2023-2024学年湖北省襄阳市高二上学期期末数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年湖北省襄阳市高二上册期末数学模拟试题
一、单选题
1．设x 、y ∈R ，向量(),1,1a x = ，()1,,1b y = ，()3,6,3c =-r 且a c ⊥ ，//b c
，则a b += （
）
A
．B
．C ．4
D ．3
【正确答案】D
【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出x 、y 的值，求出向量a b +
的坐标，利用空间向
量的模长公式可求得结果.
【详解】因为a c ⊥ ，则3630a c x ⋅=-+=
，解得1x =，则()1,1,1a = ，因为//b c ，则136
y
=-，解得=2y -，即()1,2,1b =- ，
所以，()2,1,2a b +=-
，因此，3a b += .
故选：D.
2．已知直线l 的方向向量为(1,0,2)n =
，点()0,1,1A 在直线l 上，则点()1,2,2P 到直线l 的距离为（）
A
．B
C
D
【正确答案】D
【分析】利用数量积的几何意义结合勾股定理求解即可【详解】由已知得(1,1,1)PA =---
，
因为直线l 的方向向量为(1,0,2)n =
，所以点()1,2,2P 到直线l
的距离为
故选：D
3．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则6a =（）
A ．13-
B ．10
-C ．10
D ．12
【正确答案】A
【分析】运用等差数列通项公式及等差数列前n 项和公式的基本量计算即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，
∵3243S S S =+，12a =，∴43
3(323)22422
d d d ⨯⨯⨯+=⨯++⨯+，解得：3d =-，∴625(3)13a =+⨯-=-.故选：A.
4．椭圆221259
x y +=与曲线
22
1(25,9)259x y k k k k +=<≠--有（）
A ．相同的离心率
B ．相同的焦距
C ．相同的渐近线
D ．相同的顶点
【正确答案】B
【分析】先求出22
1259
x y +=的顶点，焦距，离心率，在分析不同的参数范围下，曲线
22
1(25,9)259x y k k k k
+=<≠--的顶点，焦距，离心率，由于椭圆没有渐近线，该曲线也无需分析渐近线，对比选项分析可得结果.
【详解】在椭圆22
1259
x y +=中，5,3,4a b c === ，∴顶点坐标为()()0,3,5,0±±，焦距是8，离心率
是45
；对于曲线22
1(25,9)259x y k k k k
+=<≠--，
当925k <<，曲线化为22
1
259
x y k k -=--，表示焦点在x 轴上的双曲线，长轴长为为
8，而离心率，顶点坐标都跟k 取值有关；
当9k <，即259k k ->-，则曲线化为22
1
259x y k k
+=--，
表示焦点在x 轴上的椭圆，长轴长为
短轴长为其焦距是8，而离心率，顶点都和k 取值有关.综上分析可知，22
1(25
259x y k k k
+=<--且9)k ≠与椭圆22
1259
x y +=有相等的焦距.结合选项可知B 正确.
故选：B
5．已知抛物线C ：28y x =，点P 为抛物线上任意一点，过点P 向圆D ：22430x y x +-+=作切线，切点分别为A ，B ，则四边形PADB 的面积的最小值为（）
A ．1
B ．2
C
D
【正确答案】C
【分析】由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接PD ，则Rt 2PAD PADB S S PA ==四边形△，而
PA =
PD 最小时，四边形PADB 的面积最小，再抛物线的定义转化为点P 到抛
物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果
【详解】如图，连接PD ，圆D ：()2
221x y -+=，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，则Rt 2PAD PADB S S PA ==四边形△．
又PA =
PADB 的面积最小时，PD 最小．
过点P 向抛物线的准线2x =-作垂线，垂足为E ，则PD PE =，当点P 与坐标原点重合时，PE 最小，此时2PE =．故(
)
min min
PADB S ==四边形故选：
C
6．已知数列{}n a 满足10a =，21a =，222,,
2,n n n a n a a n --+⎧=⎨⨯⎩
为奇数为偶数则数列{}n a 的前9项和为（
）
A ．35
B ．48
C ．50
D ．51
【正确答案】A
【分析】直接利用数列的递推关系式求出数列的各项，进一步求出数列的和．
【详解】解：数列{}n a 满足10a =，21a =，222,2,n n n a n a a n --+⎧=⎨⨯⎩
为奇数
为偶数，
当3n =时，3202a =+=，当4n =时，4212a =⨯=，当5n =时，5224a =+=，当6n =时，6224a =⨯=，当7n =时，7246a =+=，当8n =时，8248a =⨯=，
当9n =时．9268a =+=，
所以29911224468835S a a a =++⋯+=+++++++=．故选：A ．
7．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，并且满足条件()()178781,1,110a a a a a >>--<，则下列结论正确的是（）
A ．791a a >
B ．01
q <<C ．6879
a a a a +<+D ．n S 的最大值为8
S 【正确答案】B
【分析】根据已知条件分情况讨论判断得01q <<，进而可判断其它选项．【详解】解：若0q <，11a >Q ，
6771810,0a a q a a q ∴=>=<，
则780a a <与781a a >矛盾，若1q ≥，11a >Q ，
781,1a a ∴>>，
则()()78110a a -->与()()78110a a --<矛盾，01q ∴<<，
故B 正确；
()()78110a a --< ，则7810a a >>>，
2
798(0,1)a a a ∴=∈，故A 错误；
0,01n a q ><< ，
1111n n a a q S q q ∴=---单调递增，故D 错误；
6867971
1a a a a a a q
+==>+，
6879a a a a ∴+>+，故C 错误．
故选：B ．
8．已知12,F F 分别为双曲线22
:1412
x y C -=的左､右焦点，E 为双曲线C 的右顶点.过2F 的直线与双曲
线C 的右支交于,A B 两点（其中点A 在第一象限），设,M N 分别为1212,AF F BF F 的内心，则
ME NE +的取值范围是（）
A ．,∞∞⎛⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B ．⎛ ⎝⎭
C ．43⎡⎢⎣⎭
，D ．,00,33⎛⎫⎛-⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
【正确答案】C
【分析】由题意可得||||AH AI =，11||||F H F J =，22||||F J F I =，再由双曲线的定义可得12||||2F H F I a -=，进而可得12||||2F J F J a -=，设点J 的横坐标，由题意可得横坐标为a ，设直线AB 的倾斜角，则可求得4
||||sin ME NE θ
+=
，再由θ的范围即可求得结果.
【详解】
由题意知，(2,0)E ，
设△12AF F 的内切圆M 分别与1AF 、2AF 、12F F 相切于点H 、I 、J ，则||||AH AI =，11||||F H F J =，22||||F J F I =，
由双曲线的定义知，12||||2AF AF a -=，即：12(||||)(||||)2AH F H AI F I a +-+=，所以12||||2F H F I a -=，所以12||||2F J F J a -=，
设内心M 的横坐标为0x ，则点J 的横坐标为0x ，则00()()2c x c x a +--=，解得：0x a =，所以JM x ⊥轴，则E 为直线JM 与x 轴的交点，同理可得：△12BF F 的内心也在直线JM 上，
设直线AB 的倾斜角为θ，则2π2EF M θ
-∠=
，22
EF N θ∠=，所以
πsin(
)sin
π22||||()tan ()tan ()(
)π22cos()cos 22
ME NE c a c a c a θθ
θθθθ--+=--=-+-22cos
sin cos sin 2()2222()()()sin sin cos sin cos 2222
c a c a c a θθθθ
θθθθθ+-=-+=-=，由题意知，2a =
，b =
，所以4c ==，所以4
||||sin ME NE θ
+=
，又因为双曲线C
的渐近线方程为y =，过2F 的直线与双曲线C 的右支交于A 、B 两点，所以π2π33θ<<，
所以
sin 12
θ<≤，
所以44sin 3
θ≤
<
.故选：C.二、多选题
9．已知向量(1,1,)a m =-
，(2,1,2)b m =-- ，则下列结论中正确的是（
）
A ．若||2a =
，则m =B ．若a b ⊥
，则1
m =-C ．不存在实数，使得a b
λ=
D ．若1a b ⋅=-
，则(1,2,2)
a b +=-- 【正确答案】ACD
【分析】运用空间向量的垂直、共线的表示及应用，以及空间向量的数量积的运算、模的运算，逐项判断即可.
【详解】对于A 项，由||2a =
2=
，解得m =，故A 项正确；对于B 项，由a b ⊥ 可得2120a b m m ⋅=-+-+=
，解得1m =，故B 项错误；
对于C 项，假设存在实数λ，使得a b λ= ，则12
1(1)2 m m λλλλ=-⎧⎪
-=-⇒∈∅⎨⎪=⎩
，所以不存在实数λ，使得a b λ= ，
故C 项正确；
对于D 项，由1a b ⋅=-
可得2121m m -+-+=-，解得0m =，所以(1,2,2)a b +=-- ，故D 项正确.
故选：ACD.
10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F ，G 分别为BC ，1CC ，1BB 的中点，则（
）
A ．直线1D D 与直线AF 垂直
B ．直线1A G 与平面AEF 平行
C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为98
D ．点C 与点B 到平面AEF 的距离相等【正确答案】BCD
【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断ABD 选项；作出截面，计算出截面面积，可判断C 选项.
【详解】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间
直角坐标系，
则()1,0,0A 、()1,1,0B 、()0,1,0C 、()0,0,0D 、()11,0,1A 、()11,1,1B 、()10,1,1C 、
()10,0,1D 、1,1,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭、10,1,2F ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭、11,1,2G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
对于A 选项，()1
0,0,1DD = ，11,1,2AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，则1102DD AF ⋅=≠ ，所以直线1DD 与直线AF 不垂直，故A 错误；
对于B 选项，设平面AEF 的法向量为(),,m x y z = ，1,1,02AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，11,0,22EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，
则102
110
22m AE x y m EF x z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩ ，取2x =，可得()2,1,2m = ，110,1,2A G ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭ ，所以1110A G m ⋅=-= ，即1A G m ⊥ ，
因为1A G ⊄平面AEF ，1//AG ∴平面AEF ，故B 正确；对于C 选项，连接1AD 、1D F 、1BC ，
因为E 、F 分别为BC 、1CC 的中点，则1//EF BC ，
11//AB C D 且11AB C D =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，则11//AD BC ，
所以1//EF AD ，所以E 、F 、A 、1D 四点共面，
故平面AEF 截正方体1111ABCD A B C D -所得截面为1AD FE ，
且2EF =
，同理可得12
AE D F ==
，1AD EF =≠，所以四边形1AD FE 为等腰梯形，
分别过点E 、F 在平面1AD FE 内作1EM AD ⊥，1FN AD ⊥，垂足分别为M 、N
，如下图所示：
因为1AE D F =，1EAM FD N ∠=∠，190EMA FND ∠=∠=
，
所以1Rt Rt AEM D FN △≌△，故1AM D N =，EM FN =，
因为//EF MN ，EM MN ⊥，EN MN ⊥，则四边形EFNM 为矩形，
所以2
MN EF ==
，1124AD EF AM D N -∴==
=
，故4
EM ==，故梯形1AD FE 的面积为()11928
AD FE EF AD EM S +⋅=
=梯形，故C 正确；
对于D 选项，1,0,02CE ⎛⎫
= ⎪⎝⎭ ，则点C 到平面AEF 的距离为113CE m d m
⋅== ，
()0,1,0AB =
，则点B 到平面AEF 的距离为213AB m d m
⋅==
，
所以点C 与点B 到平面AEF 的距离相等，故D 正确.故选：BCD.
11．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且214S a =，2a 是11a +与312
a 的等差中项，数列{}n
b 满足1
n
n n n a b S S +=
⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列命题正确的是（
）
A ．数列{}n a 的通项公式1
23
n n a -=⨯B ．32
n
n S =-C ．数列{}n b 的通项公式为()()
1233131n
n n
n b +⨯=--D ．n T 的取值范围是11,86⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭
【正确答案】AD
【分析】根据已知条件求得1a 、q 的值，代入等比数列通项公式及等比数列求和公式计算，再运用裂项相消法求和可求得{}n b 的前n 项和n T .【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，
则211112
2131114 (1)4
2113212122S a a q a a q a a a a q a a q =+=⎧⎧=⎧⎪⎪
⇒⇒⎨⎨⎨==++=++⎩⎪⎪⎩⎩
，所以11
123n n n a a q --==⨯，故A 项正确；
所以1(1)2(13)
31113
n n n n a q S q -⨯-=
==---，故B 项错误；
所以1
123(31)(31)
n n n n b -+⨯=--，故C 项错误；
因为11123111
((31)(31)33131n n n
n n n b -++⨯==-----，所以2231111111111111
(
)33131313131316336
n n n n T ++=-+-++-=-⨯<------- ，又因为{}n T 为单调递增，所以11
8
n T T ≥=
，所以n T 取值范围为[11
,)86
.故D 项正确.
故选：AD.
12．如图，过双曲线2
2
2:1(0)y C x b b
-=>右支上一点P 作双曲线的切线l 分别交两渐近线于A 、B 两
点，交x 轴于点D ，12,F F 分别为双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是（
）
A ．min ||2A
B b =B ．OAP OBP S S =△△
C ．2AOB S b
=△D ．若存在点P ，使121
cos 4
F PF ∠=，且122F D DF = ，则双曲线C 的离心率2e =【正确答案】ABD
【分析】联立切线方程与渐近线方程，求出点A 、B 的坐标，即可得||AB =，由0x 的
取值范围即可求得||AB 的最小值，从而可判断A 项，由中点坐标公式可判断点P 是A 、B 的中点，
进而可判断B 、C 项，由余弦定理结合122F D DF =
可求得c 的值，进而可求得离心率即可判断D 项.【详解】对于A 项，先求双曲线2
2
21y x b
-=上一点00(,)P x y 的切线方程，不妨先探究双曲线在第一象
限的部分（其他象限由对称性同理可得）.
由2
2
21y x b
-=得：y =，
所以2y '=，
则在点00(,)P x y
的切线斜率为2200b x k y ==，所以在点00(,)P x y 的切线方程为：20000
()b x y y x x y -=-，又因为2200
21y x b -=，所以在点00(,)P x y 的切线方程为：0021y y x x b
-=，不失一般性，设点00(,)P x y 是双曲线在第一象限的一点，11(,)A x y 是切线与渐近线在第一象限的交点，22(,)B x y 是切线与渐近线在第四象限的交点，
双曲线的渐近线方程为y bx ±=，联立000022001 b x y y bx y x x b b y bx y bx y ⎧=⎧⎪--=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==⎩⎪-⎩，所以点20000(,)b b A bx y bx y --，同理可得：20000
(,)b b B bx y bx y -++，
则||AB ==又因为01x ≥，
所以||2AB b ≥，即：min ||2AB b =，故A 项正确；
对于B 项，由A 项知，000002b b bx y bx y x +-+=，22000002
b b bx y bx y y -+-+=，所以点00(,)P x y 是A 、B 的中点，
所以OAP OBP S S =△△，故B 项正确；
对于C 项，因为在点00(,)P x y 的切线方程为：20000
()b x y y x x y -=-，
令0y =得0
1x x =，所以点01(,0)D x ，则221200000
111||||()22AOB AOD BOD b b S S S OD y y b x bx y bx y =+=⨯⨯-=⨯⨯+=-+△△△，当点00(,)P x y 在顶点(1,0)时，仍然满足AOB S b =△，故C 项错误；
对于D 项，因为1(,0)F c -，2(,0)F c ，01(,0)D x ，所以101(,0)F D c x =+ ，20
1(,0)DF c x =- ，又因为122F D DF = ，所以00112()c c x x +=-，解得：03c x =，即：03x c
=，代入220021y x b -=得222029b y b c
=-，所以
222222222100
2223999||()()6b b PF x c y c b c b c c c c
=++=++-=+++-2222299(1)6(1)16c c c c c -=+++--=，2222222222002223999||()()6b b PF x c y c b c b c c c c =-+=-+-=+-+-2222299(1)6(1)4c c c c c -=+-+--=，所以2222212121212||||||164451cos 2||||24244
PF PF F F c c F PF PF PF +-+--∠====⨯⨯⨯⨯，解得：24c =，所以2c =，所以离心率为2c e a
=
=，故D 项正确.故选：ABD.
高考对圆锥曲线的考查，经常出现一些与其他知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等，这些问题的实质是圆锥曲线问题．在双曲线22
221x y a b
-=上一点00(,)P x y 的切线方程为00221x x y y a b
-=.圆锥曲线中的求值问题即是根据条件列出对应的方程，通过解方程求解．
三、填空题
13．设数列{}n a 满足12a =，且()1342n n a a n -=+≥，则数列{}n a 的通项公式为n a =______.
【正确答案】1432
n -⨯-【分析】构造{}n a p +为等比数列，运用等比数列通项公式运算即可.
【详解】∵134n n a a -=+（2n ≥），12
a =∴123(2)n n a a -+=+（2n ≥），易知，20n a +≠，
∴{2}n a +为等比数列，首项为124a +=，公比3q =，
∴1243n n a -+=⨯，∴1432n n a -=⨯-.
故答案为.1432
n -⨯-14．抛物线()220x py p =>的焦点为F ，其准线与22133
y x -=相交于A ，B 两点，若ABF △为等边三角形，则p =___________.
【正确答案】6
【分析】求出抛物线的焦点和准线方程，求出AB 的长，根据ABF △为等边三角形，得到关于p 的方程，即可求得答案.
【详解】抛物线()220x py p =>的焦点为(0,)2
p F ，其准线为2p y =-，
将2p y =-与22133y x -=联立，得221312x p -=，解得x =
则||AB =，
由于ABF △|AB p =，
即2p ⋅=，解得6p =，故6
15．我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题:“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何?”根据这一数学思想，所有被3除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列{}n a ，所有被5除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列{}n b ，把数列{}n a 与{}n b 的公共项按从小到大的顺序排列组成数列{}n c ，则数列{}n c 的第10项是数列{}n b 的第______项.
【正确答案】28
【分析】根据给定的条件，求出数列{}n a ，{}n b 的通项公式，再推导出数列{}n c 的通项即可计算作答.
【详解】依题意，数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为31,53n n a n b n =-=-，令,,N k m a b k m *=∈，
即有3153k m -=-，则522233
m m k m -+=
=-，因此23,N m p p *+=∈，即32,N m p p *=-∈，有32p p c b -=，于是得数列{}n c 的通项为325(32)31513n n c b n n -==--=-，10137c =，由53137n -=得：28n =，所以数列{}n c 的第10项是数列{}n b 的第28项.
故28
16．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，
11,2,2,60AB AD AA BAD ===∠=︒，点P 是半圆弧 11A D 上的动点(不包括端点)，点Q 是半圆弧 BC
上的动点(不包括端点)，若三棱锥P BCQ -的外接球表面积为S ，则S 的取值范围是__．
【正确答案】25π,13π4⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【分析】先由余弦定理求出BD =，从而得到AB BD ⊥，确定BC 的中点E 为三棱锥P BCQ -的外接球球心O 在平面BCQ 的投影，再证明出M 为AD 的中点，N 为11B C 的中点，
即EN ⊥平面ABCD ，故球心在线段EN 上，从而确定当点P 与点N 重合时，三棱锥P BCQ -的外接球半径最小，点P 与1A 或1D 重合，此时PN 最长，故三棱锥P BCQ -的外接球半径最大，画出图形，求出相应的外接球半径和表面积，最后结合点P 是半圆弧 11A D 上的动点(不包括端点)，故最大值取不到，求出表面积的取值范围.
【详解】因为1,2,60AB AD BAD ==∠=︒，由余弦定理得：
BD ===因为222AB BD AD +=，由勾股定理逆定理得：AB BD ⊥，
直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面为平行四边形，
故BD ⊥CD ，
点Q 是半圆弧 BC
上的动点(不包括端点)，故BC 为直径，取BC 的中点E ，则E 为三棱锥P BCQ -的外接球球心O 在平面BCQ 的投影，
设 BC 与AD 相交于点M ， 11A D 与11B C 相交于点N ，连接EM ，ED ，
则EM =ED
因为60BCD ∠=︒，故30CBD ∠=︒，260DEM DBC ∠=∠=︒，
故三角形DEM 为等边三角形，1122
DM DE BC AD ===，即M 为AD 的中点，同理可得：N 为11B C 的中点，
连接EN ，则EN ⊥平面ABCD ，故球心在线段EN 上，
显然，当点P 与点N 重合时，三棱锥P BCQ -的外接球半径最小，
假如点P 与1A 或1D 重合，此时PN 最长，故三棱锥P BCQ -的外接球半径最大，
如图1，点P 与点N 重合，连接OC ，设ON R =，则OE =2-R ，OC R =，
由勾股定理得：222OE EC OC +=，即()2221R R -+=，解得：54
R =，
此时外接球表面积为2254ππ4
R =；如图2，当点P 与1A 或1D 重合时，连接11,,AO A N OC ，
其中1A N ==，
设OE h =，则2ON h =-，
由勾股定理得：1
AO ==OC ==
=，解得：32h =，
此时外接球半径为OC =134π13π4⨯=，但因为点P 是半圆弧 11A D 上的动点(不包括端点)，故最大值取不到，
综上：S 的取值范围是25π,13π4⎡⎫⎪⎢⎣⎭
.故25π,13π4⎡⎫⎪⎢⎣⎭
几何体外接球问题，通常要找到几何体的一个特殊平面，利用正弦定理或几何性质找到其外心，求出外接圆的半径，进而找到球心的位置，根据半径相等列出方程，求出半径，再求解外接球表面积或体积.
四、解答题
17．已知数列{}n a 的通项公式为()61N *n a n n
=+∈．(1)判断数列{}n a 的单调性，并证明你的结论；
(2)若数列{}n a 中存在n a n =的项，求n 的值．
【正确答案】(1){}n a 是递减数列，证明见解析
(2)3
n =【分析】（1）首先判断{}n a 是递减数列，再利用作差法证明即可；
（2）依题意可得61n n +=，解方程即可.
【详解】（1）因为()61N *n a n n
=+∈，故数列{}n a 是递减数列，证明：数列{}n a 中，6
1n a n =+，则1611
n a n +=++，所以()166666
110111n n a a n n n n n n +⎛⎫⎛⎫-=+-+=-=-< ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，故数列{}n a 是递减数列；
（2）若n a n =，即61n n
+=，变形可得260n n --=，
解得：3n =或2n =-（舍去），
故3n =．
18．已知圆C 经过()3,0A 和()2,1B 两点，且圆心在直线240x y +-=上．
(1)求圆C 的方程；
(2)从点()3,2向圆C 作切线，求切线方程．
【正确答案】(1)22(2)1
x y -+=(2)3x =或3410
x y --=【分析】(1)根据弦的中垂线过圆心,联立过圆心的两条直线方程可确定圆心坐标，即可求解;(2)根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解.
【详解】（1）由题可知10123
AB k -==--,所以线段AB 的中垂线的斜率等于1，又因为AB 的中点为51,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
，所以线段AB 的中垂线的直线方程为1522
y x -
=-，即20x y --=，联立240,20x y x y +-=⎧⎨--=⎩
解得20x y =⎧⎨=⎩，所以圆心(2,0)C 又因为半径等于1AC =,所以圆C 的方程为22(2)1x y -+=.
（2）设圆C 的半径为r ，则1r =，
若直线的斜率不存在，因为直线过点()3,2，
所以直线方程为3x =，
此时圆心(2,0)C 到直线3x =的距离1d r ==，满足题意;
若直线的斜率存在，设斜率为k ，
则切线方程为2(3)y k x -=-，即230kx y k -+-=，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离1d =
=，解得34k =，所以切线方程为392044
x y -+-=，即3410x y --=.所以切线方程为3x =或3410x y --=.
19．已知抛物线2:2C y px =的焦点为()0,1,F P y 是抛物线C 上一点，且3PF =.
(1)求抛物线C 的标准方程；
(2)直线():20l y x m m =+≠与抛物线C 交于,M N 两点，若以MN 为直径的圆过原点O ，求直线l 的方程.
【正确答案】(1)28y x =.
(2)216=-y x .
【分析】（1）运用抛物线定义及焦半径公式计算即可.
（2）联立直线与抛物线方程可得12y y ，12x x ，代入0OM ON ⋅= 可求得m 的值即可.
【详解】（1）由题意知，抛物线焦点(,0)2p F ，准线方程为2
p x =-，由抛物线定义知，||132
p PF =+=，解得：4p =，所以抛物线C 的标准方程为28y x =.
（2）设11(,)M x y ，22(,)
N x y 228 4402y x y y m y x m
⎧=⇒-+=⎨=+⎩，161601m m ∆=->⇒<，124y y +=，124y y m =，∴2222
121212()88644
y y y y m x x =⨯==，∵以MN 为直径的圆过原点O ，
∴OM ON ⊥，
∴0OM ON ⋅= ，即：2
1212404
m x x y y m +=+=，又∵0m ≠，
∴16m =-，
∴直线l 的方程为216=-y x .
20．如图，⊥AE 平面ABCD ，//BF 平面ADE ，//CF AE ，AD AB ⊥，2AB AD ==，4AE BC ==.
(1)求证：//AD BC ；
(2)求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值.
【正确答案】(1)证明见解析.(2)49
.【分析】（1）运用线面平行判定定理、面面平行判定定理可证得面BCF //面AED ，运用面面平行性质可证得//AD BC .
（2）建立空间直角坐标系，运用坐标法求线面角即可.
【详解】（1）证明：∵//CF AE ，CF ⊄面AED ，AE ⊂面AED ，∴//CF 面AED ，
又∵//BF 面AED ，BF CF F ⋂=，BF 、CF ⊂面BCF ，∴面BCF //面AED ，
又∵面BCF ⋂面ABCD BC =，面ADE 面ABCD AD =，∴//AD BC .
（2）以A 为原点，分别以AB 、AD 、AE 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,4,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,4)E ，∴(2,2,0)BD =- ，(2,0,4)BE =- ，(2,4,4)CE =-- ，
设平面BDE 的法向量为(,,)n x y z =
，
则220240n BD x y n BE x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取1z =，则2x =，2y =，则(2,2,1)n =
，设直线CE 与平面BDE 所成角为ϕ，则84sin |cos ,|639
CE n ϕ=<>==⨯ .所以直线CE 与平面BDE 所成角为
49.21．已知正项数列{}n a 满足：11,2a n =≥时，2221(1)n n n a na n n --=+-.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设2n n n a b =⋅，数列{}n b 的前n 项和为n S ，是否存在正整数m ，使得对任意的N*n ∈，
3n m S m -<<恒成立？若存在，求出所有的正整数m ；若不存在，说明理由.
【正确答案】（1）n a n =；（2）存在，m=2或m=3，理由见详解
【分析】(1)有2221(1)n n n a na n n --=+-，可得22111n n a a n n -=+-，设2n n a B n =，可得n B 的通项公式，可得n a 的通项公式；
（2）由错位相减法可得n S 的值和性质，可得n S 的最大和最小的值，可得m 的值.
【详解】解：（1）由222
1(1)n n n a na n n --=+-，得22111n n a a n n -=+-令2n n a B n
=∴11n n B B --=（2n ≥），1(1)n B B n d =+-而21111a B ==∴1(1)1n B n n =+-⨯=即
2n a n n =，即22n a n =，由正项数列知n a n =；（2）由2n n n a b =⋅得2n n
n b =，12n n S b b b ∴=+++ ，1212222n n n S =+++ ①，2311112222n n n S +=+++ ②，①-②得2111122222
n n n S n -=+++- 222n n n S +∴=-，11322n n n S +++=-，可得11102n n n n S S +++-=>
∴n S 的11min 2
S ==而n S 的max 2→∴当m=2或m=3时
使n 3m S m -<<恒成立.
本题主要考查数列与不等式的综合、数列的递推式及数列前n 项的和性质，灵活运用错位相减法求n S 是解题的关键.
22．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为 (2,0)F
，且点Q 在双曲线C 上.(1)求双曲线C 的方程；
(2)过点F 的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在不与F 重合的点P ，使得点F 到直线PA ，PB 的距离始终相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
【正确答案】(1)2
2
13
y x -=(2)存在，1,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，理由见解析【分析】（1）首先得2c =，再将点Q 的坐标代入双曲线方程，联立方程求解22,a b ，即可求双曲线方程；
（2）假设存在点(),0P n ，据题意设():20AB x my m =+≠，联立方程得到12y y +，12y y ，再由点F 到直线,PA PB 的距离相等可得0PA PB k k +=，由此代入式子即可求得点P 坐标，再考虑斜率不存在的情况即可
【详解】（1）由题意得，2c =，所以22222314
a b a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，所以21a =，23b =，所以双曲线C 的标准方程为2
2
13y x -=；（2）假设存在(),0P n ，设()11,A x y ，()22,B x y ，
由题意知，直线斜率不为0，设直线():20AB x my m =+≠，联立22213x my y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x ，得()
22311290m y my -++=，则2310m -≠，()()()
2221249313610m m m ∆=-⨯-=+>，且1221231m y y m +=--，122931
y y m =-，
因为使得点F 到直线PA ，PB 的距离相等，所以PF 是APB ∠的角平分线，则0PA PB k k +=，即12120y y x n x n
+=--，则()()1221220y my n y my n +-++-=，整理得()()1212220my y n y y +-+=，故
()222122903131
n m m m m -⨯⨯-=--，即()3220m m n --=，因为0m ≠，所以12n =，此时1,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
；当直线的斜率不存在时，根据抛物线的对称性，易得1,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭也能让点F 到直线PA ，PB 的距离相等；综上所述，故存在1,02P ⎛⎫
⎪⎝⎭满足题意。