苏科版新九年级开学考试卷(解析版)

苏科版新九年级开学考试卷
测试范围：统计与概率、平行四边形、分式、反比例函数、二次根式
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）若a＝，b＝，则实数a，b的大小关系为（）
A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a≥b
【分析】直接利用a，b接近的有理数，进而分析得出答案．
【解答】解：∵＜＜，
∴2＜＜3，
∵＜＜，
∴3＜＜4，
∴a＜b．
故选：B．
【点评】此题主要考查了实数比较大小，正确得出各数接近的有理数是解题关键．
2．（3分）已知a≠0，下列计算正确的是（）
A．a2+a3＝a5B．a2•a3＝a6C．（a2）3＝a5D．a3÷a2＝a
【分析】利用合并同类项的运算法则判断A，根据同底数幂的乘法运算法则判断B，根据幂的乘方运算法则判断C，根据同底数幂的除法运算法则判断D．
【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并计算，故此选项不符合题意；
B、原式＝a5，故此选项不符合题意；
C、原式＝a6，故此选项不符合题意；
D、原式＝a，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查整式的混合运算，掌握同底数幂的乘法（底数不变，指数相加）和同底数幂的除法（底数不变，指数相减）以及幂的乘方（a m）n＝a mn是解题关键．
3．（3分）地球的表面积约为510000000km2，将510000000用科学记数法表示为（）
A．0.51×106B．51×107C．5.1×109D．5.1×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；
当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：510000000＝5.1×108，
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）下列调查中，最适合采用普查方式的是（）
A．调查某品牌电视的使用寿命
B．调查毕节市元旦当天进出主城区的车流量
C．调查我校七（1）班新冠核酸检查结果
D．调查某批次烟花爆竹的燃放效果
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【解答】解：A．调查某品牌电视的使用寿命，适合抽样调查，此选项不符合题意；
B．调查毕节市元旦当天进出主城区的车流量，适合抽样调查，此选项不符合题意；
C．调查我校七（1）班新冠核酸检查结果，适合采用普查方式，故本选项符合题意；
D．调查某批次烟花爆竹的燃放效果，适合抽样调查，此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了抽样调查和全面调查，由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
5．（3分）反比例函数y＝和一次函数y＝kx﹣k在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）
A．B．
C．D．
【分析】因为k的符号不确定，所以应根据k的符号及一次函数与反比例函数图象的性质解答．
【解答】解：当k＜0时，﹣k＞0，反比例函数y＝的图象在二，四象限，一次函数y＝kx﹣k的图象过一、二、四象限，选项C符合；
当k＞0时，﹣k＜0，反比例函数y＝的图象在一、三象限，一次函数y＝kx﹣k的图象过一、三、四象限，无符合选项．
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象性质，正确掌握它们的性质才能灵活解题．6．（3分）如图所示，点O为矩形ABCD对角线的交点，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B 停止．延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（）
A．一般平行四边形→正方形→一般平行四边形→矩形
B．一般平行四边形→正方形→菱形→矩形
C．一般平行四边形→菱形→一般平行四边形→矩形
D．一般平行四边形→菱形→正方形→矩形
【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况．
【解答】解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．
故选：C．
【点评】考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，根据EF与AC的位置关系即可求解．
7．（3分）某出租车公司为降低成本，推出了“油改气”措施，如图，y1，y2分别表示燃油汽车和燃气汽车行驶路程s（单位：千米）与所需费用y（单位：元）的关系，已知燃气汽车每千米所需的费用比燃油汽车每千米所需费用少0.5元，设燃气汽车每千米所需费用为x元，则可列方程为（）
A．B．
C．D．
【分析】设燃气汽车每千米所需费用为x元，则燃油汽车每千米所需费用为（x+0.5）元，根据路程＝总费用÷每千米所需费用结合路程相等，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设燃气汽车每千米所需费用为x元，则燃油汽车每千米所需费用为（x+0.5）元，
根据题意得：＝．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及函数的图象，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
8．（3分）在平面直角坐标系中，菱形OABC的OC边落在x轴上，∠AOC＝60°，OA＝．若菱形OABC内部（边界及顶点除外）的一格点P（x，y）满足：x2﹣y2＝90x﹣90y，就称格点P为“好点”，则菱形OABC内部“好点”的个数为（）
（注：所谓“格点”，是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点．）
A．145B．146C．147D．148
【分析】过A作AQ⊥OC于Q，过B作BH⊥X轴于H，求出OQ、AQ，根据x2﹣y2＝90x﹣90y，求出x＝y，x+y＝90，求出BH＝90OA：y′＝x（1）y＝x时，有90﹣1＝89个点符合（2）y＝﹣x+90时，令y＝y'则x＝45（﹣1），y＝﹣x+90时有90﹣32﹣1＝57个点符合，有57+89﹣1＝145个点符合，即可得到答案．
【解答】解：过A作AQ⊥OC于Q，过B作BH⊥X轴于H，
∵∠A0C＝60°，OA＝60，
∴∠OAQ＝30°，
∴OQ＝30，
由勾股定理得：AQ＝90，
∵x2﹣y2＝90x﹣90y，
∴（x﹣y）（x+y﹣90）＝0，
∴x＝y，x+y＝90，
BH＝90OA：y′＝x
（1）y＝x时，令y＝90则x＝90，
作直线y＝x的图象，交AB于D，
∵AQ＝90，
∴D（90，90），
∵边界及顶点除外
∴y＝x时有90﹣1＝89个点符合（D点除外），
（2）y＝﹣x+90时，
∵直线OA的解析式为y′＝x，
∴令y＝y′则x＝45（﹣1）
∵≈1.732
∴x≈32.9（取x＝33），
则直线OA于直线y＝﹣x+90的交点是（45﹣45，135﹣45），再令y＝0则x＝90，
∵边界及顶点除外，
∴y＝﹣x+90时有90﹣32﹣1＝57个点符合，
∴有57+89﹣1＝145个点符合，
故选：A．
【点评】本题主要考查对菱形的性质，勾股定理，含30度得直角三角形的性质，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能根据已知条件找出规律是解此题的关键．
9．（3分）反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（2，4），若点（﹣4，n）在反比例函数的图象上，则n等于（）
A．﹣8B．﹣4C．﹣2D．﹣
【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到﹣4n＝2×4，然后解关于n的方程即可．
【解答】解：∵点（2，4）和点（﹣4，n）在反比例函数y＝的图象上，
∴﹣4n＝2×4，
∴n＝﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
10．（3分）如图，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点M，分别与AB，BC交于点D，E．若BD＝6，OA＝8，则k的值为（）
A．8B．﹣8C．16D．﹣16
【分析】设OC＝c，则AD＝c﹣6，利用矩形的性质可得OC＝AB，点M是AC的中点，OA＝8，可得出点M、D的横坐标，再设出OC的长，表示出点D、M的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征，可求
出OC的长，进而确定k的值．
【解答】解：设OC＝c，则AD＝c﹣6，
∵点M是AC的中点，OA＝8，
∴D（﹣8，c﹣6），M（﹣4，c），
由点D、M都在反比例函数y＝的图象上可得，
﹣8（c﹣6）＝﹣4×c＝k，
解得，c＝8，k＝﹣16，
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，表示出点D、M的坐标是解决问题的关键．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）因式分解：a3﹣a2b＝a2（a﹣b）．
【分析】直接提取公因式a2，进而分解因式即可．
【解答】解：原式＝a2（a﹣b）．
故答案为：a2（a﹣b）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12．（3分）要使有意义，则x的取值必须满足的条件是x≥1．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，x﹣1≥0，
解得，x≥1，
故答案为：x≥1．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．13．（3分）点P（a，b）在函数y＝﹣3x+2的图象上，则代数式9a+3b﹣1的值等于5．
【分析】将P（a，b）代入y＝﹣3x+2可得3a+b的值，从而可得答案．
【解答】解：将P（a，b）代入y＝﹣3x+2得b＝﹣3a+2，
∴3a+b＝2，
∴9a+3b﹣1＝3（3a+b）﹣1＝3×2﹣1＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查一次函数图象上的点坐标，解题的关键是整体代入求值．
14．（3分）袋中装有大小相同的2个红球和3个绿球，从袋中摸出1个球摸到绿球的概率为．【分析】让绿球的个数除以球的总个数即为所求的概率．
【解答】解：∵袋中共有2+3＝5个球，
∴摸出的球是绿球的概率为：，
故答案为：．
【点评】此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
15．（3分）正八边形的每一个内角是135°，每一个外角是45°．
【分析】根据多边形的内角和、内角与外角互为邻补角，即可解答．
【解答】解：正八形的内角和为：（8﹣2）×180°＝1080°，
内角：1080°÷8＝135°，
外角：180°﹣135°＝45°．
故答案为：135°，45°．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是熟记多边形的内角和与外角．
16．（3分）已知△ABC的面积是12，高AD＝4，CD＝1，则BD的长为5或7．
【分析】分两种情况，利用三角形面积公式即可求得．
【解答】解：如图1，
∵AD为BC边上的高，
∴AD⊥BC，
＝BC•AD＝（BD+CD）•AD，
∴S
△ABC
∴12＝（BD+1）×4，
∴BD＝5；
如图2，∵AD为BC边上的高，
∴AD⊥BC，
＝BC•AD＝（BD﹣CD）•AD，
∴S
△ABC
∴12＝（BD﹣1）×4，
∴BD＝7；
故答案为：5或7．
【点评】本题考查了三角形的面积，解题的关键是注意分类讨论，难度不大．
17．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点，BE的垂直平分线交对角线AC于点N，交BE 于点M，连接BN、EN．
（1）∠EBN＝45°；
（2）若正方形边长为4，CE＝1，则AN＝．
【分析】（1）过点N作NF⊥BC于点F，作NG⊥CD于点G，先证明Rt△BFN≌Rt△EGN，再证明△BNE 是等腰直角三角形便可求得结果；
（2）设BF＝x，根据CF＝CG列出x的方程求得x的值，进而根据勾股定理求得AC、CN，便可求得AN．【解答】解：（1）过点N作NF⊥BC于点F，作NG⊥CD于点G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC平分∠BCD，∠BCD＝90°，
∴NF＝NG，
∵MN垂直平分BE，
∴BN＝EN，
∴Rt△BFN≌Rt△EGN（HL），
∴∠BNF＝∠ENG，
∴∠BNE＝∠FNG，
∵∠NFC＝∠FCG＝∠CGN＝90°，
∴四边形CGNF是矩形，
∴∠FNG＝90°，
∴∠BNE＝90°，
∴∠EBN＝∠BEN＝45°，
故答案为：45；
（2）设BF＝x，则EG＝x，CF＝4﹣x，
∵四边形CGNF是矩形，NF＝NG，
∴四边形CGNF是正方形，
∴CF＝CG＝NG，
∵CE＝1，
∴4﹣x＝x+1，
∴x＝1.5，
∴CG＝NG＝x+1＝2.5，
∴CN＝，
∵∠ADC＝90°，AD＝CD＝4，
∴AC＝，
∴AN＝AC﹣CN＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正方形的性质与判定，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，关键是构造全等三角形．
18．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是AB和BC上的动点，且AE＝BF，AF和DE
相交于点P，连接BP，则BP的最小值为2﹣2．
【分析】由“SAS”可证△ADE≌△BAF，可得∠BAF＝∠ADE，可证∠APD＝90，即点P在以AD为直径的圆上运动，由勾股定理可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠EAD＝∠FBA＝90°，
∴∠BAF+∠DAF＝90°，
在△ADE和△BAF中，
，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠BAF＝∠ADE，
∴∠ADE+∠DAF＝90°，
∴∠APD＝90，
∴点P在以AD为直径的圆上运动，
如图，取AD的中点O，连接BO，OP，
∴AO＝2．
∴BO＝＝＝2，
∴当点P在线段BO上时，BP有最小值为2﹣2，
故答案为：2﹣2．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，确定点P的运动轨迹是解题的关键．
三．解答题（共10小题）
19．计算：（）0++|﹣3|．
【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项化为最简二次根式，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝1+3+3
＝4+3．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．解不等式组：
【分析】分别求出每一个不等式的解集，将两个不等式解集表示在数轴上找到其公共部分即可．
【解答】解：解不等式﹣3≤0，得，x≤6，
解不等式2x+9≤4（x+2），得，x≥，
所以，不等式组的解集是≤x＜6．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集并将解集表示在数轴上找到解集的公共部分是解答此题的关键．
21．已知a＝，求代数式（﹣）•的值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•＝，
当a＝时，原式＝．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．某商场销售同款A、B两种型号的自行车．购买1辆A种型号的自行车和1辆B种型号的自行车共需1360元，购买2辆A种型号的自行车和3辆B种型号的自行车共需3360元．
（1）求A、B两种型号的自行车的单价；
（2）某单位准备购进这两种型号的自行车共30辆，且总费用不超过21200元，求最多购买多少辆A种型号的自行车．
【分析】（1）设A型号自行车的购买价为x元，B型号自行车的购买价为y元，根据“购买1辆A种型号的自行车和1辆B种型号的自行车共需1360元，购买2辆A种型号的自行车和3辆B种型号的自行车共需
3360元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
（2）设可以购买m辆A种型号的自行车则购买（30﹣m）辆B种型号的自行车，结合总费用不超过22200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设A型号自行车的单价为x元，B型号自行车的单价为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：A型号自行车的单价为720元，B型号自行车的单价为640元．
（2）设可以购买m辆A种型号的自行车则购买（30﹣m）辆B种型号的自行车，
依题意得：720m+640（30﹣m）≤21200，
解得：m≤25．
又∵m为整数，
∴m可以取得的最大值为25．
答：最多购买25辆A种型号的自行车．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23．以人工智能、大数据、物联网为基础的技术创新促进了新业态蓬勃发展，新业态发展对人才的需求更加旺盛．某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总线、测试四类专业的毕业生，现随机的抽取了部分新聘毕业生的专业情况进行调查，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图，根据已知信息，解答下列问题：
（1）求本次共抽查了多少名新聘毕业生；
（2）请补全条形统计图；
（3）该公司新聘600名毕业生，请你估计“软件”专业的毕业生有多少名．
【分析】（1）根据总线的人数和所占的百分比求解可得答案；
（2）求得硬件专业的毕业生，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出“软件”专业的毕业生的人数．
【解答】解：（1）15÷30%＝50，
∴本次共抽查了50名新聘毕业生；
（2）硬件专业的毕业生有：50×40%＝20（人），
补全的条形统计图如图所示；
（3）600×＝120（名），
答：估计“软件”专业的毕业生有120名．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24．已知关于x的一次函数y1＝kx+1和反比例函数的图象都经过点（2，m）．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求两个函数的图象的另一个交点的坐标；
（3）在同一坐标系中画出这两个函数的图象；
（4）观察图象，当x在什么范围内时，y1＞y2．
【分析】（1）先把点（2，m）代入反比例函数解析式求出m的值，然后再代入一次函数解析式求出k值，即可得到一次函数解析式；
（2）两个函数解析式联立组成方程组，解方程组即可得到另一个交点坐标；
（3）利用两点法作一次函数图象，反比例函数图象是经过已知两点，在第一三象限作出双曲线；
（4）写出一次函数图象在反比例函数图象上方的自变量的取值范围．
【解答】解：（1）∵反比例函数的图象都经过点（2，m），
∴m＝＝3，
∴经过的点为（2，3），
∴2k+1＝3，
解得k＝1，
∴一次函数解析式为y＝x+1；
（2）两函数解析式联立得，
解得，，
∴另一个交点坐标为（﹣3，﹣2）；
（3）如图
；
（4）根据图象，当﹣3＜x＜0，x＞2时，y1＞y2．
【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式和函数交点坐标的求法，先利用反比例函数解析式求出m 的值是解本题的关键．
25．如图，某市规划在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO＝2AN＝2CP，AM＝OC．已知五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝800m，BC＝1200m，CD＝600m，AE＝900m．请问，四边形人工湖OPMN的面积能否为510000m2，若能，求出此时AN的长；若不能，请说明理由．
【分析】设AN＝xm，分别求出BN，CP，BO，AM，MH的长度，用x表示四边形人工湖OPMN的面积，利用一元二次方程的判别式可求解．
【解答】解：能，理由如下：
如图，延长AE，CD于H，
∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCH是矩形，
∴AB＝CH＝800（m），AH＝BC＝1200（m），
∵CD＝600m，AE＝900m．
∴EH＝300（m），DH＝200（m），
设AN＝xm，则BN＝（800﹣x）（m），
∵BO＝2AN＝2CP，AM＝OC，
∴CP＝x（m），BO＝2x（m），AM＝OC＝（1200﹣2x）（m），
∴MH＝2x（m），PH＝（800﹣x）（m），
若四边形人工湖OPMN的面积为510000m2，
则四边形OPMN的面积＝1200×800﹣2××2x×（800﹣x）﹣2××（1200﹣2x）×x＝510000，
∴4x2﹣2800x+450000＝0，
∴x＝450，x＝250，
∴存在AN的长为250m或450m时，使四边形人工湖OPMN的面积为510000m2．
【点评】本题考查了矩形的性质，利用参数表示四边形OPMN的面积是解题的关键．
26．如图，在平面直角坐标系第一象限中，当m，n为正整数时：
将反比例函数y n＝图象上横坐标为m的点叫做“双曲格点”，记作A[m，n]，例如，点A[3，2]表示y2＝图
的坐标为（3，）．
象上横坐标为3的点，故点A[3
，2]
把y n＝的图象沿着y轴平移或以平行于x轴的直线为对称轴进行翻折，将得到的函数图象叫做它的“派生
曲线”，例如，图中的曲线f是y1＝图象的一条“派生曲线”．
的坐标为（2，）；
（1）①“双曲格点”A[2
，1]
②若线段A[4，3]A[4，n]的长为1，则n＝7．
，A[m+4，m]的纵坐标之和为1，求线段A[m，2]，A[m+4，m]的长；
（2）若“双曲格点”A[m
，2]
（3）图中的曲线f是y1＝图象的一条“派生曲线”，且经过点A[2，3]，则f的函数表达式为y＝+1；（4）已知y3＝图象的“派生曲线”g经过“双曲格点”A[3，3]，且不与y3＝的图象重合，试在图中画出g的位置（先描点，再连线）
表示y2＝图象上横坐标为2的点，即可解决问题．
【分析】（1）①根据A[2
，1]
②根据两点间距离公式即可解决问题．
（2）列出方程即可解决问题．
（3）由题意曲线f是y1＝图象的向上平移所得，设向上平移a个单位，曲线f解析式为y＝+a，把（2，
）代入即可．
（4）由题意y3＝图象的“派生曲线”g是由y＝沿直线y＝1翻折得到，由此不能画出图象．
表示y2＝图象上横坐标为2的点，
【解答】解：（1）①∵A[2
，1]
的坐标为（2，）．
∴A[2
，1]
②由题意|﹣|＝1，
∵n是正整数，
∴n＝7，
故答案为（2，），7．
的坐标为（m，）A[m+4，m]的坐标为（m+4，），
（2）由题意A[m
，2]
∴+＝1，
解得m＝4，
经检验，m＝4是分式方程的解．
的坐标为（4，）A[8，4]的坐标为（8，），
∴A[4
，2]
A[m+4，m]的长为8﹣4＝4．
∴线段A[m
，2]
（3）∵曲线f是y1＝图象的一条“派生曲线”，且经过点A[2，3]，
∴曲线f是y1＝图象的向上平移所得，设向上平移a个单位，
∴曲线f解析式为y＝+a，把（2，）代入得到，a＝1，
∴f的函数表达式为y＝+1．
（4）∵y3＝图象的“派生曲线”g经过“双曲格点”A[3，3]，且不与y3＝的图象重合，∴y3＝图象的“派生曲线”g是由y＝沿直线y＝1翻折得到，
∴y3＝图象的“派生曲线”g经过A[2，1]，A[4，5]，
∴y3＝图象的“派生曲线”g的图象如图所示，
【点评】本题考查反比例函数综合题，解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题，属于中考创新题目．
27．在平面直角坐标系中，A（0，8），点B是直线y＝x﹣8与x轴的交点．
（1）写出点B的坐标（8，0）；
（2）点C是x轴正半轴上一动点，且不与点B重合，∠ACD＝90°，且CD交直线y＝x﹣8于D点，求证：AC＝CD；
（3）在第（2）问的条件下，连接AD，点E是AD的中点，当点C在x轴正半轴上运动时，点E随之而运动，点E到BD的距离是否为定值？若为定值，求出这个值，若不是定值，请说明理由．
【分析】（1）令y＝x﹣8＝0，求x，即可求出B的坐标；
（2）由于C在x轴正半轴上运动，所以分两类讨论，即C在线段OB上和线段OB延长线上，以C为线段OB上为例来说明，由直线BD的解析式为y＝x﹣8，可以求得∠CBD＝135°，由∠ACD＝∠AOC＝90°，易得∠EAC＝∠BCD，由于要证AC＝CD，即要构造AC和CD所在的三角形全等，所以在OA上取点E，使OE＝OC，易得∠AEC＝135°，AE＝CB，可以证得△AEC≌CBD，即可解决，当C在线段OB的延长线时，画出图形，用同样的方法可以证明；
（3）此题同（2）也要进行分类讨论，即C在线段OB上运动和E在线段OB的延长线上运动，以C在线
段OB运动为例来说明，设D（m，m﹣8），由于E为AD的中点，由中点坐标公式得到E（），可以得到E到坐标轴距离相等，则OE为第一象限角平分线，得到OE的解析式为y＝x，由BD解析式为y＝x﹣8，可以得到BD∥OE，由于△AOB为等腰三角形，则OE⊥AB，所以BD⊥AB，则∠ABD＝90°，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到BE＝DE，过E作EH⊥BD，可以得到H为BD中点，EH为△ABD 中位线，先用勾股定理求出AB长，则EH＝AB＝，当C在OB的延长线上时，同理可得到答案．【解答】解：（1）令y＝0，则x﹣8＝0，
∴x＝8，
∴B（8，0）；
（2）∵A（0，8），B（8，0），
∴OA＝OB＝8，
设直线BD交y轴于F点，如图1，
令x＝0，则y＝x﹣8＝﹣8，
∴F（0，﹣8），
∴OB＝OF＝8，
∴∠OBF＝45°，
∴∠CBD＝180°﹣∠OBF＝135°，
①当C在线段OB上运动时，在OA上取一点E，使OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE＝45°，
∴∠AEC＝180°﹣∠OEC＝135°，
∴∠AEC＝∠CBD＝135°，
∵OA＝OB，OE＝OC，
∴OA﹣OE＝OB﹣OC，
∴AE＝CB，
∵∠ACD＝∠AOC＝90°，
∵∠EAC+∠ACO＝∠BCD+∠ACO＝90°，
∴∠EAC＝∠BCD，
在△AEC与△CBD中，
，
∴△AEC≌△CBD（ASA），
∴AC＝CD，
②如图2，当C在OB的延长线上运动时，在OA的延长线上取一点F，使OF＝OC，∴∠AFC＝∠OCF＝45°，
又∠OBD＝135°，
∴∠AFC＝∠CBD＝45°，∵∠ACD＝∠AOC＝90°，
∴∠OAC+∠ACO＝∠ACO+∠DCN＝90°，
∴∠OAC＝∠DCN，
∴∠FAC＝∠BCD，
∵OF＝OC，OA＝OB，
∴FA＝BC，
在△FAC与△BCD中，
，
∴△FAC≌△BCD（ASA），
∴AC＝CD，
即AC＝CD；
（3）设D（m，m﹣8），
∵A（0，8），E为AD中点，
∴E（），
∴E在∠AOB的角平分线上，连接OE、AB，
∴OE平分∠AOB，
又OA＝OB，
∴OE⊥AB，
由E（），
∴直线OE的解析式为y＝x，
又直线BD的解析式为y＝x﹣8，
∴OE∥BD，
∵OE⊥AB，
∴BD⊥AB，
①如图3，当C在线段OB上时，连接EB，过E作EH⊥BD于H，
∴BE＝DE＝，
∴△EBD为等腰三角形，
又EH⊥BD，
∴H为BD中点，
又E为AD中点，
∴EH＝，
∵，
∴，
②当C在OB的延长线时，
同理可得，E到BD的距离为，综上所述，E到BD的距离为．
【点评】本题考查的是一次函数综合题，考查了利用全等证明线段相等，解决问题的关键是要充分挖掘已知条件来构造全等条件，这样辅助线就容易构造出来，同时，要注意隐藏条件，比如此题中的∠CBD＝135°，同时，还要注意分类讨论，数形结合来解决问题．
28．在正方形ABCD中，点H在对角线BD上（与点B、D不重合），连接AH，将HA绕点H顺时针旋转90°与边CD（或CD延长线）交于点P，作HQ⊥BD交射线DC于点Q．
（1）如图1：
①依题意补全图1；
②判断DP与CQ的数量关系并加以证明；
（2）若正方形ABCD的边长为，当DP＝1时，试求∠PHQ的度数．
【分析】（1）①由题意画出图形即可，②先由旋转得出∠AHP＝90°，然后判断出∠QHP＝AHD，再得出△QHP≌△DHA即可；
（2）分两种情况计算，先由三角函数求出∠APD＝60°，再求出∠APH＝45°，最后得到∠PHQ＝60°即可．
【解答】解：（1）①依题意，补全图形，如图1所示，
②DP＝CQ，
∵HA绕点H顺时针旋转90°，与边CD（或CD延长线）相交于点P，∴∠AHP＝90°，
∴∠AHD+DHP＝90°，
∵HQ⊥BD，
∴∠QHD＝90°，
∴∠QHP+∠DHP＝90°，
∴∠QHP＝AHD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CDB＝∠ADB＝45°，AD＝CD，
∴∠Q＝∠CDB＝∠ADB＝45°，
∴△QHP≌△DHA，
∴AD＝QP，
∴QP＝CD，
∴OP﹣PC＝CD﹣PC，
∴CQ＝PD；
（2）①如图2，当点P在边CD上时，连接AP，
∵正方形的边长为，PD＝1，∠ADP＝90°，
∴tan∠APD＝，
∴∠APD＝60°，
∵HA＝HP，∠AHP＝90°，
∴∠APH＝45°，
∴∠HPD＝∠APH+∠APD＝105°，
∵∠Q＝45°，
∴∠PHQ＝60°，
②如图3，当点P在边CD的延长线时，连接AP，
∴∠HPD＝∠APD﹣∠APH＝15°，
∵∠HQD＝45°，
∴∠PHQ＝120°，
∴∠PHQ的度数为120°或60°．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质和旋转的特征，全等三角形的判定和性质，同角或等角的余角相等，判断△QHP≌△DHA是解本题的关键，分两种情况是解本题的难点．。