天津市和平区2018届高三上学期期末考试数学(文)试题 Word版含解析

和平区2017—2018学年度第一学期高三年级期末质量调查
试卷
数学（文）学科
第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】求解二次不等式可得：，
结合交集的定义可得：.
本题选择C选项.
2. “”是“关于的方程有实数根”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】关于的方程有实数根，则，
据此可知：“”是“关于的方程有实数根”的充分不必要条件.
本题选择A选项.
3. 设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（）
A. 9
B. 7
C. -3
D. -7
【答案】B
本题选择B选项.
4. 已知直线为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】结合双曲线的方程可得双曲线的渐近线为：，
则双曲线的一条渐近线为：，
据此有：.
本题选择D选项.
点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
5. 阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出的的值为（）
A. 56
B. 72
C. 84
D. 90
【答案】B
【解析】阅读流程图可得，该流程图的功能为计算：
.
本题选择B选项.
6. 将函数的图象向右平移个单位，得到图象对应的解析式为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】结合函数平移的结论可得：将函数的图象向右平移个单位，得到图象对应的解析式为.
本题选择D选项.
7. 如图，正方形的边长为2，为的中点，，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】以点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则：，
据此可得：，
由平面向量数量积的坐标运算法则有：.
本题选择A选项.
点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
8. 已知函数若始终存在实数，使得函数的零点不唯一，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当时，，则时，的零点不唯一，选项A错误；当时，，则时，的零点不唯一，选项B错误；
当时，，函数在上单调递增，则不存在实数，使得函数
的零点不唯一，选项D错误.
本题选择C选项.
点睛：分段函数中求参数范围问题：
(1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；
(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）
9. 已知是虚数单位，则复数__________．
【答案】
【解析】结合复数的运算法则有：.
10. 某校高中共有720人，其中理科生480人，文科生240人，现采用分层抽样的方法从中抽取90名学生参加调研，则抽取理科生的人数__________．
【答案】60
【解析】由题意结合分层抽样的概念可得：
11. 一个由棱锥和半球体组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为
__________．
【答案】
【解析】由三视图可得，该几何体是一个组合体，
其上半部分是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个对角线长度为2的菱形，高为2，
其体积为：，
下半部分是半个球，球的半径，其体积为
据此可得，该几何体的体积为.
点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
12. 已知函数，若，则的值为
【答案】-1
【解析】函数有意义，则必须满足：，此时，则：，
据此整理函数的解析式：，
据此可得，结合可得：.
点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．
13. 已知，则的最小值为__________．
【答案】4
【解析】由题意可得：，
当且仅当时等号成立.
综上可得：的最小值为4.
14. 已知数列的通项，若数列的前项和为，则__________．（用数字作答）
【答案】480
【解析】结合数列的通项公式分组求和有：
,
则.
三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 在中，角所对的边分别是，且.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若，，求的面积.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).
【解析】试题分析：
(Ⅰ)由题意结合正弦定理角化边可得.则.据此利用余弦定理可得. (Ⅱ)由题意可得.利用同角三角函数基本关系可得.则
∴.据此结合三角形面积公式有的面积.
试题解析：
（Ⅰ）由及正弦定理，得.
∵，
∴.
由余弦定理，得
.
（Ⅱ）由已知，，得.
∵在中，为锐角，且，
∴.
∴.
由，及公式，
∴的面积.
16. 某企业生产一种产品，质量测试分为：指标不小于90为一等品，不小于80小于90为二等品，小于80为三等品，每件一等品盈利50元，每件二等品盈利30元，每件三等品亏损10元.现对学徒工甲和正式工人乙生产的产品各100件的检测结果统计如下：
根据上表统计得到甲、乙生产产品等级的频率分别估计为他们生产产品等级的概率. （Ⅰ）求出甲生产三等品的概率；
（Ⅱ）求出乙生产一件产品，盈利不小于30元的概率；
（Ⅲ）若甲、乙一天生产产品分别为30件和40件，估计甲、乙两人一天共为企业创收多少元？
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ)2000元.
【解析】试题分析：
(Ⅰ)由题意可得：甲生产三等品的测试指标小于80，据此结合古典概型计算公式可得. (Ⅱ)由题意可得：乙生产一件产品的测试指标不小于80，据此结合古典概型计算公式可得
.
(Ⅲ)由题意结合古典概型计算公式可得甲生产三等品，二等品一等品的件数为6，21,3，乙生产三等品，二等品一等品的件数为4,24,12，据此估计可得甲、乙两人一天共为企业创收2000元.
试题解析：
（Ⅰ）依题意，甲生产三等品，即为测试指标小于80，
所求概率为：.
（Ⅱ）依题意，乙生产一件产品，盈利不小于30元，即为测试指标不小于80，
所求概率为：.
（Ⅲ）甲一天生产30件产品，其中：
三等品的件数为，
二等品的件数为，
一等品的件数为；
乙一天生产40件产品，其中：
三等品的件数为，
二等品的件数为，
一等品的件数为.
则.
∴估计甲、乙两人一天共为企业创收2000元.
17. 如图，在五面体中，四边形是矩形，，，
，，为的中点，为线段上一点，且.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）求证：平面平面.
【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析.
【解析】试题分析：
(1)连接交于点，则为的中点，连接.由三角形中位线的性质可得.结合线面平行的判定定理可得平面.
(2)连接.由几何关系可证得四边形是平行四边形.则，结合直角三角形的性质和题意可得，则.
(3)由题意可知为等边三角形，则.同理可得.利用线面垂直的判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理可得平面平面.
试题解析：
（Ⅰ）连接交于点，则为的中点，连接.
∵在中，为的中点，为的中点.
∴.
∵平面，平面，
∴平面.
（Ⅱ）连接.
∵四边形是矩形，，
∴，且.
∵，，，
∴.
∵，，
∴.
∴四边形是平行四边形.
∴，.
∵在中，，，，
∴.
∵在中，，，，
∴是直角三角形.
∴.
∴.
（Ⅲ）∵在中，，
∴为等边三角形.
∵为的中点，
∴.
同理，由为等边三角形，可得.
∵，
∴平面.
∵平面，
∴平面平面.
18. 已知是等差数列，是等比数列，其中，，. （Ⅰ）求数列与的通项公式；
（Ⅱ）记，求数列的前项和.
【答案】(Ⅰ)，.(Ⅱ).
【解析】试题分析：
(Ⅰ)由题意结合数列的性质可得等差数列的公差为2，等比数列的公比为2，据此计算可得
的通项公式，的通项公式.
(Ⅱ)由题意结合(Ⅰ)中求得的通项公式可得.错位相减结合等差数列前n项和公
式可得.
试题解析：
（Ⅰ）设数列的公差为，数列的公比为，
由，得，，
由，，得，，
∴.
∴的通项公式，的通项公式.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，
故.
则.
令，①
则，②
由②-①，得.
∴.
点睛：一般地，如果数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，求数列{a n·b n}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n}的公比，然后作差求解．19. 已知椭圆的离心率为，以椭圆的短轴为直径的圆与直线
相切.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆过右焦点的弦为、过原点的弦为，若，求证：为定值. 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)证明见解析.
【解析】试题分析：
(Ⅰ)由题意结合点到直线距离公式可得.结合离心率计算公式有.则
椭圆的方程为.
(Ⅱ)对直线的斜率分类讨论：当直线的斜率不存在时，.当直线的斜率存在时，
设，，，，联立直线方程与椭圆方程有
，由弦长公式可得.联立直线与椭圆方程，结合弦长公式有.计算可得.据此可得：为定值.
试题解析：
（Ⅰ）依题意，原点到直线的距离为，
则有.
由，得.
∴椭圆的方程为.
（Ⅱ）证明：（1）当直线的斜率不存在时，易求，，
则.
（2）当直线的斜率存在时，
设直线的斜率为，依题意，
则直线的方程为，直线的方程为.
设，，，，
由得，
则，，
.
由整理得，则.
.
∴.
综合（1）（2），为定值.
20. 已知函数，，且曲线与在处有相同的切线.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求证：在上恒成立；
（Ⅲ）当时，求方程在区间内实根的个数.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)2.
【解析】试题分析：
(Ⅰ)函数有相同的切线，则，，据此计算可得；
(Ⅱ)构造函数，令，原问题等价于在上恒成立，讨论函数的单调性可得，即在上恒成立.
(Ⅲ)构造函数，其中，结合导函数讨论函数的单调性
有.构造函数，则在内单调递减，，据此讨论可得在区间内有两个零点，即方程在区间
内实根的个数为2.
试题解析：
（Ⅰ）∵，，，
∴.
∵，，
∴，.
∵，即，
∴.
（Ⅱ）证明：设，
.
令，则有.
当变化时，的变化情况如下表：
∴，即在上恒成立. （Ⅲ）设，其中，
.
令，则有.
当变化时，的变化情况如下表：
∴.
，
设，其中，则，
∴在内单调递减，，
∴，故，而.
结合函数的图象，可知在区间内有两个零点，∴方程在区间内实根的个数为2.。