上海市闸北区2021届新高考适应性测试卷数学试题(3)含解析

上海市闸北区2021届新高考适应性测试卷数学试题（3）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在棱长为2的正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1的中点，若三棱锥P−ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）
A ．12π
B ．21π2
C ．41π4
D ．10π 【答案】C
【解析】
【分析】
取B 1C 1的中点Q ，连接PQ ，BQ ，CQ ，PD ，则三棱柱BCQ−ADP 为直三棱柱，此直三棱柱和三棱锥P−ABC
有相同的外接球，求出等腰三角形QBC 的外接圆半径，然后利用勾股定理可求出外接球的半径
【详解】
如图，取B 1C 1的中点Q ，连接PQ ，BQ ，CQ ，PD ，则三棱柱BCQ−ADP 为直三棱柱，所以该直三棱柱的六个顶点都在球O 的球面上，QBC ∆的外接圆直径为52sin 2
QB r QCB =
=∠，球O 的半径R 满足22241()216AB R r =+=，所以球O 的表面积S=4πR 2=41π4， 故选：C.
【点睛】
此题考查三棱锥的外接球半径与棱长的关系，及球的表面积公式，解题时要注意审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题.
2．已知集合{}3|20,|
0x P x x Q x x -⎧⎫=-≤=≤⎨⎬⎩⎭，则()R P Q I ð为（ ） A ．[0，2)
B ．(2，3]
C ．[2，3]
D ．(0，2]
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出{}{}|2,|03P x x Q x x =≤=<≤，得到{|2}R P x x =>ð，再结合集合交集的运算，即可求解.
由题意，集合{}3|20,|0x P x x Q x x -⎧
⎫=-≤=≤⎨⎬⎩⎭
， 所以{}{}|2,|03P x x Q x x =≤=<≤，则{|2}R P x x =>ð，
所以(){|23}(2,3]R P Q x x =<≤=I ð.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的交集、补集的定义及运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
3．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I
A ．{}3
B ．{}5
C ．{}3,5
D ．{}1,2,3,4,5,7
【答案】C
【解析】
分析：根据集合{}{}1,3,5,7,2,3,4,5A B ==可直接求解{3,5}A B =I .
详解：{}{}1,3,5,7,2,3,4,5A B ==Q , {}3,5A B ∴⋂=,
故选C
点睛：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn 图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.
4．执行如图所示的程序框图，则输出的S =（ ）
A ．2
B ．3
C ．23
D ．12
- 【答案】B
【解析】
运行程序，依次进行循环,结合判断框，可得输出值.
【详解】
起始阶段有1i =，3S =， 第一次循环后1
1
132S ==--，2i =， 第二次循环后12
1312
S ==+，3i =， 第三次循环后1
3
213
S ==-，4i =， 第四次循环后1
1
132S ==--，5i =，
所有后面的循环具有周期性，周期为3，
当2019i =时，再次循环输出的3S =,2020i =，此时20202019>，循环结束，输出3S =， 故选：B
【点睛】
本题主要考查程序框图的相关知识，经过几次循环找出规律是关键，属于基础题型.
5．设点(,0)A t ，P 为曲线x y e =上动点，若点A ，P
，则实数t 的值为（ ）
A
B ．52
C ．ln 2
22+ D ．ln 3
22+
【答案】C
【解析】
【分析】
设(,)x P x e ，求2AP ，作为x 的函数，其最小值是6，利用导数知识求2AP 的最小值．
【详解】
设(,)x P x e ，则222()x AP x t e =-+，记22()()x g x e x t =+-，
2()22()x g x e x t '=+-，易知2()22()x g x e x t '=+-是增函数，且()g x '的值域是R ，
∴()0g x '=的唯一解0x ，且0x x <时，()0g x '<，0x x >时，()0g x '>，即min 0()()g x g x =， 由题意022
00()()6x g x e x t =+-=，而0200()22()0x g x e x t '=+-=，020x x t e -=-，
∴00246x x e e +=，解得022x e =，0ln 2
2x =． ∴020ln 2
22x t e x =+=+．
本题考查导数的应用，考查用导数求最值．解题时对0x 和t 的关系的处理是解题关键．
6．在ABC ∆中，30C =︒，2cos 3A =-，152AC =-，则AC 边上的高为（ ） A
．5 B ．2 C ．5 D ．152
【答案】C
【解析】
【分析】
结合正弦定理、三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，求得BC 边长，由此求得AC 边上的高.
【详解】
过B 作BD CA ⊥，交CA 的延长线于D .由于2cos 3A =-，所以A 为钝角，且25sin 1cos 3
A A =-=，所以()()sin sin sin CBA CBA A C π∠=-∠=+5321152sin cos cos sin 32326
A C A C -=+=⨯-⨯=.在三角形ABC 中，由正弦定理得sin sin a b A
B =，即1525152-=-，所以25B
C =.在Rt BC
D ∆中有1sin 2552
BD BC C ==⨯
=，即AC 边上的高为5. 故选：C
【点睛】
本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，属于中档题.
7．已知点(25,310A 在双曲线()22
21010x y b b -=>上，则该双曲线的离心率为（ ） A 10B 10C 10 D ．210
【答案】C
将点A 坐标代入双曲线方程即可求出双曲线的实轴长和虚轴长，进而求得离心率.
【详解】 将25x =,310y =代入方程()2
2
21010x y b b -=>得310b =，而双曲线的半实轴10a =，所以
2210c a b =+=，得离心率10c
e a ==,故选C.
【点睛】
此题考查双曲线的标准方程和离心率的概念，属于基础题.
8．已知等边△ABC 内接于圆τ：x 2+ y 2=1，且P 是圆τ上一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r 的最大值是（ ）
A ．2
B ．1
C ．3
D ．2
【答案】D
【解析】
【分析】
如图所示建立直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，则(1)cos PA PB PC θ⋅+=-u u u r u u u r u u u r ，计算得到答案.
【详解】
如图所示建立直角坐标系，则()1,0A ，1
3,22⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭B ，13,22
C ⎛⎫
--
⎪ ⎪⎝⎭，设()cos ,sin P
θθ，
则(1cos ,sin )(12cos ,2si (n ))PA PB PC θθθθ=--⋅--⋅+-u u u r u u u r u u u r
222(1cos )(12cos )2sin 2cos cos 12sin 1cos 2θθθθθθθ=---+=--+=-≤.
当θπ=-，即()1,0P -时等号成立.
故选：D .
本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.
9．已知x ，y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
，则2z x y =+的最大值为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论．
【详解】
作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，
2z x y =+等价于2y x z =-+，作直线2y x =-，向上平移，
易知当直线经过点()2,0时z 最大，所以max 2204z =⨯+=，故选D ．
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
10．函数()3
sin 3x f x x π
=+的图象的大致形状是（ ） A ． B ． C ．
D ．
【分析】
根据函数奇偶性，可排除D ；求得()f x '及()f x ''，由导函数符号可判断()f x 在R 上单调递增，即可排除AC 选项.
【详解】
函数()3
sin 3x f x x π=+ 易知()f x 为奇函数，故排除D. 又()2cos x f x x π
'=+，易知当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '>； 又当,2x π⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()2sin 1sin 0x f x x x π''=->-≥， 故()f x '在,2π⎛⎫+∞
⎪⎝⎭上单调递增，所以()24f x f ππ⎛⎫''>= ⎪⎝⎭， 综上，[)0,x ∈+∞时，()0f x '>，即()f x 单调递增.
又()f x 为奇函数，所以()f x 在R 上单调递增，故排除A ，C.
故选：B
【点睛】
本题考查了根据函数解析式判断函数图象，导函数性质与函数图象关系，属于中档题.
11．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
试题分析：通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知，只有选项C是符合要求的.
考点：三视图
12．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，
以A、B、C、D、E为顶点的多边形为正五边形，且
51
2
PT AP
-
=，则
51
2
AT ES
-
-=
u u u r u u u r
（）
A 51
+u u r
B．
51
RQ
+u u r
C
51
RD
-u u u r
D
51
-u u r
【答案】A
【解析】
【分析】
利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题．【详解】
解：
5151
AT SD SR RD
-+ -=-==
u u u r u u r u u u r u u r u u u r u u r
.
故选：A
【点睛】
本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如图所示的流程图中，输出n的值为______.
【答案】4
【解析】
【分析】
根据流程图依次运行直到1S ≤-，结束循环，输出n ，得出结果.
【详解】 由题：211,1,1log 0,211
S n S n ===+==+， 2
2220log log ,3213
S n =+==+， 222232log log log 1,43314S n =+==-=+，1S ≤-结束循环， 输出4n =.
故答案为：4
【点睛】
此题考查根据程序框图运行结果求输出值，关键在于准确识别循环结构和判断框语句.
14．若直线20kx y k --+=与直线230x ky k +--=交于点P ，则OP 长度的最大值为____． 【答案】221
【解析】
【分析】
根据题意可知,直线20kx y k --+=与直线230x ky k +--=分别过定点,A B ,且这两条直线互相垂直,由此可知,其交点P 在以AB 为直径的圆上,结合图形求出线段OP 的最大值即可.
由题可知,直线20kx y k --+=可化为()120k x y -+-=,
所以其过定点()1,2A ,
直线230x ky k +--=可化为()320x k y -+-=,
所以其过定点()3,2B ,且满足()110k k ⋅+-⋅=,
所以直线20kx y k --+=与直线230x ky k +--=互相垂直,
其交点P 在以AB 为直径的圆上,作图如下:
结合图形可知,线段OP 的最大值为1OC +,
因为C 为线段AB 的中点,
所以由中点坐标公式可得()2,2C ,
所以线段OP 的最大值为221.
故答案为:221
【点睛】
本题考查过交点的直线系方程、动点的轨迹问题及点与圆的位置关系;考查数形结合思想和运算求解能力;根据圆的定义得到交点P 在以AB 为直径的圆上是求解本题的关键;属于中档题.
15．在一底面半径和高都是2m 的圆柱形容器中盛满小麦，有一粒带麦锈病的种子混入了其中．现从中随机取出的32m 种子，则取出了带麦锈病种子的概率是_____． 【答案】
14π 【解析】
【分析】
求解32m 占圆柱形容器的的总容积的比例求解即可.
【详解】
解：由题意可得：取出了带麦锈病种子的概率2
21
224ππ
==⨯⨯． 故答案为：14π
． 【点睛】
本题主要考查了体积类的几何概型问题,属于基础题.
16．()6
2122x x x ⎛⎫+- ⎪⎝
⎭的展开式中所有项的系数和为______，常数项为______. 【答案】3 -260 【解析】 【分析】
(1)令1x =求得所有项的系数和； (2)先求出6
12x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭展开式中的常数项与含21x 的系数，再求
()6
2
122x x x ⎛⎫+- ⎪⎝
⎭展开式中的常数项.
【详解】
将1x =代入()6
2
122x x x ⎛⎫+- ⎪⎝
⎭，得所有项的系数和为3.
因为的展开式中含21x 的项为()424
621602C x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，6
12x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中含常数项()33
3
6
12160C x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以()6
2122x x x ⎛
⎫+- ⎪⎝
⎭的展开式中的常数项为60320260-=-.
故答案为：3； -260 【点睛】
本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特殊项问题，属于基础题. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．设函数()f x x a x b =++-，
（1）当1a =，2b =，求不等式()6f x ≥的解集； （2）已知0a >，0b >，()f x 的最小值为1，求证：149
21214
a b +≥++. 【答案】（1）5
|2
x x ⎧≤-⎨⎩
或72x ⎫
≥⎬⎭
；（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）将()f x 化简，分类讨论即可；
（2）由（1）得1a b +=，14
114[(21)(21)]2121
42121a b a b a b ⎛⎫
+=++++ ⎪++++⎝⎭
，展开后再利用基
本不等式即可. 【详解】
（1）当1a =时，21,1()213,1221,2x x f x x x x x x -+≤-⎧⎪
=-++=-<<⎨⎪-≥⎩
，
所以1()6216x f x x ≤-⎧≥⇔⎨-+≥⎩或1236x -<<⎧⎨≥⎩
或2
216x x ≥⎧⎨
-≥⎩ 解得52x ≤-
或72
x ≥， 因此不等式()6f x ≥的解集的5{|2x x ≤-
或7
}2
x ≥ （2）()|||||()()|1f x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+= 根据()()21214a b +++=
14
114[(21)(21)]212142121a b a b a b ⎛⎫
+=++++ ⎪++++⎝⎭
1214(21)542121b a a b ++⎛⎫=
++ ⎪++⎝⎭
19
(544
≥+=，当且仅当15,66a b ==时，等式成立.
【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法、利用基本不等式证明不等式问题，考查学生基本的计算能力，是一道基础题.
18．某精密仪器生产车间每天生产n 个零件，质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查．根据多年的生产数据和经验，这些零件的长
度服从正态分布2
(10,0.1)N （单位：微米m μ），且相互独立．若零件的长度d 满足9.710.3m d m μμ<<，
则认为该零件是合格的，否则该零件不合格．
（1）假设某一天小张抽查出不合格的零件数为X ，求(2)P X ≥及X 的数学期望EX ；
（2）小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件，若以此频率作为当天生产零件的不合格率．已知检查一个零件的成本为10元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元．假设n 充分大，为了使损失尽量小，小张是否需要检查其余所有零件，试说明理由．
附：若随机变量ξ服从正态分布2
(,)N μσ，则
5049(33)0.9987,0.99870.9370,0.99870.00130.0012P μσξμσ-<<+==⨯=．
【答案】（1）见解析（2）需要，见解析 【解析】 【分析】
（1）由零件的长度服从正态分布2
(10,0.1)N 且相互独立,零件的长度d 满足9.710.3m d m μμ<<即为合
格,则每一个零件的长度合格的概率为0.9987,X 满足二项分布,利用补集的思想求得()2P X ≥,再根据公式求得EX ；
（2）由题可得不合格率为2
50
,检查的成本为10n ,求出不检查时损失的期望,与成本作差,再与0比较大小即可判断. 【详解】
（1）14950
50(2)1(1)(0)10.99870.00130.99870.003P X P X P X C =-=-==-⋅⋅-=≥,
由于X 满足二项分布,故0.0013500.065EX =⨯=. （2）由题意可知不合格率为
250
, 若不检查,损失的期望为252
()2602020505E Y n n =⨯⨯
-=-； 若检查,成本为10n ,由于522
()1020102055
E Y n n n n -=--=-, 当n 充分大时,2
()102005
E Y n n -=->,
所以为了使损失尽量小,小张需要检查其余所有零件. 【点睛】
本题考查正态分布的应用,考查二项分布的期望,考查补集思想的应用,考查分析能力与数据处理能力. 19．已知1()252
f x x x =+--
. （1）求不等式()1f x …
的解集； （2）记()f x 的最小值为m ，且正实数,a b 满足
44
a b a mb b ma
+=+--.证明：2a b +…
. 【答案】（1）13|2x x ⎧
-⎨⎩
…或76x ⎫-⎬⎭…；
（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）根据1
()252
f x x x =+--，利用零点分段法解不等式，或作出函数()f x 的图像，利用函数的图像解不等式；
（2）由（1）作出的函数图像求出()f x 的最小值为3-，可知3m =-，代入
44
a b a mb b ma
+=+--中，
然后给等式两边同乘以+a b ，再将44a b +
写成(3)(3)a b a b +++后，化简变形，再用均值不等式可证明. 【详解】
（1）解法一：1°5
2x -
…时，()1f x …
，即1112x --…，解得132
x -…； 2°
5122x -<<时，()1f x …，即9312x +…，解得71
62x -<…； 3°12x …时，()1f x …
，即1112x +…，解得1
2
x …. 综上可得，不等式()1f x …
的解集为13|2x x ⎧
-⎨⎩…或76x ⎫-⎬⎭
…. 解法二：由115,,221951
()253,,2222
11
1,,22x x f x x x x x x x ⎧---⎪⎪⎪=+--=+-<<⎨⎪⎪+⎪⎩
……作出()f x 图象如下：
由图象可得不等式()1f x …
的解集为13|2x x ⎧-⎨⎩…或76x ⎫-⎬⎭
…. （2）由115,,221951
()253,,2222
11
1,,22x x f x x x x x x x ⎧
---⎪⎪⎪=+--=+-<<⎨⎪⎪+⎪⎩
……
所以()f x 在5,2
⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦
上单调递减，在)
5
,2⎡-+∞⎢⎣上单调递增，
所以min 5()32f x m f ⎛⎫
==-
=- ⎪⎝⎭
，
正实数,a b 满足
4433a b a b b a +=+++，则2
44()()33a b a b a b b a ⎛⎫++=+ ⎪++⎝⎭
，
即113333[(3)(3)]2224333333a b b a a b b a a b b a a b b a b a a b b a a b ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+++=
⎪ ⎪⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
…，
（当且仅当
3333a b b a
b a a b
++=++即a b =时取等号）
故2a b +≥，得证. 【点睛】
此题考查了绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质和均值不等式的运用，考查了分类讨论思想和转化思想，属于中档题.
20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：()2
2
31x y -+=，椭圆E ：22
221x y a b
+=（0a b >>）
的右顶点A 在圆C 上，右准线与圆C 相切.
（1）求椭圆E 的方程；
（2）设过点A 的直线l 与圆C 相交于另一点M ，与椭圆E 相交于另一点N.当12
7
AN AM =时，求直线l 的方程.
【答案】（1）22
143
x y +=（2）20x y --=或20x y +-=.
【解析】 【分析】
（1）圆C 的方程已知，根据条件列出方程组，解方程即得；（2）设(),N N N x y ，(),M M M x y ，显然直线l 的斜率存在，方法一：设直线l 的方程为：()2y k x =-，将直线方程和椭圆方程联立，消去y ，可
得N x ，同理直线方程和圆方程联立，可得M x ，再由12
7
AN AM =可解得k ，即得；方法二：设直线l 的方程为：2(0)x ty t =+≠，与椭圆方程联立，可得N y ，将其与圆方程联立，可得M y ，由127
AN AM =可解得k ，即得. 【详解】
（1）记椭圆E 的焦距为2c （0c >）.Q 右顶点(),0A a 在圆C 上，右准线2
a
x c
=与圆C ：()2231
x y -+=相切.()222301,31,
a a c ⎧-+=⎪∴⎨-=⎪⎩
解得21a c =⎧⎨=⎩，
2
2
2
3b a c ∴=-=，椭圆方程为：22
143
x y +
=. （2）法1：设(),N N N x y ，(),M M M x y ，
显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：()2y k x =-.
直线方程和椭圆方程联立，由方程组()222,143y k x x y ⎧=-⎪
⎨+
=⎪⎩
消去y 得，整理得
()
2
222431616120k
x k x k +-+-=.
由221612243N k x k -⋅=+，解得22
8643
N k x k -=+. 直线方程和圆方程联立，由方程组()()22
2,31,
y k x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩消去y 得，()()2222
146480k x k x k +-+++= 由224821M k x k +⋅=+，解得22
24
1M k x k +=+. 又127AN AM =
，则有()12
227N M x x -=-. 即22
12122
4371k k =⋅++，解得1k =±，
故直线l 的方程为20x y --=或20x y +-=.
分法2：设(),N N N x y ，(),M M M x y ，当直线l 与x 轴重合时，不符题意.
设直线l 的方程为：2(0)x ty t =+≠.由方程组22
214
3x ty x y =+⎧⎪
⎨+=⎪
⎩ 消去x 得，(
)
2
2
34120t x ty ++=，解得2
1234
N t y t -=
+. 由方程组()22
231x ty x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩消去x 得，()22
120t x ty +-=， 解得2
21M t
y t =+. 又127AN AM =，则有127
N M y y =-.
即
2
2121223471
t t
t t -=-⋅++，解得1t =±， 故直线l 的方程为20x y --=或20x y +-=. 【点睛】
本题考查求椭圆的标准方程，以及直线和椭圆的位置关系，考查学生的分析和运算能力.
21．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，角A 、B 、C
的度数成等差数列，b =. （1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值. 【答案】 (1)4c =；
(2) 【解析】 【分析】 【详解】
(1) 由角,,A B C 的度数成等差数列，得2B A C =+. 又,3
A B C B π
π++=∴=
.
由正弦定理，得34c a =,即34
c
a =
. 由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-,即2
2331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭
，解得4c =. (2)
由正弦定理，得,.
sin sin sin a c b a A c C A C B ====∴==
)(
)sin sin sin sin sin sin 3a c A C A A B A A π⎤⎛
⎫⎤∴+=
+=++=++ ⎪⎥⎦⎝
⎭⎦
3sin sin cos 226A A A π⎫⎛
⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭
. 由203A π<<，得5666
A πππ
<+<
. 所以当6
2
A π
π
+
=
，即3
A π
=
时，(
)max a c +=.
【方法点睛】
解三角形问题基本思想方法：从条件出发，利用正弦定理(或余弦定理)进行代换、转化．逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系，即考虑如下两条途径：①统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换；②统一成边进行判断，常用余弦定理、面积公式等． 22．已知函数()ln f x x ax a =-+，其中0a >．
（1）讨论函数()f x 的零点个数； （2）求证：sin ln 1x e x x x +>+．
【答案】（1）1a =时，()f x 有一个零点；当0a >且1a ≠时，()f x 有两个零点；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）利用()f x 的导函数，求得()f x 的最大值的表达式，对a 进行分类讨论，由此判断出()f x 的零点的个数.
（2）由ln 1x x ≤-，得到2ln 11x x x x +≤-+和1x x e -≤，构造函数2
()sin 1x
h x e x x x =+-+-，利用导数证得()0h x >，即有2sin 1x e x x x +>-+，从而证得2sin 1ln 1x e x x x x x +>-+>+，即
sin ln 1x e x x x +>+.
【详解】 （1）1()(0,0)ax
f x a x x
'
-=
>>Q ， ∴当1(0,)x a ∈时，()0f x >，当1
(,)x a ∈+∞时，()0,()f x f x '<∴在1(0,)a 上递增，在1(,)a
+∞上递
减，1
()()ln 1f x f a a a
∴≤=-+-.
令()ln 1(ln 1),()g x x x x x g x =-+-=--+∴在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，()(1)0,ln 10g x g a a ≥=∴-+-≥，当且仅当1a =时取等号．
①1a =时，()f x 有一个零点； ②1a >时，
111
11(0,1),()ln (0,1),ln 10,(1)0,()0a a a f a a f a a f f a a a
a e e ⎛⎫
∈=-+-∈=-+->==-< ⎪⎝⎭
，此时()f x 有两个零点； ③01a <<时，
21111
1,()ln 10,(1)0,()2ln f a a f f a a a a a a
>=-+->==--+，令22
1(1)()2ln (1),()0,()x x x x x x x x x
ϕϕϕ'
-=--+>∴=>∴在(0,1)上递增，211
()(1)0,(
)2ln 0x f a a a a
ϕϕ<=∴=--+<，此时()f x 有两个零点； 综上:1a =时，()f x 有一个零点;当0a >且1a ≠时，()f x 有两个零点; （2）由（1）可知：21ln 1,ln 11,x x x x x x x x e -≤
-∴+≤-+≤，
令2()sin 1,()cos 2121cos 0,x
x h x e
x x x h x e x x ex x x '=+-+-=+-+≥-++>()h x ∴在()0,∞+上
递增，2
()(0)0,sin 1ln 1x
h x h e x x x x x >=∴+>-+>+． 【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 23．记函数1
()212
f x x x =++-的最小值为m . （1）求m 的值；
（2）若正数a ，b ，c 满足abc m =，证明：9
ab bc ca a b c
++≥++.
【答案】（1）1m =（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）将函数()f x 转化为分段函数或利用绝对值三角不等式进行求解； （2）利用基本不等式或柯西不等式证明即可. 【详解】
解法一：（1）113,22311(),222113,22x x f x x x x x ⎧-+≤-⎪⎪
⎪
=-+-<≤⎨⎪
⎪->⎪⎩
当12x ≤-时，1()22f x f ⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭
，
当1122x -
<≤，1()12f x f ⎛⎫
≥= ⎪⎝⎭
， 当12x >
时，1()12f x f ⎛⎫
>= ⎪⎝⎭
， 所以min ()1m f x ==
解法二：（1）113,22311(),222113,22x x f x x x x x ⎧
-+≤-⎪⎪
⎪
=-+-<≤⎨⎪
⎪->⎪⎩
如图
当1
2
x =
时，min ()1m f x == 解法三：（1）111()222f x x x x =+
+-+-111
222
x x x ⎛⎫⎛⎫≥+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1
112
x =+-
≥ 当且仅当1102210
2x x x ⎧⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭
⎨⎪-=⎪⎩
即12x =时，等号成立.
当1
2
x =
时min ()1m f x == 解法一：（2）由题意可知，111
ab bc ca c a b
++=
++， 因为0a >，0b >，0c >，所以要证明不等式9
ab bc ca a b c
++≥
++，
只需证明111()9a b c c a b ⎛⎫
++++≥
⎪⎝
⎭， 因为331111()339a b c abc c a b abc ⎛⎫
++++≥=
⎪⎝⎭
成立，
所以原不等式成立.
解法二：（2）因为0a >，0b >，0c >，所以322230ab bc ca a b c ++≥>，
330a b c abc ++≥>，
又因为1abc =，
所以32223()()339a b c ab bc ac abc a b c ++++≥=，
()()9ab bc ac a b c ++++≥
所以9
ab bc ca a b c
++≥
++，原不等式得证.
补充：解法三：（2）由题意可知，111ab bc ca c a b
++=++， 因为0a >，0b >，0c >，所以要证明不等式9ab bc ca a b c ++≥
++， 只需证明111()9a b c a b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭
，
由柯西不等式得：2111()9a b c
a b c ⎛⎫++++≥= ⎪⎝⎭成立， 所以原不等式成立.
【点睛】
本题主要考查了绝对值函数的最值求解，不等式的证明，绝对值三角不等式，基本不等式及柯西不等式的应用，考查了学生的逻辑推理和运算求解能力.。