3.2立体几何中的向量方法第2课时精品教案

立体几何中的向量方法
【课题】： 空间角与距离的计算举例
【教课目的】 ：
【教课目的】：
（ 1）知识与技术： 能用向量方法进行有关距离的计算；能用向量方法解决线线、线面与面面的夹角的计
算问题 .
（ 2）过程与方法： 在解决问题中，经过数形联合的思想方法，加深对有关知识的理解。

（ 3）感情态度与价值观： 领会把立方体几何几何转变为向量问题优势，培育研究精神。

【教课要点】：将空间角与距离的计算转变为向量的夹角与模来计算 . 【教课难点】：将空间角与距离的计算转变为向量的夹角与模来计算 .
【课前准备】： Powerpoint 课件 【教课过程设计】 ：
教课环节
教课活动
设计企图 一、复习引 1． 两个向量的数目积怎样运算？ 为研究新知识做准 入
2． 向量的模与向量的数目积是什么关系？ 备 .
3． 向量的加法法例。

二、研究与 一、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
让学生经过回首寻
练习
学生回首用平面向量解决平面几何问题的“三步曲” ，与老师共同得
找将立体几何问题 出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
：
转变为向量问题的 （ 1）成立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中波及的 步骤。

点、直线、平面，把立体几何问题转变为向量问题；
（化为向量问题）
（ 2）经过向量运算，研究点、直线、平面之间的地点关系以及它们之
间距离和夹角等问题； （进行向量运算）
（ 3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。

（回到图形问题）
二、例题
例 1：如图 1：一个结晶体的形状为四棱柱，此中，以极点 A 为端点
的三条棱长都相等，且它们相互的夹角都是 60°，那么以这个极点为端
点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？
例 1 的图形比较规 解： 如图 1，设
范，简单掌握，可 AB AA 1 AD
1， BADBAA 1
DAA 1 60
以让学生很好地体
会向量解题的优
化为向量问题
势。

依照向量的加法法例， AC 1
AB AD
AA 1
进行向量运算
AC 1
2
AD AA 1) 2
( AB
cos60
cos60 )
1 1
1 2(cos 60
2
2
2
AB
6
AD
AA 1 2( AB AD AB AA 1 AD AA 1)
|AC 1 | 6
2ab cos
a 2
b 2
c 2
d 2 .
D1
C1 A1B1
D
C
A
B
图1
提示学生不可以缺
乏
回到图形问题这一步。

这个晶体的对角线AC1的长是棱长的 6 倍。

思虑：转变为向量。

（1）此题中四棱柱的对角线 BD1 的长与棱长有什么关系？
剖析:
BD1 BA BC BB1
此中ABC ABB1 120 ， B1BC 60
（ 2）假如一个四棱柱的各条棱长都相等，而且以某一极点为端点的这是例题 1 的推行，各棱间的夹角都等于, 那么有这个四棱柱的对角线的长能够确立棱长方法近似，学生进吗? 一步领会 .
剖析 :
设 AC1 a ，AB AD AA1 x ， BAD BAA1 DAA1
则由 AC1 AB AD AA1
2 2 2 2
AC1 AB AD AA1 2(AB AD AB AA1 AD AA1 )
x
1 a
2 3x 2 2(3x2 cos ) a
即 3 6 cos
∴ 这个四棱柱的对角线的长能够确立棱长。

（ 3）此题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提示：求
两个平行平面的距离，往常归纳为求两点间的距离）让学生领会空间距剖析：面面距离点面距离向量的模回归图形离的转变。

解：过 A1点作 A1H 平面 AC 于点 H.
则 A1H 为所求相对两个面之间的距离 .
由 A1AB A1AD BAD 且 AB AD AA1
H 在 AC上.
2
1 1
2 cos60 3
AC3
AC (AB BC)2
AA 1 AC AA 1 (AB BC) AA 1
AB AA 1 BC cos60 cos60 1.
AA 1 AC
1
cos A 1 AC
3
|AA 1| |AC|
A 1H
AA 1 sin A 1 AC
6 6
3
sin A 1 AC
∴ 所求的距离是
6 。

3
3
练习 :
如图 2，空间四边形 OABC 各边以及 AC ，BO 的长都是 1，点 D ，E 分别是边 OA ， BC 的中点，连接 DE ，计算 DE 的长
实时进行类比训练，
稳固所学方法和技术。

O
D
C A
E
例 2 是对于角的有
关问题，指引学生
B
找到相应的向量进 图 2 行转变。

例 2：如图 3，甲站在水库底面上的点
A 处，乙站在水坝斜面上的点
B 处。

从 A ， B 到直线 （库底与水坝的交线）的距离
AC 和 BD 分别为
a 和 b,CD 的长为 c, AB 的长为 d 。

求库底与水坝所成二面角的余弦值
B
C
D
A
图 3
解： 如图
AC a ，BD b ，CD c ，AB d.
化为向量问题
依据向量的加法法例 AB
AC CD DB
进行向量运算
2
( AC CD DB)2
d 2 AB
2
2
2
2( AC CD AC DB CD DB)
AB CD BD
以下设计与例 1 近似。

a 2 c 2
b 2 2 AC DB
a2c2b22CA DB
2CA DB a2 b2 c2 d 2
设向量 CA 与 DB 的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角。

所以
a2 b2 c 2 d 2
cos .
2ab
回到图形问题
a2 b2 c2 d2 库底与水坝所成二面角的余弦值为.
2ab
思虑：
（1）此题中假如夹角能够测出，而 AB未知，其余条件不变，能够计算出 AB 的长吗？
剖析：
2
CD DB)2
由 AB (AC
AB 2 2 2
CD BD 2( AC CD AC DB CD DB)
a2 c2 b2 2ab cos
∴可算出 AB 的长。

（2）假如已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，而且以同
一极点为端点的各棱间的夹角都相等，那么能够确立各棱之间夹角的余弦值吗？
剖析：如图，设以极点A 为端点的对角线长为 d，三条棱长分别为a,b,c,各棱间夹角为.
D1
C1
A 1
B1
D C
A B
则 d 2
2
A1C ( AB AC CC1)2
a2 c2 b2 2(ab bc ac ) cos cos
d 2 a2 b2 c 2
2(ab bc ac )
（3）假如已知一个四棱柱的各棱长都等a，而且以某一极点为端点
的各棱间的夹角都等于，那么能够确立这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值
吗？
剖析：二面角平面角向量的夹角回归图形
D1
C1
A1B1
C
D
A B
E F
解：如图，在平面 AB1 内过 A1作A1E⊥ AB于点E，在平面AC内作 CF⊥AB于 F。

则 A1E CF a sin ，AE BF a cos
cos cos EA1 ，
cos A1E
，FC CF
A1E CF ( A1A AE) (CB BF )
| A1E ||CF | a 2 sin 2
a2 cos a2 cos cos( ) a 2 cos cos() a 2 cos2
a2 sin2
cos
1 cos
∴能够确立这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。

练习：
（ 1）如图4， 60°的二面角的棱上有A、 B 两点，直线 AC、 BD分别
在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知 AB＝ 4， AC＝6， BD＝8，求 CD的长。

C
A
B
D
图 4
2 ）三棱柱 ABC-A1B1C1中，底面是边长为 2 的正三角形，∠A1AB＝
45°，∠ A1AC＝ 60°，求二面角B-A A1-C 的平面角的余弦值。

A 1
C1
B1
A C
B
图5
三、小结
1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。

反省概括
2．面面距离点面距离向量的模回归图形
二面角平面角向量的夹角回归图形
四、作业
课本 P121 第 2、4 题。

练习与测试：
（基础题）
1．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（）
A ．75°B． 60°C． 45°D． 30°
答： C。

2．如图，在棱长为 2 的正方体ABCD A1 B1 C1 D1中，O是底面ABCD的中心，
D
1C1
E、 F 分别是CC1、AD 的中点。

那么异面直线OE 和FD1所成的角的余弦值等
A1 B1
E
于（）
10 15 4 2
A ．B．C．D．
5 5 5 3
D C
F O
A B
答： B。

3，把正方形ABCD 沿对角线AC 折起 ,当以 A、B 、C、D 四点为极点的棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为）
A ．90°B． 60°C， 45°D． 30°
答： C。

4，已知AB是两条异面直线AC , BD 的公垂线段，AB 1, AC BD 10, CD301 ，则 AC ,BD 所成
的角为
．
答： 600 或1200 。

（中等题）
5，一条线段夹在一个直二面角的两个面内，
它和两个面所成的角都是
30°，
这条线段与这个二面角的棱所成的角为。

答： 450
6 ，棱长为
4 的正方体 ABCD
A 1
B 1
C 1
D 1 中， O 是正方形 A 1B 1C 1 D 1 的中心，点 P 在棱 CC 1 上，且
D 1
C 1
CC 1 4CP
．
·O
A 1
B 1
（Ⅰ）求直线 AP 与平面 BCC 1 B 1 所成的角的三角函数值；
·
H
（Ⅱ）设 O 点在平面 D 1AP 上的射影是 H ，求证： D 1H
P
AP ．
D
C
解：（ 1）连 BP ，则角 APB 为直线 AP 与平面 BCC 1 B 1 所成的角，
A
B
AB 4 4 17
tan APB
17
17
BP
1
AP (D 1O OH ) AP D 1O AP OH AP DB AP 0 2
所以 D 1H
AP。