2019北京市鲁迅中学九年级上学期期中数学试题(含答案)

精品试卷
(重题：6)北京市鲁迅中学九年级数学期中测试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅰ卷（选择题）30分和
第Ⅱ卷90分共120分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（共30分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分. 在每小题的4个选项中,只有一项是符
合题目要求的.
1．已知两个相似三角形的相似比为2:3，那么这两个三角形的面积之比为（）．
A．3:2 B．4:6C．4:9D．2:3
【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为2:3，
∴这两个三角形的面积之比为4:9．
故选C．
2．已知：5
22
x y
x y
+
=
-
，则
x
y
的值为（）．
A．
1
3
B．
1
4
C．3D．4
【解答】解：由
5
22
x y
x y
+
=
-
，得
22510
x y x y
+=-，
两边都加（52
x y
--），得
312
x y
-=-，
两边都除以3y
-，得
4
x
y
=．
故选：D．
3.在ABC
△中，D为AB边上一点，DE BC
∥交AC于点E，若
3
5
AD
DB
=，6
DE=，则BC的长度为（）．A．8B．10C．16D．18
【解答】解：∵
3
5 AD
DB
=，
∴
3
8 AD
DB
=，
∵DE BC
∥，
∴
3
8
DE AD
BC AB
==，又6
DE=，
∴16
BC=，
故选：C．
4．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为（）．
A．10m B．12m C．15m D．40m
【解答】解：设旗杆高度为x米，
由题意得，1.8
325
x
=，
解得：15
x=．故选：C．
5. 在ABC
△中，90
C
∠=︒，
3
sin
5
A=，那么cos B的值等于（）．
A．3
5
B．
4
5
C．
3
4
D．
4
3
【解答】解：
∵90
C
∠=︒，
3 sin
5
A=，
又∵90
A B
∠+∠=︒，
∴
3 cos sin
5
B A
==．
故选A．
6. 二次函数2
2
y x
=-的图象如何移动就得到2
2(1)3
y x
=--+的图象（）．A．向左移动1个单位，向上移动3个单位
B．向右移动1个单位，向上移动3个单位
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C ．向左移动1个单位，向下移动3个单位
D ．向右移动1个单位，向下移动3个单位
【解答】解：由22y x =-的图象得到22(1)3y x =--+的图象， 得向右移动1个单位，向上移动3个单位． 故选：B ．
7. 抛物线(6)(4)y x x =-+-的顶点坐标是（ ）．
A ．(1,25)-
B ．(1,25)--
C ．(1,21)-
D ．(1,21)
【解答】解：由(6)(4)y x x =-+-可知抛物线与x 轴的交点坐标为(6,0)-和(4,0)， ∴对称轴为64
12
x -+=
=-， ∴顶点的横坐标为1-，
代入(6)(4)y x x =-+-得，(16)(14)25y =--+--=， ∴抛物线(6)(4)y x x =-+-的顶点坐标是(1,25)-． 故选A ．
8.抛物线21y x =+绕原点旋转180︒后的解析式为（ ）．
A ．21y x =-
B ．21y x =--
C ．21y x =-+
D ．2(1)y x =-+
【解答】解：在抛物线21y x =+上找两点(1,2)，(0,1)，它们绕原点旋转180︒后为(1,2)--，(0,1)-，可设新函数的解析式为2y ax b =+，
则2a b +=-，1b =-． 解得1a =-．
∴新抛物线的解析式为：21y x =--． 故选B ．
A C
B
D
9. f6e56c3eb5a44fc490e23e558ebe3739
已知函数c
bx
ax
y+
+
=2的图象如图所示，则函数b
ax
y+
=的图象是（）
10. ff80808149848e470149890b127b0934
如图，在等边△ABC中，4
=
AB，当直角三角板MPN的︒
60角的
顶点P在BC上移动时，斜边MP始终经过AB边的中点D，设直角
三角板的另一直角边PN与AC相交于点E.设x
BP=，y
CE=，
那么y与x之间的函数图象大致是( )
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.把答案填在题中横线上.
11．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC
△的三个顶点均在格点上，则tan B
∠的值为__________．
【解答】解：如图：
，
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5
tan 4
AD B BD =
=． 故答案为：
54
．
12. 若090α︒<<︒，1tan 2
α=，则sin α=__________．
【解答】解：
如图在Rt ACB △中，90C ∠=︒，B α∠=，
1
tan 2
AC B BC =
=， 设AC k =，2BC k =，由勾股定理得：5AB k =， 则5
sin sin 5AC B AB k
α==
==， 5．
13．ae4b7a32909c4cd59306206bac988e5f
请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点（0，-1）的抛物线
的解析式____ ______．
14. 若抛物线22y x x k =--与x 轴有两个交点，则实数k 的取值范围是____________．
【解答】解：∵抛物线22y x x k =--与x 轴有两个交点， ∴0∆>，即2(2)41()0k --⨯⨯->． 整理得：440k +>． 解得：1k >-． 故答案为：1k >-．
15.小莉站在离一棵树水平距离为2米的地方，用一块含30︒的直角三角板按如图所示的方式测量这棵树
的高度，已知小莉的眼睛离地面的高度是1.5米，那么她测得这棵树的高度为__________．（结果保留根号）
【解答】解：如图所示：过A 作CD 的垂线，设垂足为E 点， 则2AE BC ==米， 1.5AB CE ==米．
Rt ADE △中，2AE =米，30DAE ∠=︒，
∴23
tan30DE AE =⋅︒=（米）， ∴23
( 1.5)CD CE DE =+=+米． 故答案为：23
(
1.5)+米．
16.在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为(1,0)，点D 的坐标为(0,2)．则
正方形ABCD 的面积为_________，延长CB 交x 轴于点1A ，作正方形111A B C C ，则正方形111A B C C 的面积为__________；延长11C B 交x 轴于点2A ，作正方形2221A B C C ，…按这样的规律进行下去，正方形2015201520152014A B C C 的面积为__________．
【解答】解：∵点A 的坐标为(1,0)，点D 的坐标为(0,2)， ∴1OA =，2OD =， ∵90AOD ∠=︒，
∴22125AB AD ==+90ODA OAD ∠+∠=︒，
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∵四边形ABCD 是正方形，
∴90BAD ABC ∠=∠=︒
，25ABCD S ==正方形， ∴190ABA ∠=︒，190OAD BAA ∠+∠=︒， ∴1ODA BAA ∠=∠， ∴1ABA DOA ∽△△， ∴
1BA AB OA OD
=
，即11BA =，
∴1BA =
∴1CA =
， ∴正方形111A B C C
的面积2454==
，…，第n 个正方形的面积为9
5()4
n ⨯， ∴第2015个正方形即2015201520152014A B C C 的面积为20159
5()4
⨯；
故答案为：5，454，20159
5()4
⨯．
三、解答题（本题共33分，第17――21题各5分，22题8分）．
17.计算：22sin45sin60cos30tan 60︒+︒-︒+︒．
【解答】解：22sin45sin60cos30tan 60︒+︒-︒+︒
22=++
3．
18.8aac50a74e724b3f014e804769dc3581 如图，在ABC ∆中，∠C=90°，5
2
sin =A ，D 为AC 上一点，∠BDC=45°，6=DC ，求AD 的长. 解：
19. 已知：如图，在ABC △中，D 是AB 上一点，且ACD B ∠=∠，若5AC =，9AB =，6CB =．
（1）求证：ADC ACB ∽△△；
C
B
A
（2）求CD的长．
【解答】（1）证明：在ADC
△与ACB
△中，∵ABC ACD
∠=∠，A A
∠=∠，
∴ACD ABC
∽
△△．
（2）解：∵ACD ABC
∽
△△，
∴::
CD BC AC AB
=．
∴CD AB BC AC
⋅=⋅，
即956
CD=⨯，
∴
10
3 CD=．
20. 如图，已知O是坐标原点，(3,6)
B-，(3,0)
C-，以原点O为位似中心，将OBC
△缩小为原来的一半（即新图形与原图形的相似比为1:2）．
（1）画出缩小后的图形；
（2）写出B点的对应点坐标；
（3）如果OBC
△内部一点M的坐标为(,)
x y，写出点M经位似变换后的对应点坐标．
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【解答】解：（1）∵以原点O为位似中心，将OBC
△缩小为原来的一半，(3,6)
B-，(3,0)
C-，∴
3
(,3)
2
B'-，
3
(,0)
2
C'-；
3
(,3)
2
B''-，
3
(,0)
2
C''；
（2）B点的对应点坐标为：
3
(,3)
2
-，
3
(,3)
2
-；
（3）OBC
△内部一点M的坐标为(,)
x y，
则点M经位似变换后的对应点坐标为：
11
(,)
22
x y，
11
(,)
22
x y
--．
21. 已知：二次函数2
y ax bx c
=++（0
a≠）中的x和y满足下表：
x…012345…
y…301-0m8…
（1）可求得m的值为__________．
（2）求出这个二次函数的解析式；
（3）当3y >时，x 的取值范围为___________． 【解答】解：（1）（2）根据题意得： 30
421c a b c a b c =⎧⎪
++=⎨⎪++=-⎩
， 解得：143a b c =⎧⎪
=-⎨⎪=⎩
．
则函数的解析式是：243y x x =-+， 当4x =时，161633m =-+=．
（3）函数图象经过(0,3)，(4,3)，
当3y >时，则x 的取值范围为：0x <或4x >．
22.已知二次函数2246y x x =+-．
（1）把函数配成2()y a x h k =-+的形式； （2）求函数与x 轴交点坐标； （3）用五点法画函数图象 x
… … y
…
…
根据图象回答：
（4）当0y ≥时，则x 的取值范围为__________． （5）当30x -<<时，则y 的取值范围为__________．
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【解答】解：（1）222462(1)8y x x x =+-=+-； （2）令0y =，则20246x x =+-， 解得：1x =，或3x =-，
函数与x 轴交点坐标为(1,0)，(3,0)-； （3）用五点法画函数图象如下： x
… 3- 2- 1- 0 1 … y
…
6-
8-
6-
…
（4）当0y ≥时，则x 的取值范围为1x ≥或3x -≤． （5）当30x -<<时，则y 的取值范围为08y >-≥．
四、解答题（本题共20分，每题5分）．
23. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在BC 边上，点F 在DC 的延长线上，且DAE F ∠=∠．求证：
BE EC FC CD ⋅=⋅．
【解答】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB CD ∥，AD BC ∥，AB CD =， ∴B ECF ∠=∠，DAE AEB ∠=∠， 又∵DAE F ∠=∠， ∴AEB F ∠=∠， ∴ABE ECF ∽△△， ∴
BE AB
FC EC
=
， ∴BE EC FC CD ⋅=⋅．
24. 已知：如图，等腰ABC △中，AB BC =，AE BC ⊥于E ，EF AB ⊥于F ，若2CE =，4
cos 5
AEF ∠=，
求BE 的长．
【解答】解：∵AE BC ⊥于E ，EF AB ⊥于F ， ∴90AEB AFE ∠=∠=︒．
∴90B BAE BAE AEF ∠+∠=∠+∠=︒． ∴B AEF ∠=∠． ∵4cos 5
AEF ∠=， ∴4cos 5
B ∠=
．
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∵cos
BE
B
AB
∠=，AB BC
=，2
CE=，
∴设4
BE a
=，则5
AB a
=，CE a
=．
∴2
a=．
∴8
BE=．
25．如图，有长为24m的篱笆，围成长方形的花圃，且花圃的一边为墙体（墙体的最大可用长度为
20m）．设花圃的面积为2
m
y，AB的长为m
x．
（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
（2）x为何值时，y取得最大值？最大值是多少？
【解答】解：（1）2
(242)242
S x x x x
=-=-；
又∵0
x>，且202420
x
->
≥，
∴212
x<
≤；
（2）22
2242(6)72
S x x x
=-+=--+，
∵20
-<，对称轴6
x=，
∴当6
x>时，y随x的增大而减小，
∴当6
x=时，y的值最大，最大值72
y=．
26. ff80808149848e470149890d1b2c0940
如图，一艘海轮A位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔100海里，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处.
（参考数据：236 2.449
≈≈≈）
（1）问B处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里）
（2）有一圆形暗礁区域，它的圆心O位于射线PB上，
OP长190海里。

圆形暗礁区域的半径为50海里，进入
这个区域，就有触礁的危险.请判断海轮到达B处是否有
触礁的危险，并说明理由.
五、解答题（本题共19分，第27题7分，第28题7分，第29题5分）．
27．已知二次函数22
=-++--与x轴有两个交点．
2(1)23
y x k x k k
（1）求k的取值范围；
（2）当k取最小的整数时，求二次函数的解析式；
（3）将（2）中求得的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线y x m
=+有三个不同公共点时m的值．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴有两个交点，
∴22
∆=+---=+>．
k k k k
4(1)4(23)16160
∴1
k>-．
∴k的取值范围为1
k>-．
（2）∵1
k>-，且k取最小的整数，
∴0
k=．
精品试卷∴22
23(1)4
y x x x
=--=--．
（3）翻折后所得新图象如图所示．
平移直线y x m
=+知：直线位于
1
l和
2
l时，它与新图象有三个不同的公共点．
①当直线位于
1
l时，此时
1
l过点(1,0)
A-，
∴01m
=-+，即1
m=．
②∵当直线位于
2
l时，此时
2
l与函数223
y x x
=-++（13
x
-≤≤）的图象有一个公共点∴方程223
x m x x
+=-++，即230
x x m
--+=有两个相等实根．
∴14(3)0
m
∆=--=，即
13
4
m=．
综上所述，m的值为1或
13
4
．
28．如图，四边形ABCD为矩形，4
AB=，3
AD=，动点M从D点出发，以1个单位/秒的速度沿DA向终点A运动，同时动点N从A点出发，以2个单位/秒的速度沿AB向终点B运动、当其中一点到达终点时，运动结束、过点N作NP AB
⊥，交AC于点P连接MP、已知动点运动了x秒．
（1）请直接写出PN的长；（用含x的代数式表示）
（2）试求MPA △的面积S 与时间x 秒的函数关系式，写出自变量x 的取值范围，并求出S 的最大值； （3）在这个运动过程中，MPA △能否为一个等腰三角形？若能，求出所有x 的对应值；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）32
x
PN =．
（2）过点P 作PQ AD ⊥交AD 于点Q ， 可知2PQ AN x ==， 依题意，可得3AM x =-，
∴211
(3)2322S AM PQ x x x x =⋅⋅=⋅-⋅=-+．
亦即239()24
S x =--+．
自变量x 的取值范围是：02x <≤． ∴当32x =时，S 有最大值，S 最大值94
．
（3）MPA △能成为等腰三角形，共有三种情况： ①当PM PA =时， ∵PQ AD ⊥， ∴3
2
MQ AQ PN x ===
， 又∵DM MQ QA AD ++=， ∴43x =，即34
x =
； ②当MP AM =时，由题意：
5
32MQ AD AQ DM x =--=-，2PQ x =，3MP MA x ==-，
在Rt PMQ △中，由勾股定理得：222MP MQ PQ =+，
∴2225
(3)(3)(2)2
x x x -=-+
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解之得：36
37
x =
，0x =（不合题意，舍去） ③当AP AM =时， ∵PN BC ∥， ∴
AP AN
AC AB
=
， ∴5
2
AP x =
， ∵3AM x =-，
∴5
32x x =-， 解之得：67
x =
． 综上所述，当34x =
，或3637x =，或67
x =时，MPA △是等腰三角形．
29．ff8080814d043e7e014d1d9701e01f4e
北京市鲁迅中学九年级数学科目期中测试题
答案 2015.11
一、选择题
1．C 2. D 3． C 4． C 5. A 6．B 7.A 8．D 9B 10．B 二、填空题
11.
4
5 12. 55 13. 12
-+=x x y 答案不唯一
14．K>-1 15. 5.1332+ 16. 5,445，52015
49⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯
三、解答题（本题共35分，第13、15、16、17、18题各5分，14题10分）．
17.计算：
︒+︒-︒+︒60tan 30cos 60sin 45sin 22
解：32+
18.如图，在ABC ∆中，∠C=90°，5
2
sin =
A ，D 为AC 上一点， ∠BDC=45°，6=DC ，求AD 的长.
解： AD=9
19. 已知:如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，且∠ACD =∠B ，
若AC =5，AB = 9，CB =6 . （1）求证：△ADC ∽△ACB ； （2）求CD 的长.
（1）证明： （2）解：
（1） 略
CD ＝3
10
C
B
A
精品试卷
20. 如图，已知O 是坐标原点，B （－3，6）,C （－3，0）, 以原点O 为位似中心，将△OBC 缩小为原来的一半 （即新图形与原图形的相似比为1：2）. （1）画出缩小后的图形； （2）写出B 点的对应点坐标；
（3）如果△OBC 内部一点M 的坐标为（x ，y ）， 写出点M 经位似变换后的对应点坐标。

解：图略
（2）（－1.5，3） （3）（0.5x ，0.5y ）
（1.5，－3） （－0.5x ，－0.5y ）
21. 已知：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）中的x 和y 满足下表：
x … 0 1 2 3 4 5 … y
…
3
－1
m
8
…
(1) m 的值为 3 ； (2) 求出这个二次函数的解析式；
用顶点式或双根式求得解析式：y ＝x 2－4x ＋3
22.已知二次函数y ＝2x 2+4x －6.
（1）把函数配成y=a(x-h)2+k 的形式； （2）求函数与x 轴交点坐标； 略
（3）用五点法画函数图像
x … -3 -2 -1 0 1 … y
…
-6
-8
-6
…
根据图像回答：
（4） 当y ≥0时，则x 的取值范围为x ≥1或x ≤－3 . （5）当 -3<x<0时，则y 的取值范围为 0>y ≥-8 .
O
y
x
1O 1
x
y
四、解答题（本题共20分，每题5分）．
23. 如图，在□ABCD 中，点E 在BC 边上，点F 在DC 的延长线上，且∠DAE =∠F ．
求证：BE ·EC=FC ·CD
证明：
先证△ABE ∽△ECF 相似得比例 等线段代换
24. 已知：如图，等腰△ABC 中，AB= BC ，AE ⊥BC 于E ， EF ⊥AB 于F ，若CE=2，4
cos 5
AEF ∠=， 求BE 的长. 解：等角转移，
见比设份，设BE ＝4k ，AB ＝5k 求得k ＝2 BE ＝8
25．如图，有长为24m 的篱笆，围成长方形的花圃，且花圃的一边为墙体（墙体的最大可用长
度为20m ）。

设花圃的面积为ym 2，AB 的长为xm 。

（1）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围。

（2）x 为何值时，y 取得最大值？最大值是多少？ 解：（1）y ＝－2x 2＋24x （2<=x<12）
（2）x=6时，y 最大＝72
F
E
A
D
C
B
x
花圃
C B A D
精品试卷
26．（1）122.5
(2)没有危险
27. 解：（1）由题意，得01616)32(4)1(422>+=---+=∆k k k k ，…………1分
∴1->k ． ∴k 的取值范围为1->k ． …………2分
（2）∵1->k ，且k 取最小的整数，∴0=k ．…………3分
∴4)1(3222--=--=x x x y ， (4)
（3）翻折后所得新图象如图所示.
平移直线m x y +=知: 直线位于1l 和2l 时，它与新图象有三
个不同的公共点．
①当直线位于1l 时，此时1l 过点)0,1(-A ，
∴m +-=10，即1=m ． ………………5分
② 当直线位于2l 时，此时2l 与函数
)31(322≤≤-++-=x x x y 的图象有一个公共点，………………6分
∴方程322++-=+x x m x ，
即032=+--m x x 有两个相等实根，∴0)3(41=--=∆m ，
即413=
m ． ………………7分 当413=m 时，2
121==x x 满足31≤≤-x ， 由①②知1=m 或413=
m ．
Q P N C B
A
28 解：⑴ PN ＝32
x . ………………1分 ⑵ 过点P 作PQ ⊥AD 交AD 于点Q .
可知2PQ AN x ==.
依题意，可得 x AM -=3.
∴ 221139(3)23()2224
S AM PQ x x x x x =⋅⋅=⋅-⋅=-+=--+. ………………2分
自变量x 的取值范围是：0<x ≤2 . ………………3分
∴ 当32x =时，S 有最大值 ，S 最大值＝94
. ………………4分 ⑶ △MP A 能成为等腰三角形，共有三种情况，以下分类说明：
① 若PM ＝P A ，
∵ PQ ⊥AD ， ∴MQ ＝QA ＝PN ＝
32
x . 又DM ＋MQ ＋QA ＝AD ∴43x =，即34x =. ………………5分 ②若MP ＝MA ，
MQ ＝AD AQ DM --=532
x -，PQ ＝2x ，MP ＝MA ＝x -3. 在Rt △PMQ 中，由勾股定理得：222PQ MQ MP +=.
∴ 2225(3)(3)(2)2x x x -=-
+. 解得 3637
x =（0=x 不合题意，舍去）. ………………6分 ③若AP ＝AM ，
由题意可求 52
AP x =，AM ＝x -3. ∴532
x x =-. 解得 67
x =. ………………7分 综上所述，当34x =，或3637x =，或67x =时，△MP A 是等腰三角形.
精品试卷
29. 解：（1）令x x =+-12，解得3
1=x ， ∴函数12+-=x y 的图象上有一个和谐点(
31，31)； ………………………1分
（2）令x c x ax ＝++42，即032＝c x ax ++，
由题意，Δ＝ac 432-＝0，即94=ac ， 又方程的根为2
323=-a ， 解得1-=a ，4
9-=c ． ………………………2分 ∴函数4342
-++=c x ax y ，即342-+-=x x y ， 如图，该函数图象顶点为(2，1)，与y 轴交点为(0，－3)， 由对称性，该函数图象也经过点(4，－
3)． ………………………3分
由于函数图象在对称轴2=x 左侧y 随x 的增大而增大，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，且当m x ≤≤0时，函数342-+-=x x y 的最小值为－3，最大值为1，
∴42≤≤m ． ………………………4分
（3）045<<n －，或10<<n ． ………………………5分。