向量问题的“多视角”教学——在解题中升华

＝ＡＢ２Ｂ·ＣＡ２Ｃ．
若 ＡＢ·ＡＣ＝４ＢＣ２则 ｃｏｓＡ＝１， ２
∵Ａ∈（０，π），则 Ａ＝π３可以解出角 Ａ的具体
值呢．
很多学生都觉得这道题改得好（点头表示赞同） 生五：我觉得不妥，像我这样求出 ｘ２，ｙ２，如果 ４ＢＣ２ ＝ＡＢ·ＡＣ，列出来的方程组为
{ｘ２＋ｙ２＝９，
４×４＝槡（ｘ＋１）２ ＋ｙ２槡（ｘ－１）２ ＋ｙ２，
化，再利用边角关系，从而很快得到答案的．
师：很好，在向量问题中，常借助坐标系，用解析
法解出理想答案，是值得大家借鉴的，大家鼓掌．
生四：我还可以 Ｏ为坐标原
点，Ｂ在 ｘ轴 上，Ｃ在 ｙ轴 上，设
Ｂ（ｘ，０），Ｃ（０，ｙ），则 Ａ（－ｘ，
－ｙ），其余过程如生三． ｃｏｓＡ＝｜ＡＡ→→ＢＢ·｜｜ＡＡ→→ＣＣ｜
中应用恰当，点 赞 （鼓 掌），其 他 同 学 可 还 有 不 同
·８０·
的想法？
视角二：向量的极化恒等式
生二：∵Ｍ为 ＢＣ的中点，
∴Ａ→Ｂ·Ａ→Ｃ＝Ａ→Ｍ２ －１４Ｂ→Ｃ２，
∵ ｜Ａ→Ｂ｜· ｜Ａ→Ｃ｜ｃｏｓＡ＝Ａ→Ｍ２－１４Ｂ→Ｃ２．
∵Ｏ为又△ＡＢＣ的重心，∠ＢＯＣ＝９０°， ∴ＡＭ＝３ＯＭ，ＯＭ＝１２ＢＣ，∴ＡＭ＝３２ＢＣ，
{ｘ２＋ｙ２＝９，
· ＡＣ，即
９ ４
×４＝槡（ｘ＋１）２
＋ｙ２槡（ｘ－１）２
＋ｙ２可
以解 出 ｘ，ｙ，刚 一 说 明，学 生 立 马 动 手，解 出
{ｘ２＝１９，
４ 这样也能求出∴ｃｏｓＡ＝８．
ｙ２ ＝１７
９
４
生六：从法二可以看出
ＡＭ２－１ＢＣ２
ｃｏｓＡ＝
４ ＡＢ·ＡＣ
９ＢＣ２－１ＢＣ２
＝４
４ ＡＢ·ＡＣ
{ｘ２＋ｙ２＝９，
∴ ４×４＝（ｘ２ ＋ｙ２ ＋１）２ －４ｘ２．
即 １６２＝１０２－４ｘ２，由于 ｘ２≥０则方程组无解．
师：非常好，我们变题时应注意变出有价值，有
内涵，可解的数学问题，刚才的矛盾是由 ＢＣ２ 的系
数引起的，那么 ＢＣ２ 的系数应在什么范围内，此题
才有解呢？ 生六：我可以设 ｔＢＣ２＝ＡＢ·ＢＣ（ｔ＞０），
《数学之友》 ２０１８年第 １２期
解题探索
向量问题的“多视角”教学
———在解题中升华
杨晓华
（江苏省如东高级中学，２２６４００）
解题与编题是一对互为矛盾的依存体，解题者
根据现有条件定理、公理隐藏条件、经验，采用各种
２
４
即Ａ→Ｍ２ ＝１４（Ａ→Ｂ２ ＋Ａ→Ｃ２ ＋２Ａ→Ｂ·Ａ→Ｃ）２，
∵Ｏ为△ＡＢＣ的重心，∠ＢＯＣ＝９０°，
∴ＯＭ＝１２ＢＣ，ＯＭ＝１ ３ＡＭ，∴ＡＭ＝３ ２ＢＣ． 又∵Ａ→Ｂ２＋Ａ→Ｃ２ ＝（Ａ→Ｂ－Ａ→Ｃ）２＋２Ａ→Ｂ·Ａ→Ｃ
＝Ｂ→Ｃ２ ＋２Ａ→Ｂ·Ａ→Ｃ，
∴ ９Ｂ→Ｃ２＝１（Ｂ→Ｃ２＋４Ａ→Ｂ·Ａ→Ｃ），
∵ＡＭ＝３ＯＭ，ＯＭ＝１２ＢＣ，∵ＡＭ＝３２ＢＣ＝３，
∴ｘ２ ＋ｙ２ ＝９，ＢＣ２ ＝４，∴ｃｏｓＡ＝８． ９
生三：我 是 通 过 建 立 直 角 坐 标 系，将 问 题 坐 标
《数学之友》 ２０１８年第 １２期
４
４
∴９Ｂ→Ｃ２ ＝Ｂ→Ｃ２ ＋４｜Ａ→Ｂ｜｜Ａ→Ｃ｜ｃｏｓＡ，
∵ ９ＢＣ２＝ＡＢ·ＡＣ，∴ｃｏｓＡ＝８．
４
９
师：请你总结一下你的解题思路．
生：我从中线定理出发，再平方利用 ９ＢＣ２ ＝ＡＢ ４
·ＡＣ转化为 ＢＣ２学 解 题 中 转 化 的 思 想 很 重 要，在 此 题
{ｘ２＋ｙ２＝９，
５×４＝槡（ｘ＋１）２ ＋ｙ２槡（ｘ－１）２ ＋ｙ２，
∴１６ｔ２ ＝１０２ －４ｘ２，∵ｘ２ ＞０，∴０＜ｔ＜５２．
师：虽然生四变题不成功，但是提供了一个变量
的思 想，我 们 可 以 从 引 参、基 因 重 组、易 容 代 换、移 动、连璧，联 想，探 索［２］几 种 角 度 进 行 变 题，从 而 编
视角给出或否定题目的答案，编题者根据需要对解
题者掌握的知识、方法、思想，从解题者的知识点易 错点、计算 易 错 点、审 题 易 错 等 方 向［１］给 解 题 者 陷
阱，从而呈现出各种完美的题目．编题是体现教师基
本功之一，更是学生思维得到提升的阶梯，本案例介
绍学生如何脑洞大开，解决问题、剖析问题、提升问
方法？
生（齐）：坐标法
视角三：解析法与向量结合 生三：以 ＢＣ边所在直线 为 ｘ轴，线段 ＢＣ中垂线为 ｙ

轴建立 如 图 所 示 的 直 角 坐
标系．

设 Ｂ（－１，０），Ｃ（１，０），
Ａ（ｘ，ｙ），∴ＢＣ＝２．


ｃｏｓＡ＝｜ＡＡ→→ＢＢ·｜｜ＡＡ→→ＣＣ｜＝（ｘ＋１Ａ，Ｂｙ）·（ＡｘＣ－１，ｙ）＝ｘ２９＋Ｂｙ２Ｃ－２１． ４



＝（２ｘＡ，Ｂｙ）·（ＡｘＣ，２ｙ）
＝２ｘ２＋２ｙ２，∴ｃｏｓＡ＝ ２ｘ２＋２ｙ２ ＝８．
ＡＢ·ＡＣ
９（ｘ２＋ｙ２） ９
４
师：好，在建系时，有时建立不同的坐标系，会产
生不同的效果，所以只有在尝试后才能选择合适的
坐标系，这种建系就避免了 ＢＣ的长度问题．
生五：我觉得，由生三可知 ＡＭ ＝３，９ＢＣ２ ＝ＡＢ ４
∴Ａ→Ｍ２ ＝９Ｂ→Ｃ２，又∵ＡＢ·ＡＣ＝９ＢＣ２
４
４
∴ ９Ｂ→Ｃ２ｃｏｓＡ＝９ＢＣ２－１ＢＣ２，∴ｃｏｓＡ＝８．
４
４
４
９
师：请说说你的思维过程．
生：我从 △ＡＢＣ中线联想到极化恒等式，再将 等式转化为 ＢＣ２，将等式中消去即可．
师：联想丰富，这种解题方法速度快，易得出答
案，值的表 扬 点 赞．那 么 解 决 向 量 问 题 还 常 有 哪 些
题，从而达到思维升华． 案例：如图，已知 Ｏ为 △ＡＢＣ
的重 心，∠ＢＯＣ＝９０°，若 ９４ＢＣ２ ＝
ＡＢ·ＡＣ，则 ｃｏｓＡ的值为 ．

视角一：向量中的中线定理
生一：延长 ＡＯ交 ＢＣ于 Ｍ点，

∵Ｏ为△ＡＢＣ的重心，∴Ｍ为 ＢＣ的中点．
故Ａ→Ｍ ＝１（Ａ→Ｂ＋Ａ→Ｃ），Ａ→Ｍ２ ＝１（Ａ→Ｂ＋Ａ→Ｃ）２，
出精彩的题来啊．
生七：我觉得 Ｏ在以 Ｍ为圆心，以 １为半径的
圆上，Ａ在以 Ｍ为圆心 ３为半径的圆上，所以改变题