吉林省长春市东北师范大学附属中学2022-2023学年上学期高一年级期中考试语文学科试卷
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A. 的最小正周期为
B.
C.将 的图象向右平移 个单位长度后对应的函数为偶函数
D.函数 在 上有且仅有一个零点
11.如图，在正方体 中，点 分别为棱 上的动点（包含端点），则下列说法正确的是（）
A.当 为棱 的中点时，则在棱 上存在点 使得
B.当 分别为棱 的中点时，则在正方体中存在棱与平面 平行
C.当 分别为棱 的中点时，过 三点作正方体的截面，则截面为五边形
（3）设 ，证明 .
2023-2024学年上学期
东北师大附中数学学科试卷
高三年级第三次摸底考试
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】D
A. B.
C. D.
8.若对任意实数 ，不等式 恒成立，则实数a的最小值为（）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知 ，则函数 的图象可能是（）
A. B.
C. D.
10.已知函数 在 上单调，且 的图象关于点 对称，则（）
2023-2024学年上学期
东北师大附中数学学科试卷
高三年级第三次摸底考试
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ，则集合 子集个数为（）
A.3B.4C.8D.16
2.设 ，则 （）
A. B.1C. D.2
3.十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间 均分为三段，去掉中间的区间段 ，记为第一次操作；再将剩下的两个区间 分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于 ，则需要操作的次数 的最小值为（参考数据： ）（）
【12题答案】
【答案】BD
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【 Nhomakorabea3题答案】
【答案】 ##
【14题答案】
【答案】6
【15题答案】
【答案】
【16题答案】
【答案】
四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
【19题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）2
【20题答案】
【答案】（1） ．
（2）
．
【21题答案】
【答案】（1）
（2）
【22题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）答案见解析（3）证明见解析
A.6B.8C.10D.12
4.命题“ ”的否定是（）
A. B.
C. D.
5.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为（）
A.26B.28C.30D.32
6.已知 ，则 （）
A. B. C. D.
7.已知函数 及其导数 定义域均为 ， 在 上单调递增， 为奇函数，若 ， ， ，则（）
D.三棱锥 的体积为定值
12.已知曲线 在点 处 切线和曲线 在点 处的切线互相平行，则下列命题正确的有（）
A. 有最大值 1B. 有最小值是1
C. 有最小值是 D.若 ，则 有最大值为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知 是 终边上的一点，则 _____________.
四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知等差数列 的公差为2，前 项和为 ，且 成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
18.在 中，角 所对的边分别是 .已知 .
（1）求 ；
（2） 为 边上一点， ，且 ，求 .
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】D
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】ABC
【10题答案】
【答案】ACD
【11题答案】
【答案】ACD
19.如图，在四棱柱 中，底面 和侧面 都是矩形， ， .
（1）求证： ；
（2）若点 的在线段 上，且二面角 的大小为 ，求 的值.
20.
甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得 分，负者得 分，比赛进行到有一人比对方多 分或打满 局时停止．设甲在每局中获胜的概率为 ，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为 ．
（1）求 值；
（2）设 表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量 的分布列和数学期望 ．
21.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，渐近线方程为 .
（1）求 的方程；
（2）直线 与 的左、右两支分别交于 两点（ 在 轴的同侧），当 时，求四边形 面积的最小值.
22.已知函数 .
（1）当 时，证明 ；
（2）当 时，讨论 的单调性；
14.在 中， ， 是 的外心，则 等于___________.
15.已知两个等差数列2，6，10，…，210及2，8，14，…，212，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和等于___________.
16.正三棱锥 的四个顶点都在同一个球面上，且底面边长是3，侧棱 与底面 所成的角为 ，二面角 的平面角为 .当该球的表面积最小时， ____________.
B.
C.将 的图象向右平移 个单位长度后对应的函数为偶函数
D.函数 在 上有且仅有一个零点
11.如图，在正方体 中，点 分别为棱 上的动点（包含端点），则下列说法正确的是（）
A.当 为棱 的中点时，则在棱 上存在点 使得
B.当 分别为棱 的中点时，则在正方体中存在棱与平面 平行
C.当 分别为棱 的中点时，过 三点作正方体的截面，则截面为五边形
（3）设 ，证明 .
2023-2024学年上学期
东北师大附中数学学科试卷
高三年级第三次摸底考试
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】D
A. B.
C. D.
8.若对任意实数 ，不等式 恒成立，则实数a的最小值为（）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知 ，则函数 的图象可能是（）
A. B.
C. D.
10.已知函数 在 上单调，且 的图象关于点 对称，则（）
2023-2024学年上学期
东北师大附中数学学科试卷
高三年级第三次摸底考试
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ，则集合 子集个数为（）
A.3B.4C.8D.16
2.设 ，则 （）
A. B.1C. D.2
3.十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间 均分为三段，去掉中间的区间段 ，记为第一次操作；再将剩下的两个区间 分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于 ，则需要操作的次数 的最小值为（参考数据： ）（）
【12题答案】
【答案】BD
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【 Nhomakorabea3题答案】
【答案】 ##
【14题答案】
【答案】6
【15题答案】
【答案】
【16题答案】
【答案】
四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
【19题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）2
【20题答案】
【答案】（1） ．
（2）
．
【21题答案】
【答案】（1）
（2）
【22题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）答案见解析（3）证明见解析
A.6B.8C.10D.12
4.命题“ ”的否定是（）
A. B.
C. D.
5.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为（）
A.26B.28C.30D.32
6.已知 ，则 （）
A. B. C. D.
7.已知函数 及其导数 定义域均为 ， 在 上单调递增， 为奇函数，若 ， ， ，则（）
D.三棱锥 的体积为定值
12.已知曲线 在点 处 切线和曲线 在点 处的切线互相平行，则下列命题正确的有（）
A. 有最大值 1B. 有最小值是1
C. 有最小值是 D.若 ，则 有最大值为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知 是 终边上的一点，则 _____________.
四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知等差数列 的公差为2，前 项和为 ，且 成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
18.在 中，角 所对的边分别是 .已知 .
（1）求 ；
（2） 为 边上一点， ，且 ，求 .
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】D
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】ABC
【10题答案】
【答案】ACD
【11题答案】
【答案】ACD
19.如图，在四棱柱 中，底面 和侧面 都是矩形， ， .
（1）求证： ；
（2）若点 的在线段 上，且二面角 的大小为 ，求 的值.
20.
甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得 分，负者得 分，比赛进行到有一人比对方多 分或打满 局时停止．设甲在每局中获胜的概率为 ，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为 ．
（1）求 值；
（2）设 表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量 的分布列和数学期望 ．
21.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，渐近线方程为 .
（1）求 的方程；
（2）直线 与 的左、右两支分别交于 两点（ 在 轴的同侧），当 时，求四边形 面积的最小值.
22.已知函数 .
（1）当 时，证明 ；
（2）当 时，讨论 的单调性；
14.在 中， ， 是 的外心，则 等于___________.
15.已知两个等差数列2，6，10，…，210及2，8，14，…，212，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和等于___________.
16.正三棱锥 的四个顶点都在同一个球面上，且底面边长是3，侧棱 与底面 所成的角为 ，二面角 的平面角为 .当该球的表面积最小时， ____________.