高考数学专习题解析几何新题型解题技巧

高考数学专习题解析几何新题型解题技巧
分析几何题型
命题趋势：分析几何例命题趋势：
1. 注意观察直线的基本观点，求在不一样条件下的直线方程，直线的地点关系，此类题大多都属中、低
档题，以填空题的形式出现，每年必考
2. 观察直线与二次曲线的一般方程，属简单题，对称问题常以填空题出现
3. 观察圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以填空题的形式出现，有时会出现有必定灵巧性和综合
性较强的题，如求轨迹，与向量联合，与求最值联合，属中档题
考点透视
一．直线和圆的方程
1．理解直线的斜率的观点，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能依据条件娴熟地求出直线方程．
2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够依据直线的方程
判断两条直线的地点关系．
3．认识二元一次不等式表示平面地区．
4．认识线性规划的意义，并会简单的应用．
5．认识分析几何的基本思想，认识坐标法．
6．掌握圆的标准方程和一般方程，认识参数方程的观点，理解圆的参数方程．
二．圆锥曲线方程
1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质．
2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．
3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．
4．认识圆锥曲线的初步应用．
考点1.求参数的值
求参数的值是高考题中的常有题型之一,其解法为从曲线的性质下手,结构方程解之.
例1．若抛物线y2 2px 的焦点与椭圆
2 2
x y 的右焦点重合，则p 的值为
1
6 2
观察企图: 本题主要观察抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质.
解答过程：椭圆
2 2
x y 的右焦点为(2,0)，所以抛物线
1
6 2
2 2
y px 的焦点为(2,0)，则p 4，
考点2. 求线段的长
求线段的长也是高考题中的常有题型之一,其解法为从曲线的性质下手,找出点的坐标,利用距离公式解
之.
例2．已知抛物线y-x2+3 上存在对于直线x+y=0 对称的相异两点A、B，则|AB|等于
观察企图: 本题主要观察直线与圆锥曲线的地点关系和距离公式的应用.
解：设直线AB 的方程为y x b，由
2
y x
y x b
3 2
x x b 3 0 x x 1
，从而可求
1 2
出AB 的中点
1 1
M ( , b) ，又由
2 2
1 1
M ( , b) 在直线x y 0上可求出b 1，
2 2
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∴ 2 2 0
x x ，由弦长公式可求出
2 2 AB 1 1 1 4 ( 2)
3 2 ．
例3．如图，把椭圆 2 2 x y 的长轴
1
25 16
AB 分红8 等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，
1 , 2, 3, 4 , 5, 6, 7P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，
则P F P F PF P F P F P F P F ____________.
1 2 3 4 5 6 7
观察企图: 本题主要观察椭圆的性质和距离公式的灵巧应用.
2 2
x y 的方程知a2 25, a 5. 解答过程：由椭
圆
1
25 16
∴7 2a
PF P F PF P F P F P F P F 7 a 7 5 35.
1 2 3 4 5 6 7
2
故填35.
考点3. 曲线的离心率
曲线的离心率是高考题中的热门题型之一,其解法为充足利用:
c ∈(0,1) (e 越大则椭圆越扁);
(1)椭圆的离心率e＝
a
c ∈(1, ＋∞) (e 越大则双曲线张口越大).
(2) 双曲线的离心率e＝
a
联合有关知识来解题.
例4．已知双曲线的离心率为2，焦点是( 4,0) ，(4,0) ，则双曲线方程为
观察企图:本题主要观察双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本观点.
解答过程：e c 2,c 4,
Q 所以
a
2 a 2,b 12.
小结:对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本观点，要注意仔细掌握.特别对双曲线的焦点地点和双曲线标准方程中分母大小关系要仔细领会.
例5．已知双曲线3x2 y2 9,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于
观察企图: 本题主要观察双曲线的性质和离心率e＝c∈(1, ＋∞) 的有关知识的应用能力.
a
解答过程：依题意可知a 3,c a2 b2 3 9 2 3 ．
考点4.求最大(小)值
求最大(小)值, 是高考题中的热门题型之一.其解法为转变为二次函数问题或利用不等式求最大(小)值: 特别是,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答.
例6．已知抛物线y2=4x,过点P (4,0)的直线与抛物线订交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22 的最小值
是.
观察企图: 本题主要观察直线与抛物线的地点关系，以及利用不等式求最大(小)值的方法.
解:设过点P(4,0)的直线为y k x 4 , k2 x2 8x 16 4x,
考点5圆锥曲线的基本观点和性质
圆锥曲线第必定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的一致性，都是考试的要点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心.
例7．在平面直角坐标系xOy 中,已知圆心在第二象限、半径为2 2 的圆C 与直线y=x 相切于坐标原点O.椭圆x =1 与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
2 y
2
a 9
2
（1）求圆C 的方程；
（2）尝试究圆C 上能否存在异于原点的点Q，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长.若存在，
恳求出点Q 的坐标；若不存在，请说明原因.
[观察目的]本小题主要观察直线、椭圆等平面分析几何的基础知识，观察综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．
[解答过程] (1)设圆C 的圆心为(m, n)
则,
m n
n 2 2 2, 解得m 2,
n 2.
所求的圆的方程为 2 2
( x 2) ( y 2) 8
(2) 由已知可得2a 10 ，a 5．
2 2
x y , 右焦点为F( 4, 0) ; 椭圆的方程为
1
25 9
假定存在Q 点2 2 2 cos ,2 2 2 sin 使QF OF ,
2 2
2 2 2 cos 4 2 2 2 sin 4 ．
整理得sin 3cos 2 2，代入 2 2
sin cos 1．
得:10cos2 12 2 cos 7 0 , cos 12 2 8 12 2 2 2 1
．
10 10
所以不存在切合题意的Q 点.
例8．如图,曲线G 的方程为y2 2x( y 0) .以原点为圆心，以t(t 0)
为半径的圆分别与曲线G 和y 轴的正半轴订交于A 与点B. 直线
AB 与x 轴订交于点C.
（Ⅰ）求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标c 的关系式；
（Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为a 2,求证：直线CD 的斜率为定值.
[观察目的]本小题综合观察平面分析几何知识，主要波及平面直角坐标素中的
两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系
，观察运算能力与思想能力，综合剖析问题的能力.
[解答过程]（I）由题意知，A( a, 2a ).
因为| | , 2 2a t .
OA t 所以a
2
因为t 0,故有t 2 2a. （1）
a
x y
由点B（0，t），C（c，0）的坐标知，直线BC 的方程为 1.
c t
又因点A 在直线BC 上，故有 2 1,
a a
c t
将（1）代入上式，得a 2a 解得c a 2 2( a 2) .
1,
c a(a 2)
（II）因为D(a 2 2(a 2)) ，所以直线CD 的斜率为
2(a 2) 2(a 2) 2(a 2)
1
k CD ，
a 2 c
a 2 (a 2 2(a 2) ) 2(a 2)
所以直线CD 的斜率为定值.
2 2
x y
例9．已知椭圆
，AB 是它的一条弦，M(2,1) 是弦AB 的中点，若以点M(2,1) E : 1(a b 0)
2 2
a b
为焦点，椭圆E 的右准线为相应准线的双曲线C 和直线AB 交于点N(4, 1)，若椭圆离心率e 和双
曲线离心率e之间知足ee1 1，求：
1
（1）椭圆E 的离心率；（2）双曲线C 的方程.
解答过程：（1）设A、B 坐标分别为A(x , y ), B(x , y ) ，
1 1
2 2
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则
2 2
x y
1 1
2 2
a b
，
1
2 2
x y
2 2
2 2
a b
1 ，二式相减得：
k
2
y y (x x )b
1 2 1 2
AB 2
x x (y y )a
1 2 1 2
2
2b 1 ( 1)
k 1
2
MN
a 2 4
，
所以 2 2 2 2
a 2
b 2(a
c ) ，a 2c ，则e c 2
2 2
a 2
；
（2）椭圆E 的右准线为
2 2
a ( 2c)
，双曲线的离心率
x 2c
c c
1
e 2
1
e
，
设P(x, y) 是双曲线上任一点，则：
2 2
| PM |
(x 2) (y 1)
| x 2c| | x 2c |
2 ，两头平方且将N(4, 1)代入得：c 1或c 3，
当c 1时，双曲线方程为： 2 2
(x 2) (y 1) 0 ，不合题意，舍去；
当c 3时，双曲线方程为： 2 2
(x 10) (y 1) 32 ，即为所求.
小结：（1）“点差法”是办理弦的中点与斜率问题的常用方法；
（2）求解圆锥曲线时，如有焦点、准线，则往常会用到第二定义. 考点6 利用向量求曲线方程和解决有关问题
利用向量给出题设条件，能够将复杂的题设简单化，便于理解和计算.
典型例题：
例10．双曲线C 与椭圆(1)求双曲线C 的方程；
2 2
x y 有同样的焦点，直线y= 3x 为C 的一条渐近线.
1
8 4
(2)过点P (0,4)的直线l ，交双曲线C 于A,B 两点，交x 轴于Q 点（Q 点与 C 的极点不重合）.当
uuur uuur u uur
8
，且
时，求Q 点的坐标.
PQ QA QB
1 2
1 2
3
观察企图: 本题观察利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用数形联合思想,方程和转变的思想解决问题的能力.
2 2 x y
解答过程：（Ⅰ）设双曲线方程为,
2 2 1
a b 2 2
x y ,求得两焦点为( 2,0),(2,0) ，由椭圆
1
8 4
对于双曲线C :c 2，又y 3x为双曲线C 的一条渐近线
b
2 1, 2
3 解得a
b ，
3
a
2
y
双曲线 C 的方程为
2 1 x
3
（Ⅱ）解法一：
由题意知直线
l 的斜率k 存在且不等于零.
设
l 的方程：B x y ,则Q( 4 ,0)
y kx 4, A( x , y ) ，
( , )
1 1
2 2
k
u uur uuur
4 4
Q , .
PQ QA
1
( , 4) ( x , y )
1 1 1
k k
.
16 1 16
Q
( , )
( ) 1 0
1 1
2
k
1 1
16
同理有： 2 2 2
(16 k ) 32 16 k 0.
2 2
3
若16 k2 0,则直线l 过极点，不合题意. 2
16 k 0,
2 2 16 2
(16 ) 32 16 0.
k x x k 的两根. 1, 2 是二次方程
3
32 8
2 4
, k ，此时0, k 2.
1 2 2
k 16 3
所求Q的坐标为( 2,0) .
解法二：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零
设
l 的方程，
y kx 4, A( x , y ), B( x , y ) ，则
1 1
2 2
的比为.
1
uuur uuur u uur
Q ，Q 分PA
PQ QA
1 Q
4
( ,0)
k
.
由定比分点坐标公式得
下同解法一
解法三：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零
设l 的方程：y kx A x y B x y ，则Q( 4 ,0)
4, ( , ), ( , )
1 1
2 2
k
.
u uur uuur uuur Q ，
PQ QA QB
1 2
4 4 4
( , 4) ( x , y ) (x , y )
1 1 1
2 2 2
k k k
.
4 y y ，
1 1
2 2 1
4
y
1
，
2
4
y
2
，
又
1 2 8
3
，1 1 2
y y
1 2
3
,即3( y1 y2 ) 2y1 y2 .
将y kx 4代入
2
y
x2 1得
3
2 2 2
(3 k ) y 24y 48 3k 0 .
Q ，不然l 与渐近线平行.
3 k 0
2
2
24 48 3k
.
y y , y y
1 2 2 1 2 2
3 k 3 k
2
24 48 3k
. k 2
3 2
2 2
3 k 3 k
Q .
( 2,0)
解法四：由题意知直线l 得斜率k 存在且不等于零，设l 的方程：y kx 4 ，
u uuv uuuv Q PQ QA,
1
4 4
.
( , 4) ( x , y )
1 1 1
k k
A x y
B x y ,则Q( 4 ,0)
( , ), ( , )
1 1
2 2
k
1
x
1 4
4
k
4 4
kx
1
k
.同理
1
4
kx
2
4
.
4 4 8
.
1 2 kx 4 kx 4 3
1 2
即 2
2k x x 5k( x x ) 8 0 . （*）
1 2 1 2
y kx
又 2
y
2
x
3 4 1
消去y 得(3 k2 ) x2 8kx 19 0.
当 2
3 k 0 时，则直线l 与双曲线得渐近线平行，不合题意，
2 3 k 0 .
由韦达定理有：
8k x x
1 2 2
3 k
19 x x
1 2 2
3 k
代入（*）式得k 2 4,k 2 .
所求Q 点的坐标为( 2,0) .
例11．设动点P 到点A(－l，0)和B(1，0)的距离分别为d1 和d2，
∠APB＝2θ,且存在常数λ(0＜λ＜1＝,使得d1d2 sin2θ＝λ．
（1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；
（2）过点B 作直线交双曲线C 的右支于M、N 两点,试确立λ的范围,
使OM ·ON ＝0,此中点O 为坐标原点．
[观察目的]本小题主要观察直线、双曲线等平面分析几何的基础知识，观察综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．
[解答过程]解法1：（1）在△PAB 中，AB 2 ，即 2 2 2
2 d d 2d d cos 2 ，
1 2 1 2
2 2 4 (d d ) 4d d sin ，即
1 2 1 2 d d d d （常数），
2 1 2 4 4 1 2 sin 2 1 2
点P 的轨迹C 是以A，B 为焦点，实轴长2a 2 1 的双曲线．
方程为：
2 2
x y ．
1 1
（2）设M (x，y ) ，N( x
2
，y2 )
1 1
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①当 MN 垂直于 x 轴时， MN 的方程为x 1 ， M (1，1) ， N (1， 1)在双曲线上． 即 1 1 1 2 1 0 1 5 ，因为0 1，所以 5 1
1 2 2
②当 MN 不垂直于 x 轴时，设MN 的方程为y k (x 1) ．
．
由
1
2 2
x y
1
得： (1 )k 2 x 2 2(1 )k 2x (1 )(k 2 ) 0，
y k(x 1)
由题意知： (1 )k 2 0，所以
2
2k (1 ) x x
1 2 2
(1 )k
，
2
(1 )(k )
x x
1 2 2
(1 )k
．
于是：
2 2
k
2
y 1 y 2 k (x 1 1)(x 2 1) 2 (1 )k
．
因为OM ON 0，且 M ，N 在双曲线右支上，所以
(1 )
x x y y 0 (1 ) k
2
1 2 1 2 2
1
2
x x 0 1 1
1 2
2 2
k 1 0
x x 0
1 2
1
由①②知， 5 1 2
．
≤ 2 3
5 1 2 2 3
．
解法 2：（1）同解法 1
（2）设M x ，y ， N (x 2，y 2 ) ， MN 的中点为E x ，y ．
( ) ( )
1 1
0 0
①当 x 1 x 2 1时，
M B ，
2 2
1 1 0
1 因为0 1，所以 5 1
2 ； ②当 x x 时，
1 2
1 1
2 x
1
2
x
2
2
y 1 2 2
y
1
1
k MN
1
x 0 y
． y
又 0
k k
MN BE
x 0 1
．所以 2 2
(1 )y x x ；
0 0 0
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由∠得
MON
2
2
MN
x y ，由第二定义得
2 2
0 0 2
2 2
MN e x x a
( ) 2
1 2
2 2
2
1 1
x x x ．
1 (1 ) 2
2
0 0 0
1 1
所以2 2 2
(1 ) y x 2(1 )x (1 ) ．
0 0 0
于是由
2 2
(1 ) y x x ,
0 0 0
2 2 2
(1 ) y x 2(1 )x (1 ) ,
0 0 0
得x
(1 )
2 3
2
.
因为x0 1，所以 2
(1 )
2 3
，又0 1，1
解得：5 1 2
2 3 ．由①②知5 1 2
≤．
2 3
考点7 利用向量办理圆锥曲线中的最值问题
利用向量的数目积结构出等式或函数关系，再利用函数求最值的方法求最值，要比只利用分析几何
知识成立等量关系简单.
例12．设椭圆E 的中心在座标原点O，焦点在x轴上，离心率为3
，过点C( 1,0) 的直线交椭圆E 于3 u uur uuur
，求当AOB 的面积达到最大值时直线和椭圆E 的方程.
A、B 两点，且CA 2BC
解答过程：因为椭圆的离心率为3
3
，故可设椭圆方程为2x 2 3y2 t(t 0) ，直线方程为my x 1，
2 2
2x 3y t
由
得：A(x , y ), B(x ,y )
2 2
(2m 3)y 4my 2 t 0 ，设，
1 1
2 2
my x 1
4m
则⋯⋯⋯⋯①
y y
1 2 2
2m 3
uuur uuur
又CA 2BC ，故
(x 1,y ) 2( 1 x , y ) ，即y1 2y2 ⋯⋯⋯⋯②
1 1
2 2 C
y
A
8m
4m
由①②得：
，
，
y
y
1 2
2 2
2m 3
2m 3
1 m
则
＝6 6
S | y y | 6 | |
AOB 1 2 2
2 2m 3
3
2
2 |m |
| m |
3
当
2
m
6
，即
m
时，AOB面积取最大值，
2 2
2
2 t 32m
此时
，即， t 10 y y
1 2 2 2 2
2m 3 (2m 3) ，
B
o
x
所以，直线方程为x 6 y 1 0
2
，椭圆方程为2x2 3y2 10 .
小结：利用向量的数目积结构等量关系要比利用圆锥曲线的性质结构等量关系简单.
u uur
uuur uuur uuur
例13．已知PA (x 5, y) ，PB (x 5, y) ，且| PA | | PB | 6 ，求|2x 3y 12 | 的最大值和最小值. 解答过程：设P(x, y) ，A( 5,0) ，B( 5,0) ，
uu ur u uur
因为| PA | |PB | 6，且| AB | 2 5 6 ，
所以，动点P 的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为6 的椭圆，
2 2
x y 椭圆方程为
9 4
，令x 3cos , y 2sin ，1
则| 2x 3y 12 |＝| 6 2 cos( ) 12 |
，
4
当cos( ) 1
4
时，| 2x 3y 12|取最大值12 6 2 ，
当cos( ) 1
时，| 2x 3y 12 |取最小值12 6 2 . 4
小结：利用椭圆的参数方程，能够将复杂的代数运算化为简单的三角运算.
考点8 利用向量办理圆锥曲线中的取值范围问题
分析几何中求变量的范围，一般状况下最后都转变成方程能否有解或转变成求函数的值域问题.
2
x
例14．已知椭圆y 的左焦点为F，O为坐标原点.
2 1
2
（I）求过点O、F，而且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；
（II）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B 两点，线段AB 的垂直均分线与x轴交于点G，
求点G 横坐标的取值范围.
观察企图:本小题主要观察直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考
查平面分析几何的基本方法，观察运算能力和综合解题能力.
解答过程：（I）Q a2 2,b2 1, c 1,F ( 1,0), l : x 2.
Q圆过点O、F，
圆心M 在直线1
x 上.
2
y
设M ( 1 ,t ),则圆半径( 1) ( 2) 3.
r
2 2 2
B
x
F G O
l
A
由OM r, 得解得t 2.
1 3
2 2 ( ) t ,
2 2
所求圆的方程为( 1) 2 ( 2) 2 9.
x y
2 4
（II）设直线AB 的方程为y k( x 1)(k 0),
代入
2
x
2
y 整理得
2 1,
2 2 2 2
(1 2k )x 4k x 2k 2 0.
Q 直线AB 过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根.
记A(x , y ), B( x , y ), AB 中点
1 1
2 2 N( x , y ),
0 0
则 2
4k
x x ,
1 2 2
2k 1
AB 的垂直均分线NG 的方程为 1
y y ( x x ).
0 0
k
令y 0,得
点G 横坐标的取值范围为( 1 ,0).
2
2 2
x y
例15．已知双曲线C：，B 是右极点，F 是右焦点，点A 在x 轴正半轴上，且满
1(a 0,b 0) 2 2
a b
uuur u uur u uur 足| OA
|,| OB |,| OF |
成等比数列，过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P，uu ur uuur uuur u ur
（1）求证：PA OP PA FP
；
（2）若l 与双曲线C 的左、右两支分别订交于点D,E，求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围.
u uur
2
u uur uuur uuur uuur
a
2 2
|OB | a
解答过程：（1）因| OA |,| OB |,| OF | A( ,0)
成等比数列，故uuur ，即，
|OA |
c
| OF| c
直线
l ：y a (x c)
，
b
y
a
y (x c)
2
由b ，
a ab
D
P( , )
b c c
P y x
E
a F
uu ur uuur uur
O B
2 2
A
ab a ab b ab
故：PA (0, ),OP ( , ), FP ( , )
c c c c c
，
uu ur uu ur uu ur uur uuur uuur uuur uur
2 2
a b
，即
PA OP PA FP
则：；
PA OP PA FP
2
c
uu ur uuur uur uuur uur uuur u uur uuur uu ur uuur uuur uur
（或PA (OP FP) PA (PF PO) PA OF 0，即PA OP PA FP
）
x
（2）由
a
y (x c) a a a c
4 4 4 2
2 2 2 2
b (b )x 2 cx ( a b ) 0
2 2 2
b b b
2 2 2 2 2 2
b x a y a b
，
4 2
a c
2 2
( a b )
2
b
x x 0
由
1 2 4
a
2
b
2
b
4 4 2 2 2 2 2
b a b
c a a e 2 e 2. 得：
2 2 2 2 2
b c a a e 2 e 2 ）
a b
（或由k k
DF DO
b a
小结：向量的数目积在结构等量关系中的作用举足轻重，而要运用数目积，一定先适合地求出各个点的坐标.
r
例16．已知a (x,0)
r
，b (1,y)
r r r r
，(a 3b) (a 3b) ，
（1）求点P(x, y) 的轨迹C 的方程；
（2）若直线y kx m(m 0) 与曲线C 交于A、B 两点，D(0, 1) ，且|AD | | BD |，试求m 的取值范围.
r r
解答过程：（1）a 3b ＝(x,0) 3(1, y) (x 3, 3y) ，
r r
＝(x,0) 3(1, y) (x 3, 3y) ，
a 3b
r r r r r r r r
因(a 3b) (a 3b) ，故(a 3b) (a 3b) 0
，
即
2 2 (x 3, 3y) (x 3, 3y) x 3y
3 0，
故P点的轨迹方程为
2
x
3
2
y 1
.
（2）由y kx m
得：
2 2
x 3y 3
2 2 2
(1 3k )x 6kmx 3m 3 0 ，
设A(x ,y ), B(x , y ) ，A、B 的中点为M(x 0, y0)
1 1
2 2
则
2 2 2 2 2
(6km) 4(1 3k )( 3m 3) 12(m 1 3k ) 0 ，6km
x x
1 2 2
1 3k ，x
x x 3km
1 2
0 2
2 1 3k
，
m
y kx m
0 0 2
1 3k
，
即A 、B 的中点为
3km m
( , )
2 2
1 3k 1 3k
，
m 1 3km
则线段AB 的垂直均分线为：
y ( )(x )
2 2
1 3k k 1 3k
2
将D(0, 1) 的坐标代入，化简得：4m 3k 1，
，
则由
2 2
m 1 3k 0
得：
2
4m 3k 1
2
m 4m 0，解之得m 0或m 4，
又
2
4m 3k 1 1，所以m
1
4
，
故m 的取值范围是( 1 ,0) (4, )
U . 4
小结：求变量的范围，要注意式子的隐含条件，不然会产生增根现象.
考点9 利用向量办理圆锥曲线中的存在性问题
存在性问题，其一般解法是先假定命题存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标，再根据合理的推理，若能推出题设中的系数，则存在性成立，不然，不可立.
例17．已知A,B,C 是长轴长为4 的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个极点，BC 过椭圆的中心O，且
uuur uuur uuur uuur AC BC 0，|BC | 2 |
AC |
，
（1）求椭圆的方程；
uuur uuur
（2）假如椭圆上的两点P,Q使PCQ 的均分线垂直于OA ，能否总存在实数λ，使得PQ λAB
说明原因；
？请
解答过程：（1）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴成立平面直角坐标系，则A(2,0) ，
2 2
x y
1
，不如设在轴上方， C x
2
4 b y
O
C
设椭圆方程为
A
x 由椭圆的对称性，
Q
B
P
uuur uu ur u uur uuur uu ur |BC | 2| AC | 2 |OC | |AC | |
OC |
，
uuur u uur
又
AC BC 0
AC OC，即ΔOCA 为等腰直角三角形，
由A(2,0) 得：C(1,1)，代入椭圆方程得：b2 4
3
，
2 2
x 3y
即，椭圆方程为1
；
4 4
uuur uuur
（2）假定总存在实数λ，使得PQ λAB
，即AB// PQ ，
由C(1,1)得B( 1, 1) ，则k AB 0 ( 1) 1
2 ( 1) 3
，
若设CP：y k(x 1) 1，则CQ：y k(x 1) 1 ，
由
2 2
x 3y
4 4
1 2 2 2
(1 3k )x 6k(k 1)x 3k 6k 1 0 ，y k(x 1) 1
由C(1,1)得x 1是方程
2 2 2
(1 3k )x 6k(k 1)x 3k 6k 1 0的一个根，
由韦达定理得：
2
3k 6k 1
x x 1
P P 2
1 3k
，以k 代k 得x
2
3k 6k 1
Q 2
1 3k
，
y y k(x x ) 2k 1
P Q P Q
故 k
PQ
x x x x 3
P Q P Q
u uur u uur
即总存在实数λ，使得PQ λAB
.
，故AB// PQ ，
评注：本题观察了坐标系的成立、待定系数法、椭圆的对称性、向量的垂直、向量的共线及研究性问
题的办理方法等，是一道很好的综合题.
考点10 利用向量办理直线与圆锥曲线的关系问题
直线和圆锥曲线的关系问题，一般状况下，是把直线的方程和曲线的方程构成方程组，进一步来判
断方程组的解的状况，但要注意鉴别式的使用和题设中变量的范围.
uuuur u uur
例18．设G、M 分别是ABC 的重心和外心，A(0, a) ，B(0,a)(a 0) ，且GM AB
，
（1）求点 C 的轨迹方程；
uuur uuur
（2）能否存在直线m，使m 过点(a,0) 而且与点C 的轨迹交于P、Q 两点，且OP OQ 0
？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明原因.
高考数学专习题解析几何新题型解题技巧
x y
解答过程：（1）设C(x, y) ，则
，
G( , )
3 3
uuuur u uur
，所以GM// AB ，则M( x ,0)
因为
GM AB
3
，
由M 为ABC 的外心，则| MA | | MC |，即
x x
2 2 2 2
( ) a ( x) y
3 3
，
2 2
x y
整理得：；
1(x 0)
2 2
3a a
（2）假定直线m 存在，设方程为y k(x a) ，y k(x a)
由 2 2
x y
2 2
3a a 1(x 0)
得：
2 2 2 2 2
(1 3k )x 6k ax 3a (k 1) 0 ，
高考数学专习题解析几何新题型解题技巧
设P(x1, y1),Q(x 2 ,y2) ，则
2
6k a
x x
1 2 2
1 3k
，
2 2
3a (k 1)
x x
1 2 2
1 3k
，
2 2 2
y y k (x a)(x a) k [x x a(x x ) a ] ＝
1 2 1 2 1 2 1 2
uuur u uur
由OP OQ 0 得：x x y y 0 ，
1 2 1 2
2 2
2k a
2
1 3k
，
即
2 2 2 2
3a (k 1) 2k a
2 2
1 3k 1 3k
0 ，解之得k 3 ，
又点(a,0) 在椭圆的内部，直线m 过点(a,0) ，
故存在直线m，其方程为y 3(x a) .
小结：（1）解答存在性的研究问题，一般思路是先假定命题存在，再推出合理或不合理的结果，而后做出正确的判断；
（2）直线和圆锥曲线的关系问题，一般最后都转变成直线的方程和圆锥曲线的方程所构成的方程组的求解问题.
专题训练
1
1．假如双曲线经过点(6, 3) ，且它的两条渐近线方程是
，那么双曲线方程是
y x
3
2 2 2 2
x y x y
2．已知椭圆
和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的的渐近线方程为1 1
2 2 2 2
3m 5n 2m 3n
2 2
x y
3．已知F1,F2 为椭圆MF 垂直于x 轴，
的焦点，M 为椭圆上一点，
1(a b 0)
1
2 2
a b
且F1MF 2 60 ，则椭圆的离心率为
2 2 x y
，当m [ 2, 1]时，该曲线的离心率 e 的取值范围是
4．二次曲线
1
4 m
2 2
5．直线m 的方程为y kx 1，双曲线C 的方程为x y 1，若直线m 与双曲线C 的右支订交于不重合的两点，则实数k 的取值范围是
6．已知圆的方程为x2 y2 4 ，若抛物线过点A( 1,0) ，B(1,0) ，且以圆的切线为准线，则抛物线的
焦点的轨迹方程为
2 2
x 上一点，若0
y
1 tan PF1 F
2 ，则
2
7．已知P 是以F1 、F2 为焦点的椭圆1( 0)
PF1 PF
a b
2
2 2
a b
椭圆的离心率为______________ .
8．已知椭圆x2+2y2=12，A 是x 轴正方向上的必定点，若过点A，斜率为1 的直线被椭圆截得的弦长
为4，点 A 的坐标是______________ .
13
3
9．P 是椭圆
2 2
x y
4 3
上的点，
1
F ,F 是椭圆的左右焦点，设
1 2
| PF | | PF | k ，则k 的最大值与最小值之
1 2
差是______________ . 10．给出以下命题：
①圆 2 2
(x 2) (y 1) 1对于点M( 1,2) 对称的圆的方程是
2 2 (x 3) (y 3) 1 ；
②双曲线
2 2
x y
16 9
右支上一点P 到左准线的距离为18，那么该点到右焦点的距离为29
1
2
；
③极点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点( 4, 3) 的抛物线方程只好是y2 9 x
；
4
④P、Q 是椭圆x2 4y2 16上的两个动点，O 为原点，直线OP,OQ 的斜率之积为1
，
则
4
等于定值20 .
把你以为正确的命题的序号填在横线上_________________ .
2 2 |OP| | OQ |
11．已知两点A( 2,0) ，B( 2, 0) ，动点P 在y 轴上的射影为Q，
uu uur uu ur uuur
2 PA PB 2PQ
，
（1）求动点P 的轨迹E 的方程；
（2）设直线m 过点A，斜率为k，当0 k 1时，曲线E 的上支上有且仅有一点 C 到直线m 的距
离为 2 ，试求k 的值及此时点 C 的坐标.
12．如图，F1 ( 3,0) ，F2 (3,0) 是双曲线C 的两焦点，直线x 4
3
是双曲线C 的右准线，A1, A2 是双曲
线 C 的两个极点，点P 是双曲线 C 右支上异于A的一动点，直线A1P、A 2P交双曲线C 的右准线
2
分别于M,N 两点，
y
（1）求双曲线C 的方程；
uuuur uuuur
P
（2）求证：是定值.
FM F N
1 2
M
uuur u uur
13．已知OFQ的面积为S，且OF FQ 1
，成立如图所示坐标系，
y
F1 F2
uuur
（1）若S 1
，| OF | 2 A2
，求直线FQ 的方程；A1 o
x
Q
2 N
uuur
（2）设|OF | c(c 2) ，若以O 为中心，F 为焦点的
，S 3 c
4
uuur o
F
椭圆过点Q，求当| OQ |获得最小值时的椭圆方程.
x
u uur u uur 14．已知点H( 3,0) ，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且知足HP PM 0
，uuur uuuur
3
，
PM MQ
2
（1）当点P 在y 轴上挪动时，求点M 的轨迹C；
（2）过点T( 1,0) 作直线m 与轨迹C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点
y E(x ,0) ，使得
ABE 为等边三角形，求x 0 的值. P
2 2
x 的长、短轴端点分别为A、B，此后椭
y
15．已知椭圆1( 0)
a b
2 2
a b
圆上一点M 向x 轴作垂线，恰巧经过椭圆的左焦点 F ，向量AB与OM
1 H
o
T
A
Q E
M x
是共线向量．
B （1）求椭圆的离心率e；
（2）设Q 是椭圆上随意一点，F1 、F2 分别是左、右焦点，求∠F1QF 的取值范围；
2
16．已知两点M （-1，0），N（1，0）且点P 使MP MN, PM PN, NM NP 成公差小于零的等差数列，（Ⅰ）点P 的轨迹是什么曲线？
（Ⅱ）若点P 坐标为(x0 , y0 ) ，为PM 与PN 的夹角，求tanθ．
【参照答案】
1．提示，设双曲线方程为(1 x y)( 1 x y)
3 3
，将点(6, 3) 代入求出即可.
2．因为双曲线的焦点在x 轴上，故椭圆焦点为 2 2
( 3m 5n ,0) ，双曲线焦点为( 2m 3n ,0) ，由
2 2
3m 5n 2m 3n 得| m | 2 2 | n |，所以，双曲线的渐近线为y 6 | n | 3 x
2 2 2 2
2 |m | 4
.
3．设| MF1 | d ，则| MF2 | 2d ，| F1F2 | 3d，e c 2c |FF | 3d 3
1 2
a 2a |MF | | MF | d 2d 3
1 2
.
4.曲线为双曲线，且5 1
2 ，应选C；或用 2
a 4，
2
b m 来计算.
5．将双方程构成方程组，利用鉴别式及根与系数的关系成立不等式组. 6．数形联合，利用梯形中位线和椭圆的定义.
7．解：设c 为为椭圆半焦距，∵PF1 PF 0 ，∴PF1 PF2 .
2
又
1 tan PF 1F
2 ∴
2
PF
1
PF
1
2
PF
2
PF
2 2 2a
(2c)
2
PF 2
1 PF
1
2
解得：
c 2 5 c 5
9 , 3
( ) e
a a
．
8． 解：设A （x 0，0）（ x 0＞ 0），则直线l 的方程为y=x-x 0，设直线l 与椭圆订交于 P （x 1，y 1），Q （x 2、
y 2），由 y=x-x 0 可得 3x
2
-4x 0x+2x 02-12=0，
x 2+2y 2=12
2
4x 0 2x 12
x ， x ，则
x x
1 2 1 2
3 3
2 2
16x 8x 48 2
x ．
2
0 0
2
| 1 x | ( x x ) 4x x 36 2x
2 1 2 1 2 0
9 3 3
4 14 2
4 14
x 2 x x ，即
∴ 1 | |
2
1 2
3 3 3
∴x 02=4，又 x 0＞0，∴ x 0=2，∴ A （ 2，0）． 36
2 x 2 ．
9．1； 2 2 2
k |PF | | PF | (a ex)(a ex) a e x .
1 2
10．②④ .
uuur
11．解（ 1）设动点 P 的坐标为(x, y) ，则点 Q(0, y) ， PQ ( x,0)
u uur uuur u uur
2 2
PB ( 2 x, y) PA PB x 2 y
， ，
uuuur
u uur uuur
2 2 2 2
因为PA PB 2PQ x 2 y 2x ，
，所以
uuur
， PA ( 2 x, y)
，
即动点 P 的轨迹方程为： 2 2 y x 2 ；
（2）设直线m ： y k(x 2)(0 k 1) ，
依题意，点 C 在与直线m 平行，且与 m 之间的距离为2 的直线上，
设此直线为m : y kx b，由
1 | 2k b |
2
k 1
2 ，即
2
b 2 2kb 2，⋯⋯①
把y kx b 代入 2 2
y x 2 ，整理得：
2 2 2
(k 1)x 2kbx (b 2) 0 ，
则 2 2 2 2
4k b 4(k 1)(b 2) 0，即
2 2
b 2k 2 ，⋯⋯⋯⋯②
由①②得：k 2 5
5 ，b 10
5
，
此时，由方程组2 5 10
y x
5 5
2 2
y x 2
C(2 2, 10) .
12．解：（1）依题意得：c 3，
2
a 4
c 3
，所以
a 2，
2
b 5，
2 2
x y
所求双曲线C 的方程为
4 5 1
；
（2）设P(x , y ) ，M(x 1,y1) ，N(x 2, y2 ) ，则A1( 2,0) ，A2 (2,0) ，
0 0
uu uur
u uuur u uuur
uuuu r
10 2
A P (x 2,y )
，，，，
A P (x 2,y ) A M ( ,y ) A N ( , y ) 1 0 0 2 0 0
2 2 1 1
3 3
uuuur uuuu r
10 10y 2y
0 0
A P A M y ，同理：
因为
与共线，故(x 2)y y y
，
，
1 1 0 1 0 1 2
3 3(x 2) 3(x 2)
0 0
uuuur uuuur
13 5
则FM ( , y ) F N ( , y )
，，
1 1
2 2
3 3
2
5(x 4)
uuuur uu uur
65 20
2
65 20y
65 4 所以FM F N
y y
＝
＝
＝.
1 2 1 2
10
9
2 2
9 9(x 4) 9 9(x 4)
0 0
uuur uuur uuur
13．解：（1）因为|OF | 2 ，则F(2,0) ，OF (2,0)
，设
Q(x ,y ) ，则FQ (x 0 2, y0 )，
0 0
uuur uuur
，
5
OF FQ 2(x 2) 1 x
，解得
，
0 0
2
uuur
1 1 1 5 1
由Q( , )
S | OF | |y | | y | ，得y
，故，
0 0 0
2 2 2 2 2
所以，PQ 所在直线方程为y x 2 或y x 2 ；
uu ur
uuur
（2）设Q(x ,y ) ，因为| OF | c(c 2) FQ (x c,y )
，则
0 0 0 0
u uur uuur
1
由
OF FQ c(x c) 1得：x c
，
0 0
c
1 3 3
又S c |y | c y
，则0
，
2 4 2
uuur
1 3
2 1 2 9
Q(c , ) | OQ | (c )
，
，
c 2 c 4
uuur
5 3
易知，当c 2时，|OQ |
最小，此时Q( , )
2 2
，
2 2
x y 设椭圆方程为
2 2
a b
1,(a b 0)
2 2
a b 4
，则
25 9
2 2
4a 4b
，解得
1
2
a 10
2
b 6
，
2 2
x y
所以，椭圆方程为1
.
10 6
uu ur uuuur
3 y 14．解：（1）设M(x, y) ，由PM MQ P(0, )
得：
2 2
uuur uuur
y 3y
2 由HP PM 0 y 4x ，
得：
(3, )(x, ) 0 ，即
2 2
由点Q 在x轴的正半轴上，故x 0，，
x
Q( ,0)
3
，
即动点M 的轨迹C 是以(0,0)为极点，以(1,0)为焦点的抛物线，除掉原点；
（2）设m : y k(x 1)(k 0) ，代入 2 y 4x 得：
2 2 2 2
k x 2(k 2)x k 0 ⋯⋯⋯⋯①
设A(x , y ) ，B(x 2 ,y2 ) ，则x1, x2 是方程①的两个实根，
1 1
2 2
2(k 2) 2 k 2
则x x ，x1x2 1，所以线段AB 的中点为( , )
1 2 2 2
k k k
2
2 1 2 k
线段AB 的垂直均分线方程为
，
y (x )
2
k k k
，
令y 0， 2
，得
x 1
0 2
k
2
E( 1,0)
2
k
，
因为ABE 为正三角形，则点E 到直线AB 的距离等于
3
2
|AB |
，
又| AB| (x x )2 (y y )2 ＝
1 2 1 2
2
4 1 k
2
k
2
1 k ，
所以，
4
2 3 1 k 2
2
k |k |
2
1 k
，解
得：
k
3
2
x
，0
11
3
.
15．解：（1）∵
2
b
F c x c y 1 ( , 0), 则, ，∴
1 ( , 0), 则, ，∴
M M
a
k
OM
2
b
ac
.
b
AB , 与是共线向量，∴∵k OM AB
a
FQ r , F Q r , F QF , （2）设 1 1 2 2 1 2
r r 2a, F F 2c,
1 2 1 2
2
b
ac
b
a
，∴b=c,故 2
e .
2
当且仅当r1 r2 时，cosθ=0，∴θ[0, ] .
2 16．解：（Ⅰ）记P（x,y），由M （-1，0）N（1，0）得uuuur u uur
PM MP ( 1 x, y), PN NP ( 1 x, y) ，MN NM ( 2,0) .
2 y 2
所以MP MN 2(1 x) . PM 1 ，NM NP 2(1 x) .
PN x
于是，MP MN ,PM PN, NM NP 是公差小于零的等差数列等价于
2 x 2(1 2
y x) 1
2(1
1
2
[ 2(1
x) 0
x)
2(1
x)]
即
2 2
3
x y
.
x 0
所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3 为半径的右半圆.
2 2
（Ⅱ）点P 的坐标为(x0 , y0 ) 。

1 2
PM PN x0 y .
uuuur u uur
2 2 2
2 2
PM PN (1 x ) y (1 x ) y (4 2x ) (4 2x ) 2 4 x
0 0 0 0 0 0 0
uuuur uuur
所以因为0 〈x0 3 ，所以
PM PN 1
cos uu uur u uur .
2
PM PN 4 x
1
2
cos 1,0 ,
3
sin 1 2
cos 1 4
1
1
1 2
sin 4 x
, 2
x 3 x y .
tan 0
2
cos
0 1
4 2 0
x。