为
1]-∞（，．……………………………………………………………………12分
22、解：（1）曲线C 的普通方程为2
213
x y +=；当3πθ=时，直线l
的参数方程：1122
x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将l 的参数方程代入2213
x y +=，得220t t +-=，解得122,1t t =-=，所以123AB t t =-=.
（2）直线l 参数方程代入得()
222cos 3sin 2cos 20t t θθθ++-=，1222221cos 3sin 12sin PA PB t t θθθ=-=
=++ ，210sin 1,13
PA PB θ≤≤≤≤ ，所以PA PB 的范围是1,13⎡⎤
⎢⎥⎣⎦.23、解：（I ）当3m =时，()5f x ≥即|6||3|5x x +--≥，
所以⎩⎨⎧≥--<596x 或⎩⎨⎧≥+≤≤-53236x x 或⎩
⎨⎧≥>593x …………………………………4分解得不等式()5f x ≥的解集为{}|1x x ≥.…………………………………5分（Ⅱ）因为|6||||6|x m x x m x +--≤++-＝|6|
m +由题意得67m +≤，则767m -≤+≤，.................................8分解得131m -≤≤,即m 的取值范围是[13,1]-. (10)。