2008年高考模拟创新试题分类汇编(集合简易逻辑与不等式)

2008年高考模拟创新试题分类汇编
一，集合简易逻辑与不等式（复数）一，考纲要求及分析
1，集合与简易逻辑：理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.了解空集和全集的意义.了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.理解逻辑联结
词“或”、“且”、“非”的含义.理解四种命题及其相互关系.掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义.
集合是大学当中第一遇到的内容，也是现代数学的基础，因此，中学阶段集合上的能力更重要的是作为一种思想的渗透。

而集合的思想方法又主要体现为：一是理论上的思想渗透（这不是高考命题的范畴），二是集合与其他知识如简易逻辑的类比性渗透（这也难于化到高考命题的范围），三是集合本身内含了博大精深的思想，而这又是高中阶段能解决又能反应能力的地方，具体又表现为三点：⑴集合表示方法间的转化蕴涵了数学解题的原则性思想：;⑵有限集合元素个数确定的容斥原理（该部分在教材中处于阅读内容，它可以用初中及小学的解方程法加以解决，也可以用高中的容斥原理）；⑶集合的运算更多情况下是自定义的；⑷集合与方程或不等式同解性联系（这一部分通常以其他知识的面貌出现，如：“求…的解集”等等）。

充要条件的题一般有三种类型：一，传统的判断形：“判断A是B 的……条件”，它常常以选择题的形式出现；二是“证明A的……条件是B”的证明型；三是“找出A的……条件，并证明”的开放型。

后二者在高考中很少见到。

2，不等式：理解不等式的性质及其证明掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用.掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.掌握简单不等式的解法.理解不等式| a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|。

从考题上而言，能力的反应变化为，在解法上由原来的等价转化（穿根法）更推进一步，出现了可以用图象法并结合其他知识的解题这一原来认为是特殊技巧的解法的试题，以此来体现创新能力。

3，复数：这是限于理科的内容，考试要求为：了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义.掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算.了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想.
该部分降低要求，重心自然也放在基本的代数运算上。

将这几部分结合在一起，是因为集合中的事例常常是通过不等式解
集来体现，试题中也最容易体现此点；而复数也可以看作是由于数集的推广得到的。

二，例题简析
例1，不等式e|lnx|>x2-2的解集为____________
分析：将不等式转化为等价的有理不等式组，为此需要去掉绝对值符号，而lnx>0x>1，此时e|lnx|=e lnx=x；同理得出lnx<0时情况，注意x>0的隐含条件。

解：原不等式等价于① 或②,①的解为1≤x<2;②的解为0<x<1.总之，填(0,2)
说明：该题综合了对数的运算、不等式的等价转化及分类讨论的数学思想，知识上不超纲，充分体现了运算与思维能力。

例2，如图，某药店有一架不准确的天平（其两臂不等）和一个10克
的砝码。

一名患者想要20克中药，售货员将砝码放在左盘中，将药物放在右盘中，待平衡后交给患者；然后又将药物放在左盘中，将砝码放在右盘中，待平衡后再交给患者。

设患者实际购买药物为m克，则
m________20克（填><=）(石家庄质检题)
解：设两臂长分别为b,a,（b>a），第一次、第二次称得的药物分别为x,y克，则：10b=xa,yb=10a,从而m=x+y=+≥2=20,等号成立当且仅当=当且仅当a=b ∵a≠b ∴m>20克填>
说明：该题容易看不懂题意，凭感觉“药店不吃亏”而错填<；这与考纲中考查理性思维相对应。

例3，某商场对商品进行两次提价，现提出四种提价方案，提价幅度较大的一种是（）
A,先提价p%,后提价q% B,先提价q%,后提价p%
C，分两次提价% D,分两次提价%（以上p≠q）（吉林质检）
解：设原价为1，则A、B提价后都为(1+p%)(1+q%),A、B都不当选；
方案C提价后为(1+%)2,方案D提价后为(1+%)2,只要比较与的大小。

这是教材中一个习题，有≥，由于p≠q，所以>,选D。

说明：不等式≥反应了平方和与和的大小关系，是教材中的一个习题，用它可以解决许多问题，该题给我们的启示是，“应将之视作一个基本不等式对待”。

例4，任意两正整数m、n之间定义某种运算，mn=,则集合M= {(a,b)|ab=36,a、b∈N+}中元素的个数是___________
解：a、b同奇偶时，有35个；a、b异奇偶时，有(1,36)、(3,12)、(4,9)、(9,4)、(12,3)、(36,1)6个，共计41个。

填41。

说明：定义运算是数学学习到一定程度的抽象产物，它给我们的启示是：集合间的运算并非仅教材上提及的几个简单运算，多数情况下是自定义的。

[试题汇编]
一，单项选择题
1，已知M={y|y=x2}，N={y|x2＋y2=2}，则MN=( )
A、{(1，1)，(－1，1)}
B、{1}
C、[0，1]
D、[0，]
（湖南示范）
2，（理）设复数z=+(1+i)2,则(1+z)7展开式的第五项是（ ）
A,-21 B,35 C,-21i D,-35i
（文）不等式|x|≥的解集是（ ）
A,(-∞，0) B, C,(-∞，0)∪ D, (武汉4月调研)
3，函数y=f(x)是圆心在原点的单位圆的两段圆弧（如图），则不等式f(x)<f(-x)+x的解集为（ ）
A,{x|-<x<0或<x≤1} B,{x|-1≤x<-或<x≤1}
C,{x|-1≤x<-或<x≤1} D,{x|-<x<且x≠0}
4，集合P={1,4,9,16,……},若a∈P，b∈P，有a○b∈P，则运算○可能是（）
A，加法 B，减法 C，除法 D，乘法
5，设x、y、a、b∈R，且x2+y2=4,a2+b2=1,则S=ax+by的最值情况是（）
A,最大值为5/2，无最小值 B,最大值为2，最小值为-2
C，最大值为5/2，最小值为-5/2 D，以上都不对
6（文）小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以可以从以下方案
中任选其一：方案一，按使用面积缴纳，4元/米2；方案二，按建筑面
积缴纳，3元/米2。

李明家的使用面积是60米2，如果他家选择方案二缴
纳费用较少，那么他家的建筑面积最大不超过（ ）米2
A，70 B，80 C，90 D，100
（理）某商店某种货物的进价下降了8%，但销售价不变，于是这种
货物的销售利润率（）由原来的r%增加到(r+10)%,则r=( )
A,12 B,15 C,20 D,25
7，a<b,d<c且(c-a)(c-b)<0,(d-a)(d-b)>0，则a、b、c、d的大小关系是（）
A,d<a<c<b B,a<c<b<d C,a<d<b<c D,a<d<c<b(黄冈练习)
8,函数f(x)=lg(a x-b x) (a>1>b>0),则f(x)>0的解集为(1,+∞) 的充要条件是（）
A,a=b+1 B,a<b+1 C,a>b+1 D,b=a+1 （黄冈模拟）
9，设集合I={1，2，3}，AI,若把集合M∪A=I的集合M叫做集合A的
配集，则A={1，2}的配集有（）个 A，1 B，2 C，3 D，4 10（文）设a1≤a2≤a3,b1≤b2≤b3为两组实数，c1,c2,c3为b1,b2,b3的任一
排列，设P=a1b1+a2b2+a3b3,Q= a1b3+a2b2+a3b1,R= a1c1+a2c2+a3c3则必有( )
A,P≤Q≤R B,R≤P≤Q C,P≤R≤Q D,Q≤R≤P (唐山一模)
（理）设2α是第二象限的角，则复数(tanα+i)(1+icotα)对应的点位于复
平面内的第（　）象限
A．一 B．二　C．三 D．四（唐山二模）
11，有一个面积为1米2，形状为直角三角形的框架，有下列四种长
度的钢管供应用，其中最合理（够用且最省）的是（）米A,4.7 B,4.8
C,4.9 D,5(石家庄二模)
12，（文）设全集U＝R，集合，，，则等于（　）A．{2} B． C．{x|x＜2，或2＜x＜3} D．或（北京四中模三）
（理）不等式组，有解，则实数a的满足的取值范围集合是（　）A．（-1，3）　B．（-3，1）C．（-∞，1）（3，＋∞） D．（-∞，-3）（1，＋∞）
二，填空题
13，（文）不等式>ax+的解集为(4,b),则a.b=_________
（理）已知三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，满足
a n+
b n=
c n(n>2),则三角形ABC一定是__________三角形(按角分类)
14（文）已知集合P＝{（x，y）|y＝m}，Q＝{（x，y）|y＝，a＞0，a≠1}，如果PQ有且只有一个元素，那么实数m的取值范围是
________．（北京四中模二）
（理）定义在[-1，1]上的奇函数f(x)单调增，且f(-1)=-1,若f(x)≤t2-
2at+1对一切x及a∈[-1,1]恒成立，则t的取值集合是__________(北京海淀)
15， 设含有集合A={1,2,4,8,16}中三个元素的集合A的所有子集记为B1,B2,B3,…,B n(其中n∈N*),又将B k(k=1,2,……,n)的元素之和记为a k,则=_____（江苏常州模拟）
16，下列4个命题：①命题“若Q则P”与命题“若非P则非Q”互为逆否命题；②“am2<bm2”是“a<b”的必要不充分条件；③“矩形的两条对角线相等”的否命题为假；④命题“{1,2}}或4{1,2}”为真命题。

其中真命题的序号是是：_______
（江西吉安二模）
三，解答题
17，设命题P：关于x的不等式a x-ax-2a>1(a>0且a≠1)的解集为{x|-
a<x<2a};命题Q：y=lg(ax2-x+a)的定义域为R。

如果P或Q为真，P且Q为假，求a的取值范围
（根据吉林质检与邯郸一模改编）
18，（文）定义在D上的函数y=f(x)对于x1,x2∈D,有|f(x1)-f(x2)|
<1,则称y=f(x)是漂亮函数，否则称非漂亮函数。

问f(x)=x3-
x+a(x∈[-1,1])是否为漂亮函数，是证明之，否则说明理由。

（理）设f(x)=ax2+bx+c，若f(1)=,那么是否存在a,b,c，使得不等式x2+≤f(x)≤2x2+2x+对一切实数x都成立，存在求出f(x)解析式，不存在说明理由
19，从甲到乙的运煤铁路专线，车速由原来的100km/h提高到
150km/h，相邻两列火车的车距（车头与前一列车尾的距离）由原来的9倍车长提高到现在的11倍车长，则此次提速运煤效率（单位时间内的运输量）提高了多少？
20，⑴已知a、b是正常数，a≠b,x,y∈(0,+∞)，求证：+≥，指出等号成立的条件；⑵利用⑴的结果，求函数f(x)=+(x∈(0,))的最小值，并求出相应的x的值。

21（文）某公司生产的品牌服装年固定成本为10万元，每生产1千件，需另投入1.9万元，设R（x）（单位：万元）为销售收入，根据市场调查，R(x)=,其中x是年产量（单位：千件）⑴写出利润W与年产量x 的函数解析式
⑵年产量为多少时，该公司在这一品牌服装的生产中获利最大？（唐山二模）
（理）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相等.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？（北京四中专题讲座）
22，（文）⑴关于x的不等式2-4<22x-2a在整数集内仅有解{1}，求实数a的取值范围；⑵a取⑴中的最小值时，函数f（x）＝（ax＋b）图象过点A（2，1）记，，是否存在正数k，使得…对一切均成立，若存在，求出k的最大值，若不存在，请说明理由（北京四中模二与石家庄一模合编）
（理）对于函数f(x)，如果存在x∈R,使f(x)=x成立，称x为f(x)的一个不动点，已知f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0)。

⑴若对b∈R,f(x)恒有两个相异的不动点，求实数a的范围；⑵在⑴条件下，若y=f(x)图象上两点A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B关于直线y=kx+a2-4a+4对称，求b的最小值（成都诊断）
[答案]集合与简易逻辑不等式
答案：1，M={y|y≥0},N={x|-≤x≤},选D（注意：集合表示的是范围不是点）
2，（理）z=-i+2i=i,(1+i)7展开式中第五项为Ci4=35选B
（文）[方法一]数形结合：作出两边函数图象，通过图象得到C；[方法二]等价转化：将不等式转化为或，解得答案C
3，f(x)是奇函数，f(x)<-f(x)+x,f(x)<x/2,结合图形解出答案A
4,P={n2},ab∈P,选D
5,设x=2cosθ，y=2sinθ；a=cosα，b=sinα则S=2sin(θ+α),选B
6,（文）3x≤4×60，选B;
(理)设原进价为a,则售价为a(1+r%)，后来进价为0.92a所以
×100%=（r+10）%,选B
7,且(c-a)(c-b)<0a<c<b,(d-a)(d-b)>0d<a或d>b;由于a<b,d<c，选A
8，a x-b x>1a x>b x+1解为x>1,作出左右两边函数图象，交点处x=1，选A
9，分A的配集中一定含有元素3,余下两个元素1，2可以全不含、仅有一个、两个都有;选D
10(文)赋值选D；依据：顺序和≥乱序和≥反序和
(理)原式=tanα-cotα+2i=-+2i=-4cot2α+2i，选A
11,设两个直角边为a、b,则ab=2,周长p=a+b+≥2+=2+2≈4.828,等号成立当且仅当a=b=，选C
12(文)M={2},N=[-1,3],C U M=(-∞,2)∪(2,+∞)，选D
（理）a2+1<2a+4,解得选A
13,(文)4,b是方程=ax+即x=(ax+)2的两个解，a=1/8,b=36,a.b=9/2,填9/2
（理）()n+()n=1, 0<<1,()2>()n, 同理()2>()n,所以()2+ ()2>1,a2+b2>c2,△ABC是锐角三角形，填锐角三角形
14（文）Q={y|y>1},所以m>1。

填m>1
（理）f max(x)=f(1)=1≤-2a+t2+1恒成立，只要g(a)=-2a+t2≥0恒成立，g(-1)≥0,或g(1)≥0.填{t|t≤-2或t=0或t≥2}
15,五个元素中，每个元素都出现C=6次，=6×(1+2+4+8+16)=186,填186
16,填①③④
17，简解：P：0<a<1;Q：a>1/2;P、Q中有且仅有一个为真∴0<a≤1/2或
a≥1
18，简解：（文）|f(x1)-f(x2)|<f max(x)-f min(x),f/(x)=3x2-1在(-,)上为负，在(-∞,)及（，+∞）上为正，故f max(x)=f(-
),f min(x)=f(),f max(x)-f min(x)<1是漂亮函数。

（理）简解：a+b+c=; x2+=2x2+2x+时x=-1,f(-1)=a-b+c=∴c=-a,b=1
∴x2+≤ax2+x+-a≤2x2+2x+恒成立， 恒成立,从而有，a=∴存在f(x)= x2+x+1满足条件。

19简解：设甲乙距S(km),每列车长为L（km），每列运煤a吨，则原来效率×100a=,提速后效率为×150a=,提高了==25%
20，简解：⑴（+）·(x+y)=a2+b2+a2+b2.≥a2+b2+2ab=(a+b)2等号成立 a2+b2. ay=bx ⑵由⑴f(x)= +≥=25等号成立x=1/5,f min(x)=25 21，（文）简解：⑴W=R(x)-10-1.9x=⑵当0≤x≤10时w/=(81-x2),当
x=9时，w max；而x>10上，w↓ ∴年产量为9千件时，获利最大（理）简解：设2001年末的汽车保有量为b1万辆，以后各年汽车保有量依次为b2万辆，b3万辆，……每年新增汽车x万辆，
则b1=30,b2=b1×0.94+x,…对于n＞1，有b n+1=b n×0.94+x=b n–1×0.942+ (1+0.94)x,…所以b n+1=b1×0.94n+x(1+0.94+0.942+…+0.94n–1)
=b1×0.94n+.当≥0，即x≤1.8时，b n+1≤b n≤…≤b1=30；当＜0，即x＞1.8时，
并且数列{b n}逐项递增，可以任意靠近.因此如果要求汽车保有量不超过60万辆，即b n≤60(n=1,2,…)则有≤60，所以x≤3.6
综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆.
22（文）⑴x2-4<2x-2a即g(x)=x2-2x+2a-4<0仅有一个整数解1，故
g(0)≥0,g(1)<0,g(2)≥0,解得2≤a<5/2;
⑵a min=2, f(2)=1得b=-1,f(x)=log3(2x-1),．设存在正数k，使得…对一切均成立，则．记，　．∴　F（n）是随n的增大而增大，　∵　，∴　当时，．∴　，即k的最大值为．
(理)⑴f(x)=x即ax2+bx+b-1=0有两个不等的实数解，△=b2-4ab+4a>0对任意b成立，△2=16a2-16a<0,0<a<1
⑵设A(x1,x1),B(x2,x2),k AB=1所以k=-1;又x1,x2是ax2+bx+b-1=0的两个
解，x1+x2=-,AB中点是(-,-)在直线y=-x+a2-4a+4上，-= +a2-4a+4,b=-a3+4a2-4a,b/=-3a2+8a-4
=-(a-2)(3a-2),a=2/3时，b min=-32/27。