空间解析几何与向量代数

设空间两点 A (x1, y1, z1 ) 和点 B (x2 , y2 , z2 )，由勾股定理得到空间两点间的
距离公式为: AB = ( x2 − )x1 2 + ( y2 − )y1 2 + ( z2 − )z1 2 . 例 在 y 轴上找一点 P ，使它与点 P0 (4, 2, 2) 的距离为 29 . 解 根据题意，设点 P 的坐标为 P (0, y, 0) ，由题条件有 P0P = 29 ，即 42 + ( y − 2)2 + 22 = 29,( y − 2)2 = 9 ⇒ y = −1,5
O 的向径。
r1 = OM1 = x1i + y1 j + z1 k
r2 = OM 2 = x2 i + y2 j + z2 k
向量 M1M 2 = OM 2 − OM1 = r2 − r1 = ( x2 − x1 )i + ( y2 − y1 ) j + ( z2 − z1 ) k
四、向量的代数运算 1 两向量相等，当且仅当其坐标相等.
数乘向量满足下列运算规律：
（1） 结合律： λ (µa) = (λµ ) a ( ) （2） 分配律： (λ + µ ) a = λa + µa, λ a + b = λa + λb
Theorem 1必要条件是：存在 唯一的实数 λ ，使 b = λa .
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式称为向径 r 按基本单位的分解式.称 OP, OQ,OR 分别为 r 沿 x 轴、 y 轴、 z 轴 方向的分向量.
显然这种基本分解是唯一的，称有序数 x, y, z 为 r
的坐标，简记为 r = {x, y, z} ，并称 r 为点 M 关于原点
零向量，规定它们的夹角在 0 与π 间任意取值。 非零向量 r 三条坐标轴的夹角α , β ,γ 称为向量 r
正向符合右手规则，即以右手握住 z 轴，当右手的四 个手指从正向 x 轴以π / 2 角度转向正向 y 轴时，大拇 指的指向就是 z 轴的正向，图中箭头的指向表示 x 轴、 y 轴、 z 轴的正向.这样的三条轴就组成了一个 空间直角坐标系. 点 O 叫做坐标原点（或原点）.
三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面， 这样定出的三个平面统称为坐标面，分别为： xOy 面， yOz 面及 zOx 面.三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做一个卦 限.含有 x 轴、 y 轴与 z 轴正半轴的那个卦限叫做Ⅰ卦限，在 xOy 面的上方， 按逆时针方向其他三部分Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ.在 xOy 面的下方，Ⅰ卦限之下为Ⅴ卦限， 按逆时针方向其他三部分Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限.
设 a0 表示与非零向量 a 同方向的单位向量.
因为当 a ≠ 0 时， a > 0 ， a 与 a 同方向，而且
a
a =
= 1 ，所以 a0 =
a.
a
aa
a
a = a a0 ，表述方法将向量的模和方向用一个式子表示出来.
小结：本节主要认识了向量，以及单位向量；并且熟悉了向量的线性运算。 作业：习题册
所以，P 的坐标为(0,-1,0)或(0,5,0)。
( ) 例 设 P 在 x 轴上，它到 P1 0, 2,3 的距离为到点 P2 (0,1, −1) 的距离的两倍，
求点 P 的坐标。 三、向量的坐标表示
任意给定向量 r ，并平移使其起点与坐标原点重合，终点为 M ( x, y, z) .过
点 M 做三个坐标轴的垂直平面，与 x 轴、 y 轴、 z 轴交于点 P,Q, R 。引入基本
( x − x1, y − y1, z − z1 ) = λ ( x2 − x, y2 − y, z2 − z )
即 x − x1 = λ ( x2 − x), y − y1 = λ ( y2 − y), z − z1 = λ ( z2 − z )
由以上三式分别解出： x = x1 + λ x2 , y = y1 + λ y2 , z = z1 + λ z2
补充：两向量夹角的概念：设有两个非零向量 a,b ，任取空间一点 O，作
OA = a,OB = b ，规定不超过π 的 ∠AOB （设ϕ = ∠AOB ，0 ≤ ϕ ≤ π ）称为向量
( ) ( ) ( ) a 与 b 的夹角，记为 a,b 或 b, a ，即 ϕ = a,b . 如果向量 a 与 b 中有一个是
二、 向量的线性运算 1、向量加减法 设有两个向量 a 与 b ， ∀A,且AB = a ，再以 B 为起点作 BC = b ，连接 A，
C，那么向量 AC = a + b 称为向量 a 与 b 的和，记作 a + b ．即 c = a + b ．此方法 称为三角形法则．
平行四边形法则，即当向量 a 与 b 不平行时，作 AB = a, AD = b ，以 AB 、
例 设有向线段 AB 的始点 A( x1, y1, z1 ) ，终点为 B ( x2 , y2, z2 ) ，点 M ( x, y, z )
把有线线段 AB 分成定比 λ ： AM = λ MB (λ ≠ −1) ，求点 M 的坐标.
解 由题意得： AM = ( x − x1, y − y1, z − z1 ), MB = ( x2 − x, y2 − y, z2 − z ) ，且
向量平行，记作 a // b ．*零向量与任何向量都平行．
当两个平行向量的起点放在同一点时，它们的终点和起点在一条直线上。 因此，两向量平行，又称两向量共线。
设有 k(k ≥ 3) 个向量，当把它们的起点放在同一点时，如果 k 个终点和起
点在一个平面上，就称这 k 个向量共面。
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2、 向量与数的乘法
实数 λ 与向量 a 的乘积记作 λa ，规定 λa 是一个向量，它的模
λa = λ a , λa 的方向：当 λ > 0 时，λa 与 a 方向相同；当 λ < 0 时，λa 与 a 方
向相反；当 λ = 0 时， λa = 0 ，即 λa 为零向量，方向任意.
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2 模的坐标表达式 a = x2 + y2 + z2 .
3 利用向量的坐标，向量的加法、减法以及向量与数的乘法的运算如下：
( ) ( ) 设 a = ax , ay , az ,b = bx ,by ,bz ，则有 ( ) a ± b = ax ± bx , ay ± by , az ± bz ( ) λa = λax , λay , λaz
授课方式：课堂讲授。 讲授内容：
§7.1 向量及其线性运算
一、 向量概念 1．数量（标量）和向量 2．向量的表示法 向量具有大小和方向，用有向线段来表示．有向线段的始点和终点分别叫 做向量的始点和终点．有向线段的方向表示向量的方向，有向线段的长度表示
向量的大小，向量的大小叫做向量的模．始点是 A ，终点是 B 的向量记作
单位向量 i, j, k 分别表示沿 x，y，z 正向的单位向量：
r = OM = OP + PM ' + M ' M = OP + OQ + OR
又 OP, OQ,OR 分别与基本单位向量 i, j, k 共线，易见
OP = xi,OQ = y j,OR = zk 。因此 r = xi + y j + zk ，该
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§7.2 空间直角坐标系 向量的坐标
用代数方法研究三维空间中的图形，首先要建立空间点与有序数组之间的 联系.可以依照平面解析几何中的方法，通过建立空间直角坐标系，实现空间 点与有序数组之间的一一对应.
一、空间直角坐标系 1.坐标系的建立 过空间一个定点 O ，作三条互相垂直的数轴，它们都以 O 为原点且一般具 有相同的长度单位.这三条轴分别叫做 x 轴（横轴）、 y 轴（纵轴）、 z 轴（竖 轴），统称坐标轴.通常把 x 轴、 y 轴放在平面上，而 z 轴是铅垂的线；它们的
AB ．亦用黑体字母 a,b,⋯ 等表示向量，向量 AB 与 a 的模分别记作 AB 与 a ．
3．有关向量的名称 模等于 0 的向量叫零向量，零向量的方向是任意的． 模等于 1 的向量叫单位向量． 以原点为始点的向量叫向径，常用 r 表示． 一个向量经过平行移动后，模和方向都不变，认为还是同一向量，这种向 量叫自由向量．即自由向量只与模和方向有关，而与始点的位置无关．我们讨 论的向量均为自由向量． 如果两个向量模相等，方向相同，称这两个向量相等． 两个向量之间的夹角θ ，并且规定 0 ≤ θ ≤ π 。 两个非零向量如果它们的方向相同（θ = 0 ）或者相反（θ = π ），称两个
2.空间点的坐标的确定 设 M 为空间一已知点，过 M 作三个平面分别垂直 x 轴、y 轴、z 轴，它
们与 x 轴、y 轴、z 轴的交点为 P ( x, 0, 0),Q (0, y, 0), R (0, 0, z) .于是空间的一点
M 就唯一地确定了一个有序数组 x, y, z .称数组 x, y, z 为点 M 的坐标，记作
M ( x, y, z) .其中 x 叫横坐标， y 叫纵坐标， z 叫竖坐标.
反过来，已知一有序数组 x, y, z ，可以在 x 轴上取坐标为 x 的点 P ，在 y 轴 上取坐标为 y 的点 Q ，在 z 轴上取坐标为 z 的点 R ，然后通过 P 、 Q 与 R 三点
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分别作 x 轴、y 轴和 z 轴的垂直平面，这三个垂直平面的交点 M 便是由有序数 组 x 、 y 、 z 所确定的唯一点.这样，就建立了空间的点 M 和有序数组 x 、 y 、 z 之间的一一对应关系.
3.坐标面及坐标轴上点的坐标特征 xOy 面上的点的坐标为 M (x, y,0) ，特征： z = 0 ； yOz 面上的点的坐标为 M (0, y, z) ，特征： x = 0 ； zOx 面上的点的坐标为 M (x,0, z) ，特征： y = 0 ； x 轴上点的坐标为 M (x,0,0) ，特征： y = z = 0 ； y 轴上点的坐标为 M (0, y,0) ，特征： x = z = 0 ； z 轴上点的坐标为 M (0,0, z) ，特征： x = y = 0 ； 原点的坐标为 O(0,0,0) . 二、空间两点的距离
AD 为边作一平行四边形 ABCD ，则对角线的向量 AC = c ，即 AC = a + b ．
特别地，当向量 a 与 b 共线时，规定用三角形法则
求和． 向量加法有下列运算规律：
（1） 交换律 a + b = b + a
（2） 结合律 (a + b) + c = a + (b + c)
由向量加法的三角形法则，可得多个向量的求和法则，其方法为：以空间
某一点为始点作向量 a1 ，以 a1 终点为始点作向量 a2 ,⋯ ，以 an−1 的终点为始点
∑ 作向量 an ，则以 a1 始点为始点， an 的终点为终点的向量就是
a n
i=1 i
．
设 a 为一向量，与 a 的模相同而方向相反的向量叫做 a 的负向量，记作 −a .
( ) 规定向量 b 与 a 的差为 b − a = b + −a .
1+ λ
1+ λ
1+ λ
点 M 叫做有向线段 AB 的定比分点.
五、向量的模与方向余弦 1 向量的模
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设向量 r = ( x, y, z ),OM = r ，有 r = OM = OP + OQ + OR ，则易得：
r = x2 + y2 + z2 2、方向角与方向余弦
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第七章 空间解析几何与向量代数
目的要求：本章主要采用代数的方法研究空间几何图形，讨论空间解析几 何。目的通过学习，使学生熟悉向量代数及其运算；熟悉曲面及空间曲线的代 数描述。
重点难点：向量的代数运算、向量的模与方向余弦、向量在轴上的投影、 向量的数量积、向量积；曲面（旋转曲面、柱面）的方程及几何图形、空间曲 线的方程（一般式、参数方程）及图形、空间曲线在坐标平面上的投影、平面 的方程、两平面夹角及点到平面的距离计算。