北京市第一零一中学2024届高三上学期10月月考 数学试题(含解析)

A．－4B 7．已知正项等比数列{a A．充分不必要条件C．充分必要条件8．如图，在曲柄CB绕曲柄CB长10cm，则曲柄
A．8.15cm B．6.95cm
()
(1)求sin ADB ∠；
(2)若sin 2sin BDC ∠∠=18．已知函数()f a x =(1)讨论函数()f x 的单调性；
【详解】
如图，过点B 作1BB AC ⊥于点1B ，
因为()f x t =无实根，所以π4a t a ≤≤或41t a ≥+，②正确；2
因为411a +≤-，所以函数()f x 在π,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
单调递减，
又因为2
22,44,x x +≥+≥所以由()
()224f x f x +>+可得，
函数()f x 在点π,02⎛⎫
⎪⎝⎭
处的切线斜率为π()sin 12f x '=-=-，
πππ
当差数列为()1221221--++=-++n i n i 时，
对于1,21,,,21,2,2,1+-+⋅⋅⋅-i n i i n n 可得符合的排序为
()211,1,21,,,21,2,2,1-+-+-+⋅⋅⋅-n i i n i i n n ；
对于21,,,21,2,2,1,221-+⋅⋅⋅--+n i i n n n i ，无法排序；
所以符合的排序为()211,1,21,,,21,2,2,1-+-+-+⋅⋅⋅-n i i n i i n n ，
即当差数列为122--+n i ，符合的排序为21,,,21,2,2,1-+⋅⋅⋅-n i i n n ；
所以当差数列为122--+n i ，符合的排序为21,,,21,2,2,1-+⋅⋅⋅-n i i n n ，成立；
同理可证：当差数列为122--+n i ，符合的另一种排序为2,1,21,2,,21,-⋅⋅⋅-+n n n i i ；依次类推，可得其排列为1,,2,1,3,2,,2,2,1++-+-⋅⋅⋅n n n n n n n 或
2,1,21,2,23,3,,1,--⋅⋅⋅+n n n n n ，
所以{}{}242,,,1,2,,n b b b n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，故充分性成立；
若{}{}242,,,1,2,,n b b b n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，则{}{}2131,,,1,2,,2-⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅n b b b n n n ，
若差数列为()21±-n ，则符合的排序为2,1n 或1,2n ，
若差数列为()22±-n ，则符合的排序为2,2,1n 或2,1,21-n n 或1,2,2n 或21,1,2-n n ，若差数列为()23±-n ，则符合的排序为21,2,2,1-n n 或2,1,21,2-n n ，
因为1,2,2n 的排序为1,2,2,21-n n ，不合题意，
21,1,2-n n 的排序为2,21,1,2-n n ，不合题意，
所以若差数列为()21±-n ，则符合的排序为2,1n ，
若差数列为()22±-n ，则符合的排序为2,2,1n 或2,1,21-n n ，
若差数列为()23±-n ，则符合的排序为21,2,2,1-n n 或2,1,21,2-n n ，
利用数学归纳法证明：当差数列为()212±+-n i 时，符合的的排序为
21,,,21,2,2,1-+⋅⋅⋅-n i i n n ，
当1i =时，成立；
假设在差数列有意义的前提下：
当差数列为()212±+-n i ，符合的排序为21,,,21,2,2,1-+⋅⋅⋅-n i i n n ；
当差数列为()22±-n i ，符合的排序为1,21,,,21,2,2,1+-+⋅⋅⋅-i n i i n n 或
21,,,21,2,2,1,22-+⋅⋅⋅--n i i n n n i ，
当差数列为()()2121±+-+n i ，
对于1,21,,,21,2,2,1+-+⋅⋅⋅-i n i i n n 可得排序为()211,1,21,,,21,2,2,1-+++-+⋅⋅⋅-n i i n i i n n ，对于21,,,21,2,2,1,22-+⋅⋅⋅--n i i n n n i 则无法排序，
所以当差数列为()212±+-n i ，符合的排序为21,,,21,2,2,1-+⋅⋅⋅-n i i n n ；
同理可证：当差数列为()212±+-n i ，符合的排序为2,1,21,2,,21,-⋅⋅⋅-+n n n i i ；此时满足数列B 是“绝对差异数列”的排序只有两种：
1,,2,1,3,2,,2,2,1++-+-⋅⋅⋅n n n n n n n 或2,1,21,2,23,3,,1,--⋅⋅⋅+n n n n n ，
则()()()
112232221--=-+-+⋅⋅⋅+-n n n b b b b b b b b ()1221-=-++⋅⋅⋅+=-n n b b b △△△，必要性成立；
所以12n b b n -=的充要条件是{}{}242,,,1,2,,n b b b n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅.
【点睛】方法点睛：本题主要考查数列新定义的问题，处理此类问题时，通常根据题中新定义的概念，结合已知结论求解，根据题中的定义，结合等差数的通项公式与求和公式进行求解.。