小波变换在一二维空间中去噪应用

小波变换在一二维空间中去噪应用
【摘要】本文通过对小波变换理论的深入认识，加深多频率分析和Mallat 分解和重构信号图像理论研究，在matlab环境下仿真，实现小波图像去噪，体现出小波去噪的优势。

【关键词】小波变换；图像去噪；多频率分析；Mallat分解和重构
1.引言
图像处理是将图像通过计算机技术变为另外一幅修改的图像或者是从中提取图像测量所需测度的过程，现在图像编码、压缩、传输、去噪以及重现等技术都是以获得更清晰更高质量的图片为目的，但是在实际实物转换为图像的过程中，在图像的生成、编码、压缩、传输、重现的过程中，由于设备的非线性噪声，还有设备噪声以及环境兼容性等等，都不可避免的产生噪声。

图像去噪是图像处理的一个非常重要的环节。

去噪的方法有很多种，在空间域内，有偏最小二乘法，均值滤波，自适应滤波器，几何均值滤波器还有维纳滤波等等，在频域内，运用保留低频成分或低尺度的方法减小噪声[1]，但是在效果方面小波去噪的效果要好些，因为这些都在去噪的同时，不可避免的丢失许多图像的高频信息。

但是，小波去噪可以克服这些问题。

2.图像去噪
图像去噪是一个针对性很强的技术，根据不同应用、不同要求需要采取不同的处理方法。

采用的方法是综合各学科较先进的成果而成的，如数学、物理学、心理学、生物学、医学、计算机科学、通信理论、信号分析学等等；各学科互相补充、互相渗透使得数字图像去噪技术飞速发展。

就目前应用的方法来看，计算机图像去噪处理主要采取两大类方法：一类是空域中的去噪处理，即在图像空间中对图像进行各种去噪处理；另一类是把空域中的图像经过变换，如傅立叶变换、小波变换，变换到频率域，在频率域内进行各种去噪处理，然后再变回图像的空间域，形成去噪处理后的图像。

[2]
图像去噪的原理就是利用噪声和信号在频域上的分布不同而完成的。

信号主要集中在低频区，高频部分主要是噪声和低频信号。

图像去噪的目标就是从含噪图像中去估计得到原始像，使得去噪图像是原始图像的最佳估计。

图一给出了原始图像f（i，j）被加性噪声ε（i，j）污染，产生含噪图像g（i，j）的过程（即退化）。

图像去噪的任务就是从含噪图像g（i，j）得到原始图像f（i，j）的估计，要求f（i，j）尽可能的逼近，同时最大限度的滤除噪声。

[3]
3.小波变换理论研究
小波变换在图像去噪领域的成功应用主要得益于
两点：（1）小波变换对图像的稀疏性表示，即经过小波变换后，图像大部分能量集中在少数的小波系数上，而大多数系数能量很小；（2）小波变换的多分辨率特性使其能够较好地刻画信号时频局部化特征。

正因为如此，小波域中的信、噪分离较之传统的去噪方法具有独特的优越性，目前，基于小波的去噪方法已成为图像去噪和恢复的重大分支和主要研究方向[4]。

本文采用的是小波去噪方法。

3.1 小波变换
一个信号从数学的角度来看，小波是一个自变量为时间t的函数f（t）。

因为信号是能量有限的。

即：
其中小波基ψab（t）相当于时-频局部窗函数，是母小波ψ（t）经平移和伸缩的结果；a尺度因子，是ψab（t）中的频率参数，b是平移因子，是ψab（t）中的时间参数。

从上述定义可看出，小波变换是一种积分变换，它将一个时间函数变换到时间-尺度相平面[5]。

小波函数ψ（t）必须满足小波的允许条件：
因ψ（t）∈L2（t），∫Rψ（t）2dt<+∞，所以ψ（t）应该具有快速衰减性；而（6）式同时也表明ψ（t）具有波动性。

因此ψ（t）是像波一样的快速衰减函数，形如小的波，所以称ψ（t）为小波[5]。

小波分析也是将信号分解为一系列小波函数的叠加，属于时频分析的一种，小波变换运用二维二进制离散小波变换，将原始信号用一组不同尺度的带通滤波器进行滤波，将信号分解到一系列频带上进行分析处理。

3.2 多分辨分析
信号多分辨率分析定义为一系列连续逼近的闭合子空间凡，该子空间满足下列特性[6]：
（1）一致单调性：
（2）伸缩规则性：
（3）渐进完全性：
小波变换和多分辨率分析理论是以一维信号分析的。

但是时这些理论也是可以推广到二维的。

在算法实现上，二维图象的小波分解可以用类似于一维的树状算法来实现，在每一层的分解中如图五所示。

一维小波的重建算法同样可以推广到二维图象的情况。

此时，在每一层中，图像重生如图六所示。

即每列之间，插入一列零值，用一维滤波器与行卷积；再生成图象的每行间再插入一行零值，用另一维滤波器与列卷积。

4.小波去噪以及仿真结果
图像去噪的原理就是利用噪声和信号在频域上的分布不同而完成的。

信号主要集中在低频区，高频部分主要是噪声和低频信号。

4.1 一维小波变换的去噪情况
本文实验所用PC机，内存为2G，CPU为4G，实验软件平台为Matlab2007a。

以正弦波和轮胎图片为例，在matlabR2009A的软件下仿真器去噪[8]。

利用小波对信号进行分解，然后通过阀值信号进行去噪。

也可以用下面的程序控制：
Matlab的核心代码：
图像越接近原始信号说明去噪信号越好。

从图可以看出，小波效果比较明显。

4.2 二维图像的小波去噪的主要过程
（1）装入原始图像，首先利用高斯噪声对原始图像进行预处理。

（2）图像的小波分解。

根据Mallat的塔式分解理论，图像经过一级小波变换后被分解成为四个频带：水平、垂直、对角线三个高频部分和一个低频部分。

有时考虑到经小波分解后的低频系数部分仍含有一部分噪声，就可以对低频部分进行二级小波分解。

基于图像和噪声进行小波变换后具有不同的特性，信号中的有用信息主要集中在低频区，而噪声分布在所有小波系数中且主要表现在高频区，经过小波变换后图像细节也主要表现在高频区，简单地把高频区去除时会失去许多重要的细节信息，为了解决这一问题，可以利用噪声经小波分解后系数幅值都比较小的特点，设置不同的阈值过滤掉噪声而达到去噪的目的。

（3）小波分解图像信号，确定小波基函数，确定小波分解的层次。

小波基的选择具有正交性。

选择小波sym4。

（4）多分辨分析阀值采取的是经验值。

（5）重构图像信号
轮胎原图在加高斯噪声的情况下，在对其进行小波去噪仿真，主要是针对小波的一层分解和二层分解。

对轮胎图片的其他方法去噪仿真，包括均值去噪，巴斯低通，指数低通滤波、梯形低通滤波去噪。

用小波去噪的方法，在matlab主窗口中输入wavemenu后，在上述信号中加入高斯白噪声，利用二维小波分析工具[8]。

从仿真图可以看出，小波去噪效果是最好的。

中值滤波，特别是巴斯低通滤波、指数低通滤波、梯形低通滤波的效果显然远远不及小波去噪的效果。

小波去噪后图像更清晰，更接近于原始图形。

5.结论
本文通过对在matlab环境下的仿真，运用小波去噪，保留了高频成分，通过仿真，实验训练的图片结果表明：一维信号在小波去噪后，信号变得比加如噪声后，好很多；二维图片加噪声后的图像，小波去噪效果对比均值滤波、巴斯低通滤波、指数低通滤波、梯形低通滤波的效果，二维小波的去噪效果很好，其实在小波去噪的过程中，可以使其去噪效果更好，这个需要对小波阀值进行深入的研究，可以找出去噪效果更好的小波去噪。

参考文献
[1]徐畅.有关小波在图像去噪处理中的应用[OL].论文网.
[2]基于小波变换的图像去噪算法的研究[OL].道客巴巴.
[3]章毓晋.数字图像处理和分析技术[D].清华大学，2004.
[4]谢杰成，张大力，徐文立.小波图象去噪综述[J].中国图象图形学报，2002，7（3）：209-217.
[5]侯建华.基于小波及其统计特性的图像去噪方法研究[D].华中科技大学，2007，2（3）：14-21
[6]郇正良.基于小波变换的纹理图象分割算法研究[D].山东科技大学，2003.
[7]高成.Matlab数字图像处理[M].机械工业出版社，2009.
[8]飞思科技产品研发中心编著.Matlab辅助小波分析与应用[M].电子工业出版社，2003.。